文|趙 斌

【教學(xué)內(nèi)容】

蘇教版五年級下冊第105、106頁，“練一練”及練習(xí)十六第1~3題。

【教學(xué)過程】

一、基于經(jīng)驗(yàn)的自主探究——激發(fā)策略自覺

1.自主探究，比較面積。

師：今天，我們繼續(xù)研究解決問題的策略。

圖1

師：看到這兩個(gè)圖形，你想提出什么數(shù)學(xué)問題？

生1：我想問這兩個(gè)圖形的面積各是多少格？

生2：我想知道這兩個(gè)圖形的面積哪個(gè)大？

師：兩位同學(xué)能用數(shù)學(xué)的眼光觀察圖形，并提出數(shù)學(xué)問題！用你喜歡的方法，想想兩個(gè)圖形的面積各占多少格，再比比它們的面積哪個(gè)大一些。想好后在《學(xué)習(xí)單》上記一記、畫一畫，表示出你的想法。

2.分層展示，交流方法。

師：大家是怎么比較兩個(gè)圖形面積的？介紹一下你的想法。

圖2

圖3

圖4

方法1：我用數(shù)方格的方法。第一個(gè)圖形有38個(gè)整格、20個(gè)半格，總共有48格；第二個(gè)圖形有36個(gè)整格、24個(gè)半格，總共有48格，兩個(gè)圖形面積相等。

方法2：我將第一個(gè)圖形下面部分剪下后向上平移，補(bǔ)成一個(gè)長8、寬6的長方形，面積是48格；第二個(gè)圖形把上面的部分割開，左、右各旋轉(zhuǎn)一下，正好補(bǔ)成一個(gè)長12、寬4的長方形，面積也是48格。兩個(gè)圖形面積相等。

方法3：第一個(gè)圖形我把上面的半圓平移到下面，也是拼成長8、寬6的長方形；第二個(gè)圖形我把這兩個(gè)半徑2格的半圓旋轉(zhuǎn)一下補(bǔ)在兩邊，這樣，兩個(gè)長方形都是長8、寬6，面積相等。

師：你們?yōu)槭裁匆眠@些方法比較兩個(gè)圖形的面積？

生1：因?yàn)檫@些圖形中有的是整格，有的是半格，不太規(guī)則，不能直接用公式計(jì)算，所以可以用數(shù)格子的方法。

生2：因?yàn)檫@兩個(gè)圖形不規(guī)則，比較復(fù)雜，不好直接計(jì)算，把它們變成長方形就好比較面積了。

師：但你把它們變成兩個(gè)長方形后，比出來面積相等，怎么就說明原來兩個(gè)不規(guī)則圖形面積也相等呢？

生2：因?yàn)閮蓚€(gè)圖形變成長方形后，面積沒有變。

3.引導(dǎo)對比，感受價(jià)值。

師：比一比他們的方法，有什么想說的？

生1：我覺得方法1數(shù)方格的方法太麻煩，而且數(shù)出來可能不準(zhǔn)確，后面兩種方法比較方便，而且還準(zhǔn)確。

生2：我覺得方法1麻煩、容易錯(cuò)；方法2好一些，但兩個(gè)長方形還需要計(jì)算面積；方法3最好，變成的兩個(gè)長方形不用計(jì)算就能看出面積相等。

（多媒體動態(tài)演示幾種典型轉(zhuǎn)化的比較方法）

師：直接數(shù)方格也能比較出兩個(gè)不規(guī)則復(fù)雜圖形的面積，但大家認(rèn)為比較麻煩、可能不夠準(zhǔn)確。我們也可以通過平移、旋轉(zhuǎn)等方法，把它們都變成規(guī)則、簡單的長方形，面積不變，就能方便、準(zhǔn)確地計(jì)算并比較面積。

4.引導(dǎo)抽象，提煉策略。

師：比較時(shí)方法不同，但背后的思考過程有什么相同之處嗎？

生1：原來圖形比較復(fù)雜，不好計(jì)算面積，我們就通過一些方法，把它們變成簡單的長方形去比較面積。

生2：這些方法都是將不規(guī)則圖形變成規(guī)則圖形，然后比較面積。

師：這些方法中體現(xiàn)了一種解決問題時(shí)重要的思考策略——轉(zhuǎn)化，將不規(guī)則、復(fù)雜圖形轉(zhuǎn)化成規(guī)則、簡單圖形，準(zhǔn)確方便地解決問題。這就是這節(jié)課我們要研究的“轉(zhuǎn)化的策略”。

二、基于對比的技能反思——促進(jìn)策略自省

1.自主探究，比較周長。

師：下面兩個(gè)圖形，哪個(gè)周長大一些？仔細(xì)觀察，你打算用什么策略進(jìn)行比較？為什么？想好后在《學(xué)習(xí)單》上把你的想法表示出來。

圖5

2.分層展示，碰撞思維。

師：請介紹一下你們的想法。

生1：（圖6）我使用了轉(zhuǎn)化的策略，因?yàn)榈诙€(gè)圖形不規(guī)則，不方便比較，可以把它轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形再比，把它右下角的長方形割下來平移到左上角，補(bǔ)成一個(gè)邊長4格的正方形。計(jì)算出長方形周長是20，正方形周長是16，所以第一個(gè)圖形的周長大一些。

圖6

生2：（圖7）我也是使用轉(zhuǎn)化的策略，原因也是第二個(gè)圖形不規(guī)則。我把它的四條邊進(jìn)行平移，轉(zhuǎn)化成一個(gè)長6格、寬4格的長方形，第一個(gè)長方形也是長6格、寬4格，所以它們的周長相等。

圖7

師：兩位同學(xué)都用轉(zhuǎn)化的策略比較周長，但結(jié)論卻不相同。你們同意誰的方法？說說理由。

生3：我同意生2的方法。生1把小長方形進(jìn)行平移，轉(zhuǎn)化成正方形后，有一些邊重疊了，周長和原來不相等；生2是把邊進(jìn)行平移，轉(zhuǎn)化后邊的長度沒有增加和減少，周長不變。

生4：我也同意生2的方法。因?yàn)橐鹊氖莾蓚€(gè)圖形的周長，生1平移的是面，面積沒變，但周長變了；生2平移的是邊，周長不變，這樣才能比較周長。

（多媒體動態(tài)演示平移邊進(jìn)行轉(zhuǎn)化的過程）

3.深化對比，感悟思想。

師：剛才我們先比較了圖8中圖形的面積，再比較了圖9中圖形的周長。在思考時(shí)，有什么相同和不同的地方？有什么要提醒大家的？

圖8

圖9

生1：兩次給我們的圖形中都有不規(guī)則圖形，比較復(fù)雜，不好比較，所以我們都是將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化成規(guī)則、簡單的長方形，這樣便于計(jì)算出面積或周長，也便于比較。

生2：第一次比較時(shí)我們是將圖形的面進(jìn)行平移、旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化成簡單的長方形再比較面積；第二次我們是把圖形的邊進(jìn)行平移轉(zhuǎn)化成簡單的長方形再比較面積。

生3：它們相同的地方都是用了轉(zhuǎn)化的策略，把不規(guī)則的圖形轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形。但要看清問題比較的是什么。比較面積，轉(zhuǎn)化中要保持面積不變；比較周長，轉(zhuǎn)化中要保持周長不變。

師：比較面積，轉(zhuǎn)化時(shí)形狀變化但面積不變，這叫“等積轉(zhuǎn)化”；比較周長，轉(zhuǎn)化時(shí)形狀變化但周長不能變，這叫“等長轉(zhuǎn)化”?？傊?，在運(yùn)用轉(zhuǎn)化策略的時(shí)候，要確保所求量在轉(zhuǎn)化前后不變。

三、基于經(jīng)驗(yàn)的問題解決——豐富策略技能

1.實(shí)際問題，開放解決。

師：學(xué)校在同一塊長方形空地中設(shè)計(jì)花圃，有三種設(shè)計(jì)方案。哪種設(shè)計(jì)花圃面積大？想一想，你打算用什么策略比較三種花圃面積，為什么？在《學(xué)習(xí)單》上試著表示出你的想法。

圖10

2.多樣展示，深化交流。

師：請向大家介紹一下你的想法！

生1：這三個(gè)圖形都不規(guī)則，我用轉(zhuǎn)化的策略，第一個(gè)圖把小三角形平移補(bǔ)成一個(gè)正方形，第二個(gè)圖把一小塊旋轉(zhuǎn)補(bǔ)成三角形，第三個(gè)圖把三角形翻過來補(bǔ)成長方形。但這時(shí)候還是不好比較它們的面積，我再轉(zhuǎn)化一下，把第二個(gè)圖形割下三角形，旋轉(zhuǎn)補(bǔ)成正方形，第三個(gè)圖形把長方形割下一半，平移補(bǔ)成正方形。這時(shí)候三個(gè)圖形都成了一樣大的正方形，所以原來三塊花圃的面積相等。

圖11

師：比較時(shí)你用了幾次轉(zhuǎn)化？

生1：我用了兩次轉(zhuǎn)化。第一次雖然轉(zhuǎn)化成三個(gè)規(guī)則圖形，還是不好比較面積大小，所以我再把后面兩個(gè)圖形轉(zhuǎn)化成正方形比較。

師：連著用了兩次轉(zhuǎn)化，真了不起！還有一位同學(xué)是這樣比較的，介紹一下你和他相同、不同的地方吧！

圖12

生2：我和他相同的地方都是用了轉(zhuǎn)化的策略，而且第一次轉(zhuǎn)化的方法也是相同的，但是接下來雖然形狀不一樣，但是圖形都是占了長方形圖形的二分之一，因?yàn)槭峭粔K空地，所以它們的二分之一面積肯定相等。

師：第一次將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化后成了三個(gè)規(guī)則圖形，然后再將圖形轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)二分之一表示，得出花圃面積相等?？磥韴D形之間不僅能轉(zhuǎn)化，圖與數(shù)之間也能進(jìn)行轉(zhuǎn)化！

四、基于自省的設(shè)計(jì)活動——引發(fā)策略自創(chuàng)

1.開放問題，引發(fā)創(chuàng)造。

師：同學(xué)們已經(jīng)能根據(jù)問題運(yùn)用轉(zhuǎn)化策略對多種設(shè)計(jì)進(jìn)行比較，那你能自己進(jìn)行設(shè)計(jì)嗎？

圖13

師：學(xué)校在一大塊空地上設(shè)計(jì)小路，其余地方鋪設(shè)草坪，所用草坪總面積為15×10=150（平方米）。想一想，你打算怎樣設(shè)計(jì)小路，能使草坪總面積符合要求？想好后在《學(xué)習(xí)單》的圖中畫出小路，并標(biāo)出小路寬度。

2.分層展示，創(chuàng)異求同。

師：他的設(shè)計(jì)符合要求嗎？

圖14

生1：他設(shè)計(jì)的符合要求，因?yàn)楝F(xiàn)在草坪的長是17減2等于15米，寬是12減2等于10米，面積就是15乘10等于150平方米。

師：理由簡潔、準(zhǔn)確！再看這幾位同學(xué)的設(shè)計(jì)，請用盡量簡潔的方式，讓大家清楚看出草坪面積是15乘10等于150平方米。

圖15

圖16

圖17

圖18

生2：將右邊長方形草坪向右平移2米，草坪面積就是就和剛才的圖一樣，面積就是15乘10等于150平方米。

生3：我的也只要將左邊兩塊草坪向右平移2米，再把下面的向上平移2米，合并成的也是和剛才的圖一樣，草坪面積也是150平方米。

生4：我的草坪平移得多一點(diǎn)，把左邊的三塊向右平移1米，和中間合起來再向右平移1米，把下面的也這樣向上平移，合并成的也和第一個(gè)圖一樣，面積也是150平方米。

生5：我只要把下面的都向上平移2米，再把左邊的向右平移合并，面積也和第一個(gè)圖一樣是150平方米。

師：這幾位同學(xué)的設(shè)計(jì)各不相同，但設(shè)計(jì)和介紹中都運(yùn)用了什么策略？

生：他們都使用了轉(zhuǎn)化的策略。