文|周衛(wèi)東（特級教師）

“平行四邊形面積的計算”是第二學段“圖形與幾何”領域中“圖形的測量”的一則重要內容。人教版、北師大版與蘇教版等教材均安排在五年級上學期。相較于學生三年級學習的“長方形和正方形面積的計算”而言，“平行四邊形面積的計算”包含著深刻的本質內涵及轉化、推理、建模等豐富的思想元素，抽象水平及思維層次更高。因而，這一內容是提升學生數(shù)學素養(yǎng)的有機載體，也是廣大同行競相研究、個性表達的典型課題。

認真研讀了談瑩老師的《在探究和思辨中凸顯理性精神》（簡稱設計一）和徐妍老師的《促深度理解 助主動建構》（簡稱設計二），頗有收獲。兩則設計均能在把握基礎教學目標的基礎上，著眼高觀點，努力挖掘發(fā)展性目標，使教學“增值”，具體體現(xiàn)在大問題統(tǒng)整、結構化關聯(lián)及思想性滋養(yǎng)三個方面。

一、大問題統(tǒng)整，促進主動建構

所謂站得高，才能看得遠?！八^大問題，就是一種開放性問題或具有多元思考方式的問題，并鼓勵學習者積極參與到問題解決中，使學生嘗試尋找有用的知識、思考合適的方案來解決主要問題。”教學中，大問題觸及數(shù)學本質，是課堂教學中的問題之“眼”。通過大問題統(tǒng)整，可以幫助學生主動建構知識。

1.大問題引領，促數(shù)學思維萌芽。

數(shù)學教學中，立于高位去設計教學路徑，用大問題統(tǒng)領教學，是促進學生數(shù)學思維萌芽，主動建構知識的關鍵步驟。設計一，課始設問：“關于平行四邊形，你覺得它的大小會跟什么有關呢？”引導學生在已有經(jīng)驗的基礎上大膽想象。而設計二則緊緊扣住“平行四邊形的面積到底該怎么計算呢？”這個大問題統(tǒng)領教學。課堂上，當多種算法呈現(xiàn)出來時，“哪種算法有道理？該怎樣說明呢？”則又成為驅動思維深入的“大問題”。這樣的大問題，引導學生討論、交流，促進明理、通透，引發(fā)想象、創(chuàng)造，使學習過程一直浸潤在一種積極、生動的“場域”之中。

2.大問題推進，促數(shù)學思維生長。

當學生關注到“平行四邊形面積的計算”這一核心問題后，學生的思維瞬間被打開，一個又一個大問題推進的過程，就是學生數(shù)學思維不斷調整、整合、進階的過程。設計一為學生提供了形狀各不相同的四個平行四邊形紙片、透明方格紙及活動的平行四邊形框架等有意義的材料，讓學生“八仙過海，各顯神通”，來驗證“平行四邊形的面積跟什么有關，跟什么無關”這一問題。而設計二則在學生得到初步猜想“平行四邊形的面積可以用底×高來算”后，適時拋出話題：“所有平行四邊形的面積都可以用底×高來計算嗎？”給學生提供了三個大小、形狀各不同的平行四邊形，讓學生通過數(shù)方格、割補等方法去印證自己的猜想，引導學生實現(xiàn)由此及彼、由個及類思維的轉換，在進一步明確之前的猜想的基礎上形成了更具有一般性的結論。

3.大問題歸納，促數(shù)學思維深耕。

高觀點下的數(shù)學課堂，在大問題引領、推進之后，要有大問題歸納總結。在本節(jié)課中，雖然學生通過不完全歸納，經(jīng)歷了“一個”到“一類”的認知過程，引出平行四邊形面積計算公式后，給學生布置了一個關鍵性任務，引導學生的思維向縱深漫溯。（1）觀察：轉化前后，兩個圖形有什么聯(lián)系？（2）推理：平行四邊形的面積為什么可以用底×高來計算。在完成這個學習任務的過程中，引導學生學會推理歸納，進一步厘清平行四邊形面積計算的本質問題，即沿著平行四邊形的任意一條高剪開，拼成一個長方形，發(fā)現(xiàn)拼成的長方形的長等于平行四邊形的底，長方形的寬等于平行四邊形的高，且面積不變，因為長方形的面積=長×寬，所以平行四邊形的面積=底×高。這樣，通過大問題的歸納推理，幫助學生厘清知識本質，形成從高位視角看待所學知識、探究所學問題的意識。

二、結構化關聯(lián)，促進主動建構

高觀點視角下的小學數(shù)學教學還應該看到知識內在的結構。學科之所以為學科，而不是簡單概念與知識要點的堆砌，其中非常重要的原因就在于學科知識之間存在著不可割裂的內在聯(lián)系。數(shù)學常常被稱為“結構的科學”，是一種整體的、系統(tǒng)與意義的結構。知識學習走向結構化，才能更深刻地促進學生對知識的認知與理解。關聯(lián)主義學習理論認為，學習是知識網(wǎng)絡結構中某種關系和節(jié)點的重新建構，學習是一個知識的聯(lián)結過程?；诟哂^點視角的數(shù)學教學，更應注重知識間的關聯(lián)，將學生的思維引向整體化、結構化的高度，促進知識主動建構。

1.關聯(lián)在思維行進中。

數(shù)學學習中，學生的思維呈現(xiàn)出一個螺旋上升、逐步遞進的過程。因此，教學時教師應當在學生的思維行進中做好生生互動的關聯(lián)，師生互動的關聯(lián)，學生與學材互動的關聯(lián)，學生與空間環(huán)境等互動的關聯(lián)。適時引領和點撥，幫助學生掃清思維行進中的障礙，逐步建構知識。兩則設計均注重在學生思維行進中做好結構關聯(lián)。細讀他們的教學路徑可以看出，兩位教師均順應了學生思維發(fā)展的脈絡，遵循了學生“學”的邏輯，幾大學習環(huán)節(jié)環(huán)環(huán)相扣、相互關聯(lián)，串起了整個知識學習的體系，使之結構化、系統(tǒng)化。

2.關聯(lián)在思維困頓處。

學生在思維進階的節(jié)點上，可能會出現(xiàn)困頓。教學中，學習任務的設計要預設到學生思維可能的困頓之處，通過引導，幫助學生加深對知識的理解，主動建構知識的完整體系。平行四邊形面積計算時，學生往往只記住“底×高”，而忽視“對應”這個關鍵要素，導致計算錯誤，形成認知錯位。兩則設計均涉及到“底與高對應”的練習題，通過實際問題，巧妙地將“對應”的底和高相乘的核心知識傳遞給學生，通過這樣的學習，真正將知識關聯(lián)互通，形成了正確的認知結構。

3.關聯(lián)在思維進階時。

高觀點視角下的數(shù)學教學，不僅是引導學生將知識羅列堆砌，更要將學生的思維引向更高的層次，建構新的知識體系。因此，學習任務的編排設計需要關聯(lián)學生思維進階的節(jié)點，為學生思維的順利進階提供必要支持與幫助。立于高觀點之下，不僅關注學生當下知識的學習，更關注現(xiàn)在與未來知識學習的聯(lián)系。在回應“平行四邊形的面積=鄰邊相乘”這一典型錯誤時，兩則設計均提供了有益的探索。設計一通過多種方法，讓學生明白為什么不能用鄰邊相乘的方法來計算平行四邊形的面積，當把平行四邊形拉直后，形成的長方形的面積比原來的圖形面積多了一塊。當平行四邊形的底和周長不變時，隨著高的升高，面積越來越大，一直到轉化為一個長方形時，面積最大。設計二中，徐老師進一步引領學生思考，如果將平行四邊形的鄰邊的角度標出，隨著角的傾斜變化，高也在不停變化，從而將中學時將要學習的平行四邊形的計算公式向學生滲透。即平行四邊形的面積等于兩組鄰邊的積乘以夾角的正弦值。如用“a”“b”表示兩組鄰邊長，α表示兩邊的夾角，“S”表示平行四邊形的面積，則S=ab×sinα。

學習至此，讓我們確信，在學生的認知結構中，若隱若現(xiàn)留下的，是知識的全貌，是結構的雛形，更是朝向未來知識世界的美好。好的數(shù)學課堂，就是將學生的思維引向深遠，讓學生帶著疑問走進課堂，帶著收獲和新的疑問走出課堂，形成數(shù)學學習螺旋上升的學習場。高觀點視角下的數(shù)學教學，通過關聯(lián)性的學習任務，將學生的思維引向更扎實、更高階的境界，從而主動建構知識體系，完善認知結構，培養(yǎng)數(shù)學核心素養(yǎng)，提升數(shù)學學習力。

三、思想性滋養(yǎng)，促進主動建構

高觀點視角下的小學數(shù)學教學應看到知識深層的思想方法。學科思想是學科知識中的“隱性內容”，是學科專家提出的對學科發(fā)展和學科學習最具影響力的那些觀念和見解，是知識背后的知識，是學科的精髓與靈魂。

1.由“個”到“類”，滲透歸納思想。

兩則設計都十分關注數(shù)學思想方法的滲透。在引導學生探究平行四邊形的面積時，兩則設計都引導學生用“割補法”“數(shù)格子法”等方法去印證“一個”平行四邊形的面積可以用“底×高”來計算，進而引導學生進一步印證“任意”平行四邊形的面積都可以用“底×高”來計算。由“個”到“類”的印證過程中，向學生滲透了不完全歸納的思想。

2.由“新”到“舊”，滲透轉化思想。

兩則設計都帶領學生復習了之前學習過的平面圖形面積的計算方法，尤其是長方形的面積計算方法后，通過割補法，將平行四邊形轉化為長方形，這樣將“新知”轉化為“舊知”，從而順利推導出平行四邊形面積的計算公式。且在轉化過程中，立意于高觀點視角，并未將學生的起點定位于實際操作，而是引導學生通過用“手”比劃，用“腦”想象，既滲透了轉化的思想，又提升了學生的空間想象能力。

3.由“同”到“異”，滲透對應思想。

在學生探索出平行四邊形的面積可以用“底×高”來計算后，兩則設計均通過習題引發(fā)學生思考，為什么都是平行四邊形的底，為什么不能和給定的高相乘。從而引導學生思考“同”是底，卻“異”在高的不同上，因此，得出在計算平行四邊形面積時，必須用對應的底乘對應的高。在這樣的辨析過程中，滲透了對應的數(shù)學思想。從數(shù)學教學角度看，一堂課新往往就新在思維過程上，高往往就高在思想性上，好往往就好在學生參與活動的深度和廣度上。有思想深度的課，給學生留下長久的心靈激蕩和對知識的深度理解，以后即使具體的知識忘了，但數(shù)學地思考問題的思想方法卻將長久存在。