周守利 龔樹(shù)鳳 彭銀生 吳哲夫

摘? 要? 針對(duì)電磁場(chǎng)與電磁波課程概念抽象、數(shù)學(xué)要求高、理論性強(qiáng)、學(xué)生畏學(xué)、具有一定教學(xué)難度等問(wèn)題，在教學(xué)實(shí)踐中采用提升教學(xué)質(zhì)量的多樣化教學(xué)方法。教學(xué)實(shí)踐表明，多樣化教學(xué)方法能有效調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，提升教學(xué)質(zhì)量，教學(xué)效果顯著。

關(guān)鍵詞? 電磁場(chǎng)與電磁波；教學(xué)方法；類(lèi)比式教學(xué)；綜合問(wèn)題分解教學(xué)；問(wèn)答討論式教學(xué)；計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)

中圖分類(lèi)號(hào)：G642.3? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B

文章編號(hào)：1671-489X（2022）22-124-03

0? 引言

電磁場(chǎng)與電磁波是電子科學(xué)與技術(shù)、通信工程、電子信息工程和電力系統(tǒng)與自動(dòng)化等專(zhuān)業(yè)均開(kāi)設(shè)的一門(mén)重要的專(zhuān)業(yè)基礎(chǔ)課。對(duì)于多數(shù)工科院校，這些本科專(zhuān)業(yè)并沒(méi)有開(kāi)設(shè)數(shù)學(xué)物理方法這類(lèi)專(zhuān)門(mén)講授偏微分方程不同解法的先修課程，而求解電磁場(chǎng)與電磁波的拉普拉斯方程、泊松方程、波動(dòng)方程和達(dá)郎迫爾方程等都是由麥克斯韋方程衍生出來(lái)的偏微分方程，數(shù)學(xué)物理方法課程中講解的分離變量法、格林函數(shù)解法和積分變換法等求解方法均在電磁場(chǎng)與電磁波課程中有所體現(xiàn)[1-3]。由于沒(méi)有系統(tǒng)學(xué)習(xí)過(guò)數(shù)學(xué)物理方法，學(xué)生學(xué)習(xí)電磁場(chǎng)與電磁波所要求具備的高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)通常不夠牢固。課程數(shù)學(xué)推導(dǎo)煩瑣，再加上電磁場(chǎng)看不見(jiàn)、摸不著，場(chǎng)與波的立體空間分布抽象，晦澀難懂。因此，電磁場(chǎng)與電磁波是公認(rèn)最難學(xué)的課程之一，而電磁場(chǎng)與電磁波所包含的內(nèi)容是合格的通信工程、電子信息類(lèi)專(zhuān)業(yè)本科學(xué)生應(yīng)具備的知識(shí)結(jié)構(gòu)的重要組成部分。

1? 教學(xué)方法探討

針對(duì)電磁場(chǎng)與電磁波課程數(shù)學(xué)要求高、公式多、物理概念抽象、學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)易產(chǎn)生畏難情緒等特點(diǎn)，近幾年來(lái)，浙江工業(yè)大學(xué)信息學(xué)院電磁場(chǎng)與電磁波課程組在每年對(duì)200名左右本科生的課程教學(xué)任務(wù)中，根據(jù)課程內(nèi)容和學(xué)生特征對(duì)教學(xué)方法進(jìn)行探討。課程設(shè)計(jì)綜合問(wèn)題分解教學(xué)、計(jì)算機(jī)仿真輔助教學(xué)、問(wèn)答討論式教學(xué)和類(lèi)比式教學(xué)等多種教學(xué)方法，教學(xué)中通常多種教學(xué)方法同時(shí)結(jié)合使用，力求使難懂的公式物理化、抽象的概念形象化、知識(shí)的掌握系統(tǒng)化。

1.1? 綜合問(wèn)題分解教學(xué)

這類(lèi)教學(xué)方法和手段通常用在重點(diǎn)與難點(diǎn)問(wèn)題教學(xué)環(huán)節(jié)，通過(guò)講解具有一定難度的問(wèn)題，加深學(xué)生對(duì)相關(guān)概念的理解和應(yīng)用。如“平面電磁波在導(dǎo)電媒質(zhì)中傳播”教學(xué)設(shè)計(jì)中的綜合問(wèn)題分解教學(xué)步驟如下。

問(wèn)題模型如圖1所示，x＜0為半無(wú)限大的真空，x＞0為半無(wú)限大的導(dǎo)電媒質(zhì)?？紤]一角頻率ω的沿z方向極化的平面電磁波從真空垂直入射到半無(wú)限大的導(dǎo)電媒質(zhì)上，啟發(fā)學(xué)生討論當(dāng)電磁波角頻率ω從足夠低到足夠高變化時(shí)，導(dǎo)電媒質(zhì)中的傳導(dǎo)電流和位移電流會(huì)發(fā)生什么樣的變化？導(dǎo)電媒質(zhì)的性能會(huì)有什么變化？

拋出問(wèn)題后，首先，讓學(xué)生結(jié)合電磁場(chǎng)邊界條件確定導(dǎo)電媒質(zhì)中傳導(dǎo)電流和位移電流是什么方向的，以復(fù)習(xí)鞏固之前學(xué)過(guò)的知識(shí)；其次，著重讓學(xué)生思考電磁波角頻率ω從低到高變化時(shí)傳導(dǎo)電流和位移電流的大小隨空間坐標(biāo)怎么變化，進(jìn)而討論為什么頻率比較低的情況下導(dǎo)電媒質(zhì)的位移電流可以忽略，而傳導(dǎo)電流是無(wú)源場(chǎng)（散度為0），并讓學(xué)生自己證明；再次，在教師的啟發(fā)下，學(xué)生能夠推導(dǎo)傳導(dǎo)電流在導(dǎo)電媒質(zhì)中滿(mǎn)足的方程，并對(duì)推導(dǎo)出的方程結(jié)合邊界條件進(jìn)行求解，從而進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生討論電磁場(chǎng)能量在媒質(zhì)中轉(zhuǎn)化為熱能損耗有什么規(guī)律（通過(guò)對(duì)這個(gè)問(wèn)題模型在低頻情況下的詳細(xì)分析，成功地把學(xué)生帶到學(xué)習(xí)內(nèi)容中）；最后，對(duì)相關(guān)問(wèn)題在頻率足夠高的情況下進(jìn)行分析與討論。

在教學(xué)過(guò)程中，教師與學(xué)生要做好良性互動(dòng)，如果一開(kāi)始就討論導(dǎo)電媒質(zhì)中電磁波的傳輸和能量損耗情況，學(xué)生會(huì)感覺(jué)問(wèn)題過(guò)于復(fù)雜和籠統(tǒng)。通過(guò)將學(xué)生帶入預(yù)先設(shè)計(jì)好的一步步簡(jiǎn)化的問(wèn)題中，并做好簡(jiǎn)化原理分析、概念詮釋、問(wèn)題解答和必要時(shí)概括總結(jié)，對(duì)于傳統(tǒng)課堂教學(xué)中的難點(diǎn)問(wèn)題，通過(guò)教學(xué)互動(dòng)很容易讓學(xué)生消化吸收。

1.2? 類(lèi)比式教學(xué)

“”是電磁場(chǎng)與電磁波課程出現(xiàn)頻率最多的一個(gè)運(yùn)算符，各種教材是在講完坐標(biāo)系和矢量代數(shù)，在引入梯度、散度和旋度的概念后才引入，而且有關(guān)運(yùn)算規(guī)則和推導(dǎo)結(jié)合具體坐標(biāo)系統(tǒng)進(jìn)行[1-2]。過(guò)去的教學(xué)實(shí)踐表明，學(xué)生在后續(xù)章節(jié)課程的學(xué)習(xí)中，由于結(jié)合具體坐標(biāo)系運(yùn)算煩瑣，往往不能準(zhǔn)確理解“”對(duì)不同物理量的不同運(yùn)算規(guī)則，甚至?xí)煜?。由于“”除了具有微分運(yùn)算的功能外，還有矢量的特性，因此，現(xiàn)在新的教學(xué)形式是采用與普通矢量進(jìn)行類(lèi)比講授，也就是課程在講矢量代數(shù)時(shí)就引入。如在講授矢量乘法的標(biāo)量三重積時(shí)，對(duì)于矢量、、存在下列運(yùn)算：

如果用“”代替，結(jié)果會(huì)怎么樣？用類(lèi)比法講授。由于“”具有矢量的性質(zhì)，因此，運(yùn)算結(jié)果仍然存在上式的形式，但與普通矢量不同的是，“”還具有微分運(yùn)算的功能，“”分別要對(duì)和進(jìn)行微分運(yùn)算，顯然運(yùn)算結(jié)果應(yīng)該增加一項(xiàng)。在講授運(yùn)算的類(lèi)比法推理過(guò)程中，先記“”僅對(duì)的微分運(yùn)算為，僅對(duì)的為，根據(jù)求導(dǎo)法則，因此有：

顯然，與教材中結(jié)合坐標(biāo)系的推導(dǎo)相比，上述通過(guò)與普通矢量做類(lèi)比，結(jié)合求偏導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)法則，相關(guān)運(yùn)算公式的推導(dǎo)就脫離了具體的坐標(biāo)系，簡(jiǎn)潔明了，更便于學(xué)生記憶和理解。在介紹普通矢量運(yùn)算時(shí)就引入“”的類(lèi)比運(yùn)算教學(xué)，課程后面在引入梯度、散度和旋度時(shí)，對(duì)于“”運(yùn)算符的應(yīng)用，學(xué)生會(huì)結(jié)合矢量的特點(diǎn)，對(duì)標(biāo)量場(chǎng)的梯度、矢量場(chǎng)的散度和旋度概念的理解更為透徹與深入，也不會(huì)有陌生感。

除了“”運(yùn)算的類(lèi)比式教學(xué)，通過(guò)電磁場(chǎng)與電磁波中電場(chǎng)與磁場(chǎng)、靜電場(chǎng)與恒定電流場(chǎng)、靜態(tài)場(chǎng)與時(shí)諧電磁場(chǎng)等在相關(guān)物理概念、規(guī)律、數(shù)學(xué)建模及分析方法中的共性分析，采用歸納方式進(jìn)行多種類(lèi)比式教學(xué)，可以說(shuō)類(lèi)比式教學(xué)貫穿整個(gè)課程教學(xué)過(guò)程。如電場(chǎng)與磁場(chǎng)存在對(duì)偶相似性，對(duì)其概念、規(guī)律及分析方法進(jìn)行比較，既指出其具有的共性方面，更強(qiáng)調(diào)不同點(diǎn)的對(duì)比，不僅使學(xué)生能更深刻理解和掌握電磁場(chǎng)與電磁波的基本規(guī)律，還能掌握電磁場(chǎng)問(wèn)題的基本分析方法[4-5]。類(lèi)比法的使用還包括如靜電場(chǎng)與恒定電場(chǎng)的比較、靜電場(chǎng)與恒定磁場(chǎng)的比較、電磁波在導(dǎo)電媒質(zhì)與非導(dǎo)電媒質(zhì)中的傳播特性的比較、平行極化波與垂直極化波對(duì)介質(zhì)分界面斜入射時(shí)的比較等。

1.3? 問(wèn)答討論式教學(xué)

采用設(shè)置問(wèn)題、啟發(fā)思考、歸納總結(jié)的互動(dòng)方式進(jìn)行教學(xué)。針對(duì)教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)一連串的問(wèn)題，一個(gè)問(wèn)題緊接一個(gè)問(wèn)題，一環(huán)緊扣一環(huán)，讓學(xué)生思考、回答，教師在關(guān)鍵的地方進(jìn)行啟發(fā)，最后進(jìn)行適當(dāng)總結(jié)。在這一問(wèn)一答的過(guò)程中，學(xué)生不僅可以學(xué)到知識(shí)，還能培養(yǎng)分析和思考問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。

例如，曾經(jīng)有學(xué)生得出自然界不存在磁場(chǎng)，他的推理為：根據(jù)麥克斯韋方程，由于，

由矢量分析可知，必定存在矢位勢(shì)，使；

又由和斯托克斯公式得

；又由矢量分析可知，若，則必有標(biāo)

勢(shì)φ存在，使，于是得。

推理看似嚴(yán)謹(jǐn)，但他的結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的，拋出問(wèn)題后讓學(xué)生討論錯(cuò)在哪里。最終，學(xué)生得出：該名學(xué)生錯(cuò)用斯托克斯公式，斯托克斯公式面積分不是封閉的。

學(xué)生通過(guò)對(duì)該問(wèn)題的問(wèn)答式教學(xué)，進(jìn)一步加深理解矢量場(chǎng)散度和旋度的物理意義以及電磁場(chǎng)與源的關(guān)系，鞏固了所學(xué)的基本概念知識(shí)。

此外，根據(jù)教學(xué)內(nèi)容，圍繞知識(shí)點(diǎn)在相關(guān)工程與自然現(xiàn)象中的應(yīng)用實(shí)際，事先設(shè)計(jì)一些工程問(wèn)題，采取提出問(wèn)題、教師引導(dǎo)、課堂討論的形式在課堂上適時(shí)地組織一些討論式教學(xué)。讓學(xué)生進(jìn)行思考，并在課堂上互相討論，教師針對(duì)學(xué)生在討論中反映出的問(wèn)題進(jìn)行適當(dāng)引導(dǎo)和講解。通過(guò)這種方式，引發(fā)學(xué)生對(duì)問(wèn)題的思考和分析，有利于調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和主動(dòng)性。

如討論隱身飛機(jī)隱身現(xiàn)象，在雷達(dá)掃描區(qū)可能探測(cè)不到，原理是什么？當(dāng)入射波以某一角度入射時(shí)，入射波在分界面處全部透射于第二種媒質(zhì)中，因而不發(fā)生反射的現(xiàn)象是不是存在？拋出問(wèn)題后，引入電磁波的全透射現(xiàn)象的討論式教學(xué)，并進(jìn)一步讓學(xué)生思考：在平面電磁波斜入射于理想介質(zhì)交界面上，平行極化和垂直極化有什么區(qū)別？然后自然而然地介紹隱身衣的原理，使學(xué)生更容易理解和掌握電磁波在介質(zhì)交界面上的反射和透射原理。

1.4? 利用計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)

電磁場(chǎng)與電磁波是一門(mén)概念抽象、理論性強(qiáng)的基礎(chǔ)課程，計(jì)算機(jī)仿真輔助教學(xué)是電磁場(chǎng)與電磁波課程教學(xué)不可缺少的一部分。課程組在設(shè)計(jì)電磁場(chǎng)與電磁波仿真實(shí)例教學(xué)內(nèi)容時(shí)，融合設(shè)計(jì)與驗(yàn)證于一體，對(duì)學(xué)生進(jìn)行綜合素質(zhì)能力的培養(yǎng)，要求學(xué)生緊密?chē)@課程大綱知識(shí)點(diǎn)的要求，自己動(dòng)手進(jìn)行建模設(shè)計(jì)、分析仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果、總結(jié)規(guī)律。圍繞課程關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)，目前開(kāi)設(shè)波導(dǎo)不同模式場(chǎng)分布、傳輸線(xiàn)沿線(xiàn)阻抗軌跡變化、電偶極子輻射場(chǎng)分布等計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)實(shí)例，并以動(dòng)畫(huà)的形式顯示，使學(xué)生直觀(guān)地理解復(fù)雜抽象的概念，有效地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)并應(yīng)用知識(shí)去分析和解決問(wèn)題的積極性，在培養(yǎng)學(xué)生的知識(shí)綜合應(yīng)用能力和創(chuàng)新能力方面取得實(shí)效。傳輸線(xiàn)沿線(xiàn)阻抗變化軌跡動(dòng)態(tài)變化如圖2所示。

2? 結(jié)束語(yǔ)

電磁場(chǎng)與電磁波課程教學(xué)是一個(gè)長(zhǎng)期不斷探索、逐步完善的過(guò)程，多樣化的教學(xué)方法可以更好地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性，在教學(xué)實(shí)踐中不斷地增強(qiáng)教學(xué)效果、提高教學(xué)質(zhì)量。

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*基金項(xiàng)目：浙江工業(yè)大學(xué)2021年度電磁場(chǎng)與電磁波一流課程培育教學(xué)建設(shè)項(xiàng)目（GZ21501030012）；浙江工業(yè)大學(xué)2021年度研究生思政建設(shè)教學(xué)項(xiàng)目（GZ21271030001）；教育部產(chǎn)學(xué)合作協(xié)同育人項(xiàng)目（202102357003）。

作者：周守利，浙江工業(yè)大學(xué)信息工程學(xué)院，研究方向?yàn)殡姶艌?chǎng)與微波技術(shù)；龔樹(shù)鳳、彭銀生、吳哲夫，浙江工業(yè)大學(xué)信息工程學(xué)院，研究方向?yàn)楣饫w通信技術(shù)（310023）。