方中真

[摘 要]算理是建立算法的前提，牢固掌握算法離不開融會貫通算理。在教學(xué)中，教師應(yīng)立足起點，追根溯源，引導(dǎo)學(xué)生在運算中回顧算理，同時借助表象的支撐，讓學(xué)生從多維度去理解算理，并打通知識間的壁壘，促成學(xué)生智能化理解。

[關(guān)鍵詞]算理;理解;策略

[中圖分類號] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A [文章編號] 1007-9068（2022）11-0063-03

數(shù)的運算是小學(xué)數(shù)學(xué)課程的重頭戲?？v觀小學(xué)數(shù)學(xué)課程，整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的計算貫穿始終，是主軸，其他數(shù)學(xué)知識多是依托并圍繞這根主軸鋪展開。理解算理無疑是數(shù)的運算教學(xué)中最重要的一環(huán)。學(xué)生只有對算理洞若觀火，才能掌握運算的精要，運算時才能得心應(yīng)手、揮灑自如。下面筆者結(jié)合教學(xué)實踐來談?wù)劥俪伤憷砝斫獾膸c策略。

一、立足起點，追根溯源，在運算中回顧算理

1.理一理，摸底算理根基

學(xué)習(xí)永遠(yuǎn)是在舊知上添磚加瓦，換言之，吸納新知必須站在舊知的平臺上，如此才能增長新的知識和經(jīng)驗，學(xué)習(xí)算理概莫能外。例如，四年級“小數(shù)加法和減法”一課，貌似簡單，似乎只要謹(jǐn)記“小數(shù)點對齊”這一鐵律，重復(fù)操練即可。但實際教學(xué)效果往往令人大失所望，即使經(jīng)過反復(fù)訓(xùn)練，也不能杜絕學(xué)生對錯小數(shù)點。事實表明，即便是簡單的計算，無視已有經(jīng)驗的承接，學(xué)生也會理解不透。于是，筆者在教學(xué)前先對舊知進(jìn)行了梳理回顧。

【案例1】小數(shù)加減法教學(xué)片段

教師先出示計算式“475+2”，提問：“2和哪個數(shù)字相加？為什么必須加到5上？”讓學(xué)生回想“數(shù)位相同的數(shù)字才能相加減”的規(guī)則;再改編題目為“4.75+0.2”，讓學(xué)生繼續(xù)計算;然后針對學(xué)生得出的結(jié)果“477”和“4.95”，引導(dǎo)學(xué)生辨析：“如何設(shè)法求證結(jié)果是4.95呢？”學(xué)生有的通過賦予現(xiàn)實意義法，添加單位“元”或者“米”來思考，有的則根據(jù)小數(shù)的特性，在0.2末尾補(bǔ)加一個0，改變其計數(shù)單位以便在形式上對齊數(shù)位，還有的直接遵照規(guī)則“數(shù)位相同才能相加”，因為都是十分位，所以“2”直接加到“7”上。教師對小數(shù)加法的算理進(jìn)行多維度的解釋后，再對照“475+2”和“4.75+0.2”的豎式提問：“‘475+2’豎式中的‘2’和‘5’對齊，實際上就是末尾數(shù)字對齊，而到了‘4.75+0.2’中，則變成小數(shù)點對齊，計算規(guī)則發(fā)生了轉(zhuǎn)變，是否有什么不變的主線貫穿始終？”在學(xué)習(xí)小數(shù)加減法之前，學(xué)生對整數(shù)加減法運用了好長時間，對“末位對齊”這一定律深信不疑，甚至奉為金科玉律，對整數(shù)中“數(shù)位相同才能直接運算”也有所領(lǐng)悟，但“末位對齊”也讓學(xué)生產(chǎn)生了思維定式。因此，教師在教學(xué)中要舉出反例，讓學(xué)生重新樹立“數(shù)位相同才能保證對齊”的正確觀點。上例中，立足于學(xué)生對整數(shù)加法的起點，將整數(shù)運算中的“末位對齊才能保證數(shù)位對齊”轉(zhuǎn)化為小數(shù)加減法中的“小數(shù)點對齊才能保證數(shù)位對齊”的新規(guī)，對比提煉出維系兩者的同一主線——數(shù)位對齊。

2.退一步，回歸算理起源

數(shù)的概念和運算，都是算理的起源，算理是從計數(shù)和運算需要中生成和歸納出的理論。如整數(shù)加減法的算理就是起源于數(shù)目增減的意義;小數(shù)的乘除法也是起源于小數(shù)擴(kuò)大和縮小的意義;分?jǐn)?shù)加減法的起源則是分?jǐn)?shù)單位個數(shù)的增減;四則混合運算則需要各種運算定律和法則作為支撐。在計算教學(xué)中回歸算理起源，往往能收到出奇制勝的效果。

【案例2】同分母分?jǐn)?shù)的加減法教學(xué)片段

教師出示問題情境一：1厘米、2厘米、3厘米、4厘米……1分米、2分米、3分米、4分米……在這些數(shù)據(jù)中任選兩個，編寫一道加法計算題，并算出結(jié)果。

問題情境二：

在上面的兩行數(shù)中任選兩個，編寫一道計算題，并算出結(jié)果。

對五年級的學(xué)生而言，計算類似3厘米加2厘米的問題，太過簡單，但是正是有了這樣淺顯的積累，才能為后面[34+24]的計算打下基礎(chǔ)。其間教師放手讓學(xué)生自行摸索，并引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟計數(shù)單位相同才能直接加減，如計數(shù)單位不相同則要化為相同后才能計算。

凡事在當(dāng)下找不到出路，就回歸本源。如在小數(shù)加減法計算中，若學(xué)生對小數(shù)點對齊這一法則不能完全接受，那就回歸本質(zhì)——看看整數(shù)加減法的運算法則是怎么回事。整數(shù)加減法可以看作是小數(shù)加減法的前身，從數(shù)型上看，小數(shù)只是比整數(shù)多了一個小數(shù)點。在整數(shù)加減法中要求數(shù)位對齊，只要將末位（個位）數(shù)字對齊，然后從右至左依次對齊。但是，在小數(shù)加減法中，兩個小數(shù)的末位數(shù)字不一定處于同一個數(shù)位，所以無法繼續(xù)運用末位數(shù)字對齊這一規(guī)則。但是其根本要旨是不變的，即數(shù)位對齊，只不過換了一個標(biāo)準(zhǔn)，小數(shù)加減法里，個位和十分位是相對固定的，分居小數(shù)點兩側(cè)，只要將小數(shù)點對齊，個位和十分位自然對齊，而這兩個數(shù)位分別是整數(shù)部分和小數(shù)部分的起點。說到底，小數(shù)加減法中的小數(shù)點對齊和整數(shù)加減法中的末位數(shù)字對齊，都是先讓個位對齊，然后讓數(shù)位依次對齊。

分?jǐn)?shù)加減法中，率先學(xué)習(xí)的是同分母分?jǐn)?shù)的加減法，為何只有分母相同才能直接相加減？這就要回溯到分?jǐn)?shù)加減法的本源，但這個本源“分?jǐn)?shù)單位的累加”本身也不好理解，不得已再向上溯源，回歸到計量單位（如厘米和分米）的疊加，只有長度單位相同才能直接將數(shù)據(jù)相加（如3厘米+4厘米=7厘米），類比遷移到分?jǐn)?shù)，也就是只有分?jǐn)?shù)單位相同，才能將分子直接相加減（如[313]+[413]=[713]）。

二、借助表象支撐，多維度理解算理

運算的算理是抽象的，也是理性的。根據(jù)小學(xué)生的心理特征，教學(xué)時先借助表象，建立直觀算理模型，再引入公式也是可行的。

1.借助直觀教具演示算理

【案例3】除數(shù)是整十?dāng)?shù)的除法筆算教學(xué)片段

除數(shù)是整十?dāng)?shù)的除法，受到除數(shù)是一位數(shù)除法的影響，學(xué)生常常出現(xiàn)以下錯誤：

[） 1? 4? 0][1? 2? 0] [2? 0][30][） 1? 4? 0][1? 2? 0] [2? 0][30][4? 0][） 1? 4? 0][1? 2? ] [2? 0][30][4? 0]

如何讓學(xué)生明白商4的位置所反映的算理？教師不妨采用小棒來全面揭露整個算理的運作過程（如圖1和圖2）。

例1：92÷30=

例2：140÷30=

除數(shù)是整十?dāng)?shù)的除法，商的位置的確定是一個難點，可讓學(xué)生試著列豎式，并通過圈畫的方法確定商的大小以及商寫在哪一位上。學(xué)生有了直觀圖的支持，就會對照理解豎式中每個數(shù)的含義，以及每一步運算的來歷與始末。一位數(shù)除法與小數(shù)加減法相似，起始課看似簡單，后期課程的難度卻超乎想象，因此只有在起始課中對算理進(jìn)行直觀演示并深刻揭示，才能幫助學(xué)生搭建完整穩(wěn)固的算理表象，降低后續(xù)學(xué)習(xí)的難度。

2.借助情境支撐理解算理

算法的建構(gòu)如果賦予具體情境，往往可以變得直觀形象。

【案例4】除數(shù)是兩位數(shù)的除法（試商、調(diào)商）教學(xué)片段

（1）創(chuàng)設(shè)問題情境

花費153元買同一款足球，分別可以買幾個？怎樣列式？

（2）計算“153÷21”并交流。

教師提問：

①如何試商？有什么發(fā)現(xiàn)？

②根據(jù)生活經(jīng)驗解釋出現(xiàn)這種情況的原因。

（3）計算“153÷32，153÷38”并交流。

教師提問：

①如何試商？有什么發(fā)現(xiàn)？

②根據(jù)生活經(jīng)驗解釋出現(xiàn)這種情況的原因。

③對比“153÷21”和“153÷32”，它們有什么共同點？為何初次試商會偏大？

④對比“153÷32”和“153÷38”，它們有什么差別？為什么除數(shù)都是三十幾？為什么“153÷32”初次試商會偏大，“153÷38”初次試商會偏小？

將除數(shù)四舍五入成整十?dāng)?shù)是口算試商的基本步驟，但“四舍”往往會導(dǎo)致試商偏大，“五入”則會導(dǎo)致試商偏小。借助購物這一生活情境可以直觀地反映試商的過程和意義?！?53÷32”中因為將單價縮小至30，因此買5個足球的實際費用低于實價，實付160元變成了估價150元，資金153元小于實價160元而大于估價150元，所以買5個超支，只能買4個，商要下調(diào)成4。通過兩組算式“153÷21、153÷32”“153÷32、153÷38”的對比，更能揭示調(diào)商的原因。

試商一直是多位數(shù)除法的教學(xué)難點，受到一位數(shù)除法的影響，遇到除數(shù)是整十?dāng)?shù)的除法，學(xué)生不知道如何對待除數(shù)末尾（個位）的0，只針對非零數(shù)字進(jìn)行除法運算，尤其是當(dāng)遇到前面的非零數(shù)字相除剛好符合某句乘法口訣時，也就是剛好整除時，就會得意忘形，胡亂寫商，將商寫到十位上，并在后面加一個零，無緣無故地將商擴(kuò)大10倍，這是受乘法“直接將因數(shù)末尾的0轉(zhuǎn)移到積的后面”的負(fù)遷移作用的影響，而誤將除數(shù)末尾的0也轉(zhuǎn)移到商的末尾。這種錯誤是不理解除法算理引起的，只有直觀地操作演示才能讓學(xué)生看清商的本質(zhì)。除法計算與其他運算的根本區(qū)別在于，加、減、乘的得數(shù)都可以一錘定音，但是除法計算由于存在余數(shù)問題，不可能每一步都符合乘法口訣，因此有一個試商的過程。雖然任何一個數(shù)位上的商都不可能逃離0～9這10個數(shù)字，但是未必就要逐一嘗試，而應(yīng)最大限度地縮小試商范圍，爭取試兩三次就敲定。為此，借助直觀、情境化的合理推測是可行之法，如先將除數(shù)估計為整十?dāng)?shù)，再按乘法口訣來暫定“臨時商”，然后一步步調(diào)整，最后確定“準(zhǔn)確商”。

三、打通知識間的壁壘，突出主線，促成理解

通過創(chuàng)設(shè)情境，借助直觀教具建立表象，可清除學(xué)生已有經(jīng)驗中的無關(guān)因素。在這一基礎(chǔ)上，教師還應(yīng)該通過類比其他知識，找到異同點和邏輯關(guān)聯(lián)，細(xì)化算理，實現(xiàn)學(xué)生對算理的理解從形式化走向智能化。

1.展示思路

【案例5】十幾減9的退位減法教學(xué)片段

根據(jù)“有15串糖葫蘆，賣了9串，還剩幾串？”可列式“15-9”。教師提問：“可采用什么方法解決問題？先獨立思考，再交流?！睂W(xué)生擺小棒推演，展示不同算法。

方法一：從15根小棒中扣減9根，剩下6根。

方法二：想加算減，聯(lián)想9+6=15，于是反推15-9=6。

方法三：破十法，15-9=10-9+5=6。

方法四：分批連減，15-9=15-5-4=6。

四種方法顯露出學(xué)生的思維路徑：“數(shù)小棒”直接運用減法意義，“想加算減”則是運用逆運算概念，“破十法”和“分批連減”則是應(yīng)用了拆分?jǐn)?shù)字的方法。上述方法中，“破十法”和“分批連減”的理解是難點，需要圖形輔助?！捌剖ā笔峭宋粶p法的直觀雛形，也是退位減法的理論依據(jù)，意義重大。因此，教師需要重點演示“破十法”的詳解過程，借助學(xué)具推演，在學(xué)生的展示和交流中詮釋算理。

2.溝通反思

課堂中教師要及時指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行新舊運算的對比，找出異同點，并用專業(yè)的學(xué)科語言陳述，實現(xiàn)算法和算理的融合，讓學(xué)生達(dá)到心領(lǐng)神會的境界。如“小數(shù)乘整數(shù)”和“整數(shù)乘法”進(jìn)行比較，“小數(shù)乘小數(shù)”和“小數(shù)乘整數(shù)”進(jìn)行比較，從而引導(dǎo)學(xué)生掌握“小數(shù)乘法”中小數(shù)點的確定規(guī)則;“小數(shù)除小數(shù)”與“小數(shù)除整數(shù)”做比較，復(fù)習(xí)整理時，再將小數(shù)乘除法進(jìn)行橫向?qū)Ρ?。可以說，學(xué)生對算理的掌握，就是在不斷的比較中達(dá)成的。

（責(zé)編 羅 艷）