摘要：當數學思維與數學眼光、數學語言一起以核心素養(yǎng)的面貌整體出現時，對數學思維的理解和把握，需要一個新的視角。相對于廣義的數學思維活動，“三會”中的數學思維主要表現為推理。其最重要的一個意義是，讓數學思維看得見也抓得住。推理的一般形式可以用符號語言表示為“P→Q”。推理過程中具體方法的運用決定了推理的具體形式。要從“思考現實世界”的需要出發(fā)，達成演繹推理與合情推理的相互協(xié)調。把統(tǒng)計推理納入數學推理，是因為從育人出發(fā)，不同學科之間的界限沒有那么重要。

關鍵詞：核心素養(yǎng);“三會”;數學思維;推理

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“2022年版課標”）相對于《義務教育數學課程標準（2011年版）》，最重要的變化是提出了“數學課程要培養(yǎng)的學生核心素養(yǎng)”，即會用數學的眼光觀察現實世界、會用數學的思維思考現實世界、會用數學的語言表達現實世界，統(tǒng)稱“三會”（以下分別簡稱“數學眼光”“數學思維”“數學語言”）。其中，數學眼光和數學語言第一次在數學課程目標中直接出現——《普通高中數學課程標準（2017年版）》中，“三會”只在課程性質、學業(yè)質量以及實施建議中出現。相比之下，數學思維一直都是數學課程關注的重點，是中小學數學教師熟悉的內容。而且，與數學思維有關的教學資源，包括文獻和具體教學案例等，都比數學眼光和數學語言豐富得多。因此，當數學思維與數學眼光、數學語言一起以核心素養(yǎng)的面貌整體出現時，對數學思維的理解和把握，需要一個新的視角。這個新視角，不僅要有助于把以往關于數學思維的認識和經驗引向“三會”中的數學思維，而且要有益于從整體上把握基于核心素養(yǎng)的數學課程目標體系。

為此，本文通過一些基礎性的分析，在原有對數學思維理解的基礎上，探討“會用數學的思維思考現實世界”的新視角，并嘗試厘清與之相關的主要問題。

一、 “三會”中的數學思維主要表現為推理

思維是包羅萬象的人腦活動，通常所說的數學思維一般指廣義的幾乎也是包羅萬象的數學思維活動。如，2001年以來，義務教育和普通高中各個版本的數學課程標準中提到過的數學思維活動就有：觀察、猜想、直觀想象、抽象概括、運算、推理、數據分析、驗證、反思、描述、表達，等，幾乎涵蓋了抽象思維、形象思維、邏輯思維、直覺思維等所有基本的思維形式。

“三會”中的數學思維不是指這種廣義的數學思維活動，這是由“三會”的特征決定的。

首先，“三會”是一個整體，三者之間互為支撐。例如，數學眼光的觀察和數學語言的表達都離不開數學思維，同時，數學思維也要在“眼光”和“語言”拓展出來的空間中展開。這種互為支撐，意味著“三會”之間存在相互重疊的成分。正是這種“重疊”，反映了“三會”作為核心素養(yǎng)的整體性特征，使分別表述的“三會”體現出本質上是共通的育人要求。

同時，“三會”之間的重疊不是完全重合。正是重疊之外的部分的存在，反映了“三會”各自不可或缺的獨特育人價值。數學課程要培育的學生核心素養(yǎng)，是“三會”，而不是“兩會”或“一會”，就是由這些沒有形成“相互重疊”的部分決定的。

“三會”的共通性和獨特性是理解和把握“三會”的基礎，也從結構上明確了“三會”中的數學思維不是泛指廣義的數學思維活動。

根據2022年版課標中關于“三會”的表述，廣義的數學思維活動中與“觀察、直觀想象、抽象概括”等相關的內容，已經主要對應于數學眼光;與“描述、表達”等相關的內容，已經主要對應于數學語言;而與“猜想、運算、推理、反思及數據分析”等相關的內容，才主要對應于數學思維，并且在本質上都屬于推理的范疇。

事實上，雖然猜想看起來與“頓悟”有關，應該屬于直覺思維，但是數學的猜想沒有像“樹上掉下蘋果”發(fā)現萬有引力那樣的例子，諸如費馬猜想（大定理）、四色猜想（定理）、“五次以上高次方程沒有公式解”等著名的數學猜想，都不是源自天馬行空的“頓悟”，而是有規(guī)律可循的，離不開持續(xù)、深入的推理及反思，表現為推理的結果。著名的數學猜想如此，數學課程涉及的猜想亦如此。而數據分析的意義，在于理解隨機現象和用數據講道理，本身就是統(tǒng)計推理。

由此，2022年版課標把“三會”中的數學思維表述為“主要表現為運算能力、推理意識或推理能力”中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2022：6。。其中，運算本質上就是演繹推理史寧中.數學思想概論（第3輯）：數學中的演繹推理[M].長春：東北師范大學出版社，2015：101。，而且，2022年版課標中也使用了“代數推理”的提法，所以，運算也可納入“推理”的范疇。在這個意義上可以認為，“三會”中的數學思維主要表現為推理，推理集中反映了數學思維的共通育人要求和獨特育人價值。

相對于廣義的數學思維活動，“主要表現為推理”就是理解和把握作為核心素養(yǎng)的數學思維的新視角。

二、 與推理有關的基本概念辨析

“三會”中的數學思維側重于推理，使關于推理意涵的理解顯得重要起來。

雖然數學教育教學的運行離不開推理，但在應試導向的教學實踐中，往往會傾向于如何“高效”地將學生塞進由具體策略、手段或方法構成的條條框框中，導致推理的教育意義很難在這種依賴被動接受的“條條框框”中生長。至少在基礎教育階段，類似把證明等同于推理等“只見樹木，不見森林”的認知比較普遍。作為“三會”中的數學思維主要表現的推理，仍是一個聽起來熟悉，實際上陌生的概念。

為此，有必要對推理的認知做一些基本的澄清，對推理有關的若干基本概念做一些簡要的分析和說明。

（一） 關于推理的形式

推理是一種思維活動形式。在教學實踐中，關注的焦點往往是具體的推理過程和方法，涉及的推理問題也都非常具體，而對一般意義上的推理形式問題關注不多。在“三會”中的數學思維主要表現為推理的視角下，具體的數學思維活動都應該在推理的框架下展開。因此，對推理形式的認知，以及對推理一般形式和具體形式之間關系的把握等，已經成為理解和把握“三會”中的數學思維的一個重要前提。

1. 推理的一般形式

在一般意義上，推理表現為“如果P，那么Q”或“因為P，所以Q”這樣的關于前提與結論之間邏輯關系的思維活動。所有這樣的具體思維活動，都可以用符號語言表示為“P→Q”（仍然讀作“如果P，那么Q”）。其中，P表示前提，Q表示結論（或稱P是前件，Q是后件）。P和Q的屬性不限，可以是社會、經濟、文化和生活中的事件，也可以是科學和數學領域的概念和命題;可以簡單（不能再分解），也可以復雜（能進一步分解）。對它們的“硬性”要求只有一個，就是能判斷真假。

如果P和Q是與數學有關的命題，P→Q就是“三會”中的數學思維所側重的推理形式。這個簡潔明了的形式概括了數學領域中所有的因果關系，數學思維活動就是圍繞P→Q展開的。它是紛繁復雜的具體推理問題的本源，也是“會用數學的思維思考現實世界”的基礎。認識P→Q的意義，意味著改變“只見樹木，不見森林”認知局面的開始。

2. 推理的具體形式

P→Q是一般的推理形式，而P和Q之間是否存在因果關系需要通過相應的方法確認。推理過程中具體方法的運用決定了推理的具體形式。

對廣義的P→Q，P和Q之間的因果關系是通過邏輯演算方法確認的，屬于數理邏輯的范疇，義務教育階段沒有涉及。

義務教育階段數學課程中的P和Q都是具體的命題，判斷它們之間是否存在因果關系，需要通過與它們所在學段和學習領域相關聯的具體方法確認。推理的具體形式就由這樣的具體方法決定：如果是根據學生的直接經驗，如較低學段從觀察、實驗等方法出發(fā)的“找規(guī)律”等，就稱為經驗推理;如果是從探究、論辯或論證出發(fā)的歸納，就稱為歸納推理;如果運用的是演繹法，就稱為演繹推理;等等。這幾種推理形式的學科屬性不強，數學課程的所有學習領域都可以用。而有些推理形式則有較強的學科屬性：如果推理是通過運算進行的，就稱為算數推理或代數推理;如果推理是借助圖形直觀展開的，就稱為直觀推理或空間推理;如果推理運用的是數據，就稱為統(tǒng)計推理（或推斷）;等等。

總之，以P→Q為基礎，不同推理方法的運用產生了不同的推理形式，它們都沿著P→Q的方向，以言之有理并步步有據的方式推進。伴隨著推理方法的多樣性，推理在具體形式上是比較開放的。

由此可以看出，“證明等同于推理”的說法顯然不能成立，因為無論對“證明”采取多么開放的態(tài)度，也代替不了與“找規(guī)律”有關的經驗推理，更與借助空間直觀、數據等進行的推理無關。證明只是眾多推理方法中的一種，如果把證明等同于推理，實際上是大大地壓縮了推理的思維空間，有可能影響甚至限制學生數學思維的健康發(fā)展。

關于推理形式方面的要求，其實是不直接見諸中小學教材內容的。之所以專門討論這個問題，一方面是由于這個問題本身的意義，另一方面是當“三會”中的數學思維主要側重于推理時，澄清與推理有關的概念，有助于拓展推理在數學課程中的空間，可以避免由“證明等同于推理”產生出如“數學思維側重于證明”這樣的認知?！叭龝敝械臄祵W思維是從廣義的數學思維活動向推理的聚焦，彰顯了數學思維的共通育人要求和獨特育人價值。這里的“主要表現”或“側重”與單一、逼仄無關，而指向一片以P→Q為主題，充滿探索、發(fā)現、嚴謹、求實，能促進學生大腦健全發(fā)育的豐富多彩園地。

（二） 關于演繹推理與合情推理

與之前版本的課標相比，2022年版課標中關于推理的表述有變化，“演繹推理”和“合情推理”這兩個詞幾乎沒有出現，與之相關的場合都統(tǒng)一使用“推理”一詞，沒有刻意地區(qū)分。這個變化反映出，“三會”中的數學思維結合義務教育的學段特點，首先關注的是推理的普遍意義。為了理解這個普遍意義，要從分析演繹推理和合情推理的功能開始。

雖然推理形式比較開放和多樣，但必須清楚的是，推理形式本身與推理結果是否成立之間一般沒有必然的聯系。因為無論何種推理形式，只有一種情況下的推理結果是必然成立的：對于一個推理形式P→Q，如果在討論問題范圍（論域）內，對每一個對象或元素，都有如果P成立，那么Q就一定成立，或者說如果P是真的，那么Q就一定是真的，則P→Q是一個必然性（或確定性，或可靠性）推理，其結論普遍成立。我們熟知的許多推理形式，如歸納、類比等，就不滿足這樣的要求。例如，當二次、三次、四次代數方程都找到了公式解法時，可以用歸納法推出“五次方程也有公式解法”。這里雖然合理地運用了歸納推理，但是結論并不成立。這一例子說明，形式上的合理并不能保證結果的可靠。這是關于推理問題的一個基本認知。

1. 演繹推理是必然性推理

運用演繹法的推理稱為演繹推理。演繹法就是通常所說的“三段論”，也就是首先要證明A是成立的，接下來證明A→B是成立的，那么B就成立了。在教學中會把這種方法稱為從一般到特殊的方法。三段論有許多等價形式，在教學中也會用不同的稱謂來區(qū)分這些等價形式，如分析法、綜合法等，這里就不一一列舉了。

所有可能的數學推理形式中，只有演繹推理是必然性或確定性推理，即只有演繹推理的結果是一定成立的。其他任何形式的推理結果，都可能成立，也可能不成立，即推理結果是不確定的，或者說推理結果是或然的。因此，如果要確認一個結論是成立的，就只能用演繹推理。

為了有所區(qū)別，2001年以來，數學課程標準把演繹推理之外的推理形式統(tǒng)稱為合情推理，即數學推理的整體結構為“演繹推理+合情推理”。這也是目前2022年版課標中“推理”一詞的含義。

2. 演繹推理與合情推理的關系

比演繹推理與合情推理的內涵更重要的是它們之間的關系，可從兩方面分析這種關系。

一方面，演繹推理雖然可靠，但只是根據已知命題，確認一個新命題成立的推理。雖然在推理過程中也可能產生提出新概念、開發(fā)新方法的需求，存在進一步發(fā)現問題和提出問題的可能，但僅就推理的結果而言，因為都是已知的，所以只是確認了一個已知命題的真?zhèn)?，與發(fā)現新命題沒有關系。合情推理雖然是或然性推理，但幾乎都是為發(fā)現一個新事物（現象、事件）或提出一個新命題而發(fā)起的。雖然它們推出的結論是或然的，甚至可能推不出什么像樣的結果，但數學和科學領域的開疆拓土、創(chuàng)新發(fā)現往往都與合情推理提出的猜想、假設有關。所以，數學課程標準已經把合情推理視為引導學生數學“再發(fā)現”所遵循的一個基本途徑。

另一方面，合情推理遍布于基礎教育的許多學科，不為數學課程所獨有。也就是說，在數學課程之外，學生也多少會受到合情推理的熏陶，只不過機會沒有數學多，程度也沒有數學強烈。演繹推理在基礎教育其他學科中只是零星地出現，系統(tǒng)的演繹推理在基礎教育階段僅存于數學課程。加之演繹推理在培育思維嚴謹性方面的顯著作用，所以表現為推理不可替代的教育價值。

從以上兩方面的分析可以看出：如果想給學生的思維插上發(fā)現的翅膀，合情推理必不可少;如果想讓學生的思維嚴謹扎實，演繹推理不可或缺。演繹推理和合情推理在育人價值實現方面各有所長，缺一不可。如果沒有合情推理，數學思維就會失去開放和靈活;如果沒有演繹推理，數學思維就會失去自信和專注。如果想要兩者兼得，就一定要賦予演繹推理和合情推理同等重要的思維教育使命。因此，2022年版課標沒有刻意區(qū)分演繹推理和合情推理，而是注重平衡推理反映的開放、靈活與自信、專注之間的關系，并且在事實上給出了一個使兩者相互協(xié)調、成為一體的標準——“思考現實世界”。在義務教育階段，無論是演繹推理還是合情推理，無論是開放、靈活還是自信、專注，能否相互協(xié)調、熔入一爐，歸根結底，要由“思考現實世界”的需要決定。如果現實需要探索發(fā)現，就一定要開放、靈活;如果現實需要求真務實，就一定要自信、專注。從“思考現實世界”的需要出發(fā)，達成演繹推理與合情推理的相互協(xié)調。

（三） 關于統(tǒng)計推理

雖然統(tǒng)計推理的說法在教學實踐和研究領域已經被廣泛使用，但是統(tǒng)計推理與前面提到的演繹推理、合情推理其實是不一樣的推理?！安灰粯印敝饕憩F在三個方面：

一是對象不一樣。數學的推理，一般是對命題之間的邏輯關系而言的，對象是命題。而統(tǒng)計的推理是就數據的獲取與分析而言的，對象是數據。

二是目標不一樣。數學推理的目標是為了確認或提出一個事實。而統(tǒng)計推理的目標是對一個未知事件發(fā)生的可能性作出預測。

三是結果不一樣。數學推理的結果是一個命題的成立與否，是一個純客觀的結果。統(tǒng)計推理的結果是對一個事件發(fā)生可能性大小的估計，是一個相對主觀的結果。在專業(yè)的統(tǒng)計科學領域里，稱這種結果為推斷。這個“斷”字，在漢語里反映的就是人的主觀性。

顯然，這個“不一樣”幾乎是完全不一樣。

雖然在學科領域里，統(tǒng)計和數學的研究對象和方法論都不太一樣，但它們又同時在方方面面深度地相互融合與借鑒。這一點在中小學數學課程領域尤為明顯。以百分數為例，百分數既是一個有理數，又是一個“率”，還是一個作為統(tǒng)計推理依據的統(tǒng)計量。百分數反映的這種數學和統(tǒng)計你中有我、我中有你、緊緊“抱”在一起的狀態(tài)，就是基礎教育階段把數學和統(tǒng)計放在一起的重要原因。特別地，在“三會”中的數學思維側重于推理的框架下，它們都是在現實世界從已知探索未知的過程中，有條理、合規(guī)矩、言之有理且步步有據的思考。把統(tǒng)計推理納入數學推理，雖然在學科意義上不夠嚴格，但在核心素養(yǎng)的共通育人要求和獨特育人價值面前，不同學科之間的界限真的沒有那么重要。

三、 “三會”中的數學思維主要表現為推理的現實意義

對“三會”中的數學思維主要表現為推理的理解和把握，在數學教材建設、教學實踐、學習方式、評價策略等方面都有廣泛的現實意義。每一個方面都值得專門論及。限于篇幅，本文僅指出筆者認為最重要的一個意義：讓數學思維看得見也抓得住。

數學思維，不僅提法為大家所熟悉，而且被關注的持續(xù)時間長，討論的范圍也相當廣泛。正因為熟悉和廣泛，所以中小學與數學思維有關的話題難免有些五花八門，包括一些來源并不清楚、依據也不扎實的某某思維、某某思想等內容不勝枚舉。其實，無論教師還是學生，對這些思維、思想大多是懵懵懂懂的。這種隨意性很容易造成數學思維聽起來熟悉、實際上陌生的結果。如果在不清楚的情況下，盲目地照抄照搬，很可能就只剩下“對、快、準”是硬道理了。

所以，把握“三會”中的數學思維的新視角，有助于在思考數學思維問題時，有意識地聚焦推理，把教學過程中涉及的數學思維活動，包括運算和數據分析等，都放在推理的框架下，與現實世界的需要聯系在一起，有條理并言之有據地展開思考和實踐。那些來源并不清楚的某某思維、某某思想等令人眼花繚亂的說法，也有可能在這樣的過程中被過濾掉。由于推理形式的豐富性，推理的表現仍然有可能五花八門，但“五花八門”中的數學思維能被看見也被抓住。能“看見”和“抓住”的推理才能作為一種思維方式，逐步伴隨學生走進未來的職業(yè)和生活，提高他們作為未來公民的理性思維水平。

之所以僅指出這一個意義，是因為筆者認為這個意義對數學教師以“三會”為目標開展教學實踐是最重要的。對課程改革的理念和目標，相信教師是普遍“看得見”的。但對課程改革的具體要求，可能“抓不住”的現象就會多一些。廣義的數學思維本身確實有些難以“抓住”，不過“三會”中的數學思維側重于推理，這個相對具體的聚焦增加了“抓住”的可能。如果能進一步對推理的形式及不同推理形式之間的關系有所了解，對推理的共同要求和獨特價值有所把握，就逐步在自己“抓住”的基礎上具備了指導學生“抓住”的可能。例如，當學生在推理過程中遇到挑戰(zhàn)時，如果教師能夠意識到原因可能并不在于他們專注與否，而在于這個對象或內容與他們的現實生活沒什么關系……并隨之在教學引領方面作出調整等，就是“讓數學思維看得見也抓得住”所希望的樣態(tài)。這樣的教學實踐，一定能轉化為培育學生核心素養(yǎng)的營養(yǎng)。

總之，本文的目的是分析和探討如何理解和把握“三會”中的數學思維方面。其中，與推理相關的文字表述本來在數學領域里應該是要求最嚴格的，本文采用的簡明表述方式恐有失周延。好在確切的表達可以在許多文獻中查到，希望不至有大的紕漏。（孫曉天，中央民族大學，二級教授。北京師范大學中國創(chuàng)新教育研究院數學學科首席專家，國家教材委專家工作委員會委員。義務教育數學課程標準修訂組核心成員。）