陳梅香 謝溪莊

[摘 要] 常微分方程是微積分課程中的重要組成部分，在自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用。針對(duì)微分方程教學(xué)過程中存在的問題，提出解決的可行性方案，再以可分離變量的微分方程為例，以數(shù)學(xué)建模思想為導(dǎo)向，將抽象的理論知識(shí)附著在實(shí)際問題中，讓學(xué)生在應(yīng)用的背景中學(xué)習(xí)、理解可分離變量微分方程的求解及其應(yīng)用，提高他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力。

[關(guān)鍵詞] 微分方程;數(shù)學(xué)建模;可分離變量方程;Matlab工具

[基金項(xiàng)目] 2020年度福建省教育廳境外生公共數(shù)學(xué)教育教學(xué)改革項(xiàng)目（FBJG20200181）; 2021年度第三批華僑大學(xué)一流本科課程建設(shè)項(xiàng)目

[作者簡(jiǎn)介] 陳梅香（1984—），女，福建泉州人，博士，華僑大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院講師，主要從事數(shù)值線性代數(shù)研究。

[中圖分類號(hào)] G642 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1674-9324（2022）20-0141-04 [收稿日期] 2021-01-19

高等數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容是微積分，而微積分是以極限為基本思想和基本運(yùn)算來研究實(shí)數(shù)集上的函數(shù)[1]。微分方程則是高等數(shù)學(xué)的重要組成部分，它是數(shù)學(xué)聯(lián)系實(shí)際，并應(yīng)用于實(shí)際的重要途徑和橋梁。在反映客觀現(xiàn)實(shí)世界運(yùn)動(dòng)過程的量與量之間的關(guān)系中，大量存在著滿足微分方程關(guān)系式的數(shù)學(xué)模型，需要通過求解微分方程來了解未知函數(shù)的性態(tài)，從而精確地表述事物變化所遵循的基本規(guī)律[2，3]。例如：牛頓在研究天體力學(xué)和機(jī)械動(dòng)力學(xué)時(shí)，就利用了微分方程這一工具，從理論上得到了行星的運(yùn)動(dòng)規(guī)律;法國(guó)天文學(xué)家勒維烈和英國(guó)天文學(xué)家亞當(dāng)斯使用微分方程各自計(jì)算出那時(shí)尚未發(fā)現(xiàn)的海王星的位置等，這些都使數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家更加深信微分方程在認(rèn)識(shí)自然、改造自然方面的巨大力量。

數(shù)學(xué)建模是人們應(yīng)用數(shù)學(xué)方法探討自然現(xiàn)象、社會(huì)現(xiàn)象、工程技術(shù)以及日常生活中的實(shí)際問題的過程，是聯(lián)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用的重要橋梁[4，5]。作為數(shù)學(xué)走向應(yīng)用的最初一步，事實(shí)上，數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)學(xué)科本身有著同樣悠久的歷史。從古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的幾何原本，到根據(jù)大量天文觀測(cè)數(shù)據(jù)總結(jié)出來的行星運(yùn)動(dòng)的三大定律;從牛頓和萊布尼茲創(chuàng)立的微積分，到流體力學(xué)以及量子力學(xué)中的微分方程，無一不是揭露了事物本質(zhì)的數(shù)學(xué)模型。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，數(shù)學(xué)迅速地進(jìn)入了自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域，為數(shù)學(xué)建模開拓了廣闊的用武之地。將數(shù)學(xué)建模引入到微積分，尤其是常微分方程的教學(xué)中，為數(shù)學(xué)與外部世界的聯(lián)系提供了一種更有效的方式。讓學(xué)生學(xué)習(xí)和品味數(shù)學(xué)是如何從實(shí)際問題中提煉出來，是如何應(yīng)用于實(shí)際問題的，這也是傳統(tǒng)的教學(xué)課堂和教材上所缺少的，這必將啟迪學(xué)生們的數(shù)學(xué)心智，促使他們更好地學(xué)習(xí)、理解、應(yīng)用數(shù)學(xué)，這對(duì)于學(xué)生的“學(xué)以致用”和“用以致學(xué)”都是一件很有意義的事情。

一、高等數(shù)學(xué)中微分方程課程教學(xué)存在的問題

對(duì)于非數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生來說，一般是在學(xué)習(xí)完一元函數(shù)的微分學(xué)和積分學(xué)后開始接觸微分方程。然而，不少同學(xué)對(duì)微分方程這一知識(shí)體系的學(xué)習(xí)卻覺得有些吃力，知識(shí)點(diǎn)的理解有些困難，往往只會(huì)一些簡(jiǎn)單方程的計(jì)算，而且很多時(shí)候也是生搬硬套書上的公式，談不上對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解，其主要原因主要有以下三個(gè)方面。

（一）很多教材過于理論化、抽象化

數(shù)學(xué)中的基本概念、基本公式和基本定理大多來源于實(shí)際生活中的具體問題，再經(jīng)過分析、總結(jié)，最后用數(shù)學(xué)語言描述形成數(shù)學(xué)理論。很多高校都是選用《高等數(shù)學(xué)》作為非數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生系統(tǒng)學(xué)習(xí)微積分和微分方程的教材。與更加理論化、專業(yè)化的《常微分方程》相比，《高等數(shù)學(xué)》顯得更加簡(jiǎn)單、系統(tǒng)，而且授課的學(xué)時(shí)也較少。然而，很多教材在微分方程這一知識(shí)體系上的內(nèi)容介紹過于理論化、抽象化，導(dǎo)入的問題和分析的案例比較陳舊和單薄，與實(shí)際應(yīng)用的關(guān)聯(lián)度較少，這就使得學(xué)生對(duì)微分方程的學(xué)習(xí)和理解比較困惑，在腦海中呈現(xiàn)出來的都是如何計(jì)算微分方程，只停留在微分方程理論知識(shí)的表面，不懂得如何學(xué)以致用。

（二）課堂教學(xué)上重理論輕應(yīng)用

在微分方程的課堂教學(xué)上很多都是依據(jù)教材、按部就班，教學(xué)內(nèi)容過于理論化、公式化，形式化，與實(shí)際應(yīng)用聯(lián)系不夠緊密;教學(xué)方法單一，與現(xiàn)代信息技術(shù)手段的結(jié)合較少，課堂比較枯燥無味;有些教師又過分地依賴于多媒體授課方式，未有足夠的時(shí)間給予學(xué)生思考、理解，有種“學(xué)術(shù)報(bào)告”的感覺。而且，一般在介紹微分方程這部分內(nèi)容的時(shí)候，已臨近期末，時(shí)間緊，任務(wù)重。在教學(xué)進(jìn)度、學(xué)習(xí)任務(wù)各方面的壓力下，學(xué)生在教學(xué)課堂上常常有種“滿堂灌、聽不懂、很凌亂”的感覺，學(xué)習(xí)效率低下，整個(gè)課堂效果不甚理想。

（三）學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣不濃、積極性不夠

高等數(shù)學(xué)的知識(shí)體系是環(huán)環(huán)相扣、緊密相連的，而知識(shí)的學(xué)習(xí)是一個(gè)從接觸、學(xué)習(xí)、鞏固、提高到熟練掌握的過程。大一的新生剛從中學(xué)過來，對(duì)老師的依賴性比較大，習(xí)慣了中學(xué)期間重復(fù)性的做題、訓(xùn)練、講解，從而完成對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，還未能很好地適應(yīng)大學(xué)的學(xué)習(xí)生活。對(duì)于高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，總感覺“概念多、定理多、理論性強(qiáng)、實(shí)際應(yīng)用少”。尤其是進(jìn)入大學(xué)階段后，整體管理較為輕松，缺乏群體學(xué)習(xí)的壓力和激勵(lì)，一旦教師授課手段或方式缺乏多樣性，學(xué)生就容易出現(xiàn)疲倦狀態(tài)，學(xué)習(xí)動(dòng)力不足，學(xué)習(xí)效果不好。一旦沒有微分學(xué)和積分學(xué)的堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)，對(duì)于微分方程的學(xué)習(xí)自然是一頭霧水、云里霧里。

二、微分方程教學(xué)中融合數(shù)學(xué)建模思想的思考

高等數(shù)學(xué)內(nèi)容豐富，難度大，課時(shí)少，需要學(xué)生有著更高的理解、分析和邏輯推理能力。同時(shí)，作為教師則需要幫助學(xué)生轉(zhuǎn)變學(xué)習(xí)方式，幫助他們從“被動(dòng)學(xué)習(xí)”到“主動(dòng)學(xué)習(xí)”。微分方程作為微分學(xué)和積分學(xué)在理論上的推廣及應(yīng)用，在很多學(xué)科領(lǐng)域都有著重要的作用，是研究和解決很多實(shí)際問題的有力工具。下面以可分離變量的微分方程為例，結(jié)合筆者多年來在高等數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)建模的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)數(shù)學(xué)建模思想應(yīng)用于微分方程教學(xué)提出如下可供參考的建議。

（一）源于教材，高于教材

現(xiàn)有微積分教材中關(guān)于微分方程知識(shí)體系，雖有著內(nèi)容的完整性和理論的嚴(yán)謹(jǐn)性，但較為抽象，案例較為陳舊。在教學(xué)過程中，應(yīng)以數(shù)學(xué)建模思想為導(dǎo)向;以學(xué)以致用、用以致學(xué)為目標(biāo);對(duì)理論知識(shí)進(jìn)行探究、再加工;使之簡(jiǎn)單化、易理解?？梢詫ふ乙恍┡c知識(shí)點(diǎn)相關(guān)，又源于生活、生動(dòng)新穎，內(nèi)容豐富、啟示性強(qiáng)的案例進(jìn)行建模示范，將抽象的理論附著在現(xiàn)實(shí)的背景中，讓學(xué)生在應(yīng)用情境中認(rèn)識(shí)微分方程、學(xué)習(xí)和掌握微分方程的理論及其應(yīng)用。

（二）活躍課堂教學(xué)，提高課堂效率

在課堂教學(xué)中，根據(jù)引入的實(shí)際案例，設(shè)置懸念、創(chuàng)設(shè)問題情境、讓學(xué)生參與討論、引導(dǎo)學(xué)生思考問題、解決問題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)樂趣。此外，還可分享一些理論知識(shí)背后的歷史背景和數(shù)學(xué)家故事，消除課堂教學(xué)上的疲倦感，緩解理論學(xué)習(xí)的壓力，培養(yǎng)他們追根溯源、發(fā)散思維的能力。

（三）借助Matlab工具和數(shù)形結(jié)合思想，提升直觀想象能力

直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用空間形式特別是圖形，分析研究對(duì)象的性質(zhì)及變化規(guī)律。通過圖形構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型，將數(shù)學(xué)理論知識(shí)的呈現(xiàn)可視化，進(jìn)而探索、發(fā)現(xiàn)并解決問題，這是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的很有效方法。同時(shí)，這也需要在課堂教學(xué)上整合信息技術(shù)、數(shù)學(xué)軟件、數(shù)學(xué)模型等多種資源，豐富課堂教學(xué)方式，使學(xué)生從感官上獲得認(rèn)知，內(nèi)化為對(duì)實(shí)際問題的理性思考。其中，Matlab工具在理論知識(shí)的可視化，提升學(xué)生直觀想象能力等方面都扮演著很重要的角色。Matlab作為方便使用、功能強(qiáng)大的數(shù)學(xué)軟件之一，具有強(qiáng)大的數(shù)值運(yùn)算和圖形可視化功能。尤其在微分方程方面，Matlab不僅可以求解微分方程的解析解，還可以求解微分方程的數(shù)值解、估計(jì)方程中的參數(shù)、檢驗(yàn)微分方程與實(shí)際數(shù)據(jù)的吻合情況以及實(shí)際問題的仿真。當(dāng)然，它還可以很輕松地將微分方程中蘊(yùn)含的解函數(shù)以二維圖形或三維圖形的形式呈現(xiàn)出來。這樣，不僅可以把很多實(shí)際問題和研究對(duì)象變得具體化、形象化，使學(xué)生從復(fù)雜的數(shù)學(xué)理論的理解轉(zhuǎn)化為對(duì)圖形的理解，加快、加深學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)、理解及應(yīng)用，豐富課堂教學(xué)內(nèi)容，調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，進(jìn)一步地培養(yǎng)學(xué)生的觀察、分析、直觀想象的能力。

三、情景再現(xiàn)——實(shí)例分析

函數(shù)刻畫的是事物間的相關(guān)性，是用來描述“關(guān)系”或“變化”的工具。而導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)增減、變化快慢的最有效的工具，通俗地講是研究某個(gè)變量相對(duì)于另一個(gè)變量變化的快慢程度。微分方程則是聯(lián)系自變量、未知函數(shù)及其變化率（導(dǎo)數(shù)）的關(guān)系式。事實(shí)上，微分方程是一個(gè)數(shù)學(xué)建模的過程，是一個(gè)源于實(shí)際，應(yīng)用于實(shí)際的一個(gè)重要數(shù)學(xué)工具。它能夠較好地捕捉一些實(shí)際問題中蘊(yùn)含的變量之間的聯(lián)系，進(jìn)而形成微分方程這一數(shù)學(xué)語言，只要求出這一方程的解函數(shù)或獲得解函數(shù)的性態(tài)，便可獲悉該實(shí)際問題背后的自然規(guī)律，幫助人們解決實(shí)際問題。下面，我們以人口模型為例，結(jié)合Matlab工具的數(shù)值分析，以期讓學(xué)生在具體的應(yīng)用情境中學(xué)好可分離變量微分方程的計(jì)算、求解及應(yīng)用知識(shí)。

（一）問題的引入

有個(gè)地區(qū)，人口的相對(duì)增長(zhǎng)率是個(gè)常數(shù)，即單位時(shí)間內(nèi)人口的增長(zhǎng)量與人口成正比，假設(shè)這一比例系數(shù)為r，那么該地區(qū)人口數(shù)量隨時(shí)間是如何變化的？

（二）數(shù)學(xué)模型

①建立微分方程：假設(shè)該地區(qū)初始時(shí)刻的人口為N（0）=N0，時(shí)刻t的人口為N（t），那么在時(shí)刻t到t+Δt這段時(shí)間內(nèi)人口的增長(zhǎng)量為：N（t+Δt）-N（t）=rN（t）Δt，上式兩端同除以Δt并令Δt→0時(shí)，可得如下微分方程：

? ?（1）

②引入可分離變量微分方程的求解：在自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)各個(gè)領(lǐng)域有一類常見的方程，其形式如下：

g（y）dy=f（x）dx，? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（2）

我們稱之為可分離變量微分方程。

提問：這樣形式的微分方程有什么特征？

對(duì)于可分離變量方程，可知其解等價(jià)于積分方程的解（詳見文獻(xiàn)[1-3]，在板書上詳細(xì)推導(dǎo)），因此只需求出g（y）和f（x）的原函數(shù)，即可得到方程（2）的通解。若方程（2）還滿足初始條件，便可進(jìn)一步得到該方程的特解。

③模型的求解和Matlab數(shù)值分析：方程（1）顯然是一個(gè)可分離變量方程，經(jīng)變量分離并對(duì)方程兩邊取不定積分后可得：N（t）=N0ert。

討論：這個(gè)函數(shù)關(guān)系式能說明什么現(xiàn)象，揭示什么規(guī)律？

這個(gè)函數(shù)關(guān)系清晰地表明了人口數(shù)量與時(shí)間的變化關(guān)系。借助Matlab工具，取N0=30.6，r=0.02，可在平面上畫出人口數(shù)量關(guān)于時(shí)間的函數(shù)曲線。不難看出，人口數(shù)量呈現(xiàn)出指數(shù)增長(zhǎng)的變化趨勢(shì)，而且每34.6年會(huì)增加一倍。

④背景知識(shí)和歷史的檢驗(yàn)：方程（1）就是經(jīng)典的馬爾薩斯人口模型，最早由英國(guó)著名的人口學(xué)家馬爾薩斯在1798年提出。他在擔(dān)任牧師期間，查看當(dāng)?shù)匾话俣嗄甑娜丝诔錾Y料發(fā)現(xiàn)了一個(gè)規(guī)律：該地區(qū)人口的相對(duì)增長(zhǎng)率是個(gè)常數(shù)，便建立該模型，用以分析人口數(shù)量的變化情況。與歷年的世界人口統(tǒng)計(jì)資料對(duì)比，可發(fā)現(xiàn)人口增長(zhǎng)的實(shí)際情況在一定時(shí)期內(nèi)與馬爾薩斯模型預(yù)報(bào)的結(jié)果是基本相符的。例如，1961年世界人口數(shù)為30.6億，人口增長(zhǎng)率約為2%，人口數(shù)大約每35年增加一倍。檢查1700年至1961年的260年人口實(shí)際數(shù)量，發(fā)現(xiàn)兩者幾乎完全一致。

（三）模型的改進(jìn)

①新問題：按照馬爾薩斯人口模型，人口數(shù)量將呈現(xiàn)幾何級(jí)數(shù)的方式增長(zhǎng)?？梢杂?jì)算到2510年，人口將達(dá)到2×1014，這是不現(xiàn)實(shí)的，因此模型（1）在人口數(shù)量不太大的時(shí)候是合理的，而長(zhǎng)時(shí)間來看，又是不吻合的。隨著人口的增加，自然資源、環(huán)境條件等因素會(huì)對(duì)人口繼續(xù)增長(zhǎng)的阻滯作用越來越顯著。

②新模型：因?yàn)槿丝谠鲩L(zhǎng)率會(huì)隨著人口的繼續(xù)增加而減少，一個(gè)簡(jiǎn)單的方法是將增長(zhǎng)率看成N（t）的一次函數(shù)，即如下新模型：

（3）

這里r表示自然增長(zhǎng)率，表示資源環(huán)境阻滯人口增長(zhǎng)，Nm表示環(huán)境容納量。

③新模型的求解和Matlab數(shù)值分析：方程（3）仍是一個(gè)可分離變量方程，這個(gè)方程也稱為L(zhǎng)ogistic模型。經(jīng)變量分離求解可得：

（4）

該函數(shù)清楚地揭示了人口數(shù)量與時(shí)間的變化關(guān)系。借助Matlab工具，記1961年為t=0時(shí)刻，即N0=30.6億，并取r=0.0243，Nm=150億，可在平面上畫出人口數(shù)量關(guān)于時(shí)間的函數(shù)曲線，不難獲悉人口數(shù)量隨著時(shí)間的變化先是指數(shù)上升，后來則趨于平穩(wěn)，說明人口數(shù)量不會(huì)無限制地增長(zhǎng)。

④真實(shí)數(shù)據(jù)的檢驗(yàn)：取t=39和t=59時(shí)，分別對(duì)應(yīng)于2000年和2020年，根據(jù)函數(shù)關(guān)系（4）式可求得N（39）=59.7，N（59）=77.7，即2000年和2020年世界人口數(shù)量分別為59.7億和77.7億，這與聯(lián)合國(guó)人口基金會(huì)發(fā)布的世界人口報(bào)告中的61.14億和77.62億是基本一致的。

結(jié)語

為了讓學(xué)生領(lǐng)悟高等數(shù)學(xué)的本質(zhì)及應(yīng)用的精髓，激起學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和積極性。本文從微分方程教學(xué)過程中出現(xiàn)的問題出發(fā)，結(jié)合筆者多年來的高等數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)建模教學(xué)、輔導(dǎo)經(jīng)驗(yàn)，提出將數(shù)學(xué)建模思想融合于微分方程的教學(xué)中。并通過具體的人口實(shí)例，充分利用數(shù)學(xué)建模的方法，讓學(xué)生清晰地看到微分方程可以從哪里來，如何分析、求解，又如何回到實(shí)際問題中，也讓學(xué)生明白微分方程不只是一個(gè)計(jì)算的過程，而是一個(gè)數(shù)學(xué)建模的過程，可以很好地應(yīng)用于我們?nèi)粘Ｉ钪械脑S多問題，并逐漸地理解微分方程研究的目標(biāo)是微分方程驅(qū)動(dòng)下的函數(shù)性態(tài)和函數(shù)曲線規(guī)律，而不單純地是一個(gè)抽象的數(shù)學(xué)概念。

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Application of Mathematical Modeling Idea in Calculus Teaching Practice： Taking the Differential Equation of Separable Variables as an Example

CHEN Mei-Xiang， XIE Xi-zhuang

（School of Mathematical Science， Huaqiao University， Quanzhou， Fujian 362021， China）

Abstract： The ordinary differential equation is an important part of Calculus， which is widely used in natural science and social science. In this paper， we present the feasible solutions for the problems in ordinary differential equation teaching. Furthermore， taking the variable separable differential equation as an example， we focus on how to apply the practical problems into the abstract mathematical theoretical knowledge guided by the idea of mathematical modeling， which can make students study better in this environment and understand the solving of variable separable differential equations. Meanwhile， it can improve students’ ability to study mathematics and apply mathematics.

Key words： differential equation; mathematical modeling; variable separable differential equations; Matlab tools