【摘要】本文論述培養(yǎng)高中生數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的策略，闡述數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的內(nèi)涵，分析影響學(xué)生數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)發(fā)展的原因，提出重視運算，讓學(xué)生積累運算知識、明晰算理、靈活選擇運算方法、養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪\算習(xí)慣以及重視反思運算過程和結(jié)果等教學(xué)建議。

【關(guān)鍵詞】核心素養(yǎng) 數(shù)學(xué)運算 策略

【中圖分類號】G63 【文獻標(biāo)識碼】A

【文章編號】0450-9889（2022）11-0118-03

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱課程標(biāo)準(zhǔn)）強調(diào)“高中數(shù)學(xué)課程以學(xué)生發(fā)展為本，落實立德樹人的根本任務(wù)，提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)”，突出了培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要性，指出“數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)包括：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算和數(shù)據(jù)分析。這些數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)既相對獨立、又相互交融，是一個有機的整體”。數(shù)學(xué)運算是六大數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)之一，它不但對培養(yǎng)學(xué)生解決實際問題的能力、養(yǎng)成一絲不茍的科學(xué)精神具有重要的作用，還影響著其他核心素養(yǎng)的養(yǎng)成。數(shù)學(xué)運算貫穿整個高中階段的學(xué)習(xí)，學(xué)生在運算中經(jīng)常出現(xiàn)“會但不對、對但不全、全但不優(yōu)”的現(xiàn)象，導(dǎo)致數(shù)學(xué)問題的解決并不如人意，因此有必要探索培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的策略。

一、數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的內(nèi)涵

數(shù)學(xué)運算是指在明晰運算對象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運算法則解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng)。主要包括：理解運算對象，掌握運算法則，探究運算思路，選擇運算方法，設(shè)計運算程序，求得運算結(jié)果等。數(shù)學(xué)運算是解決數(shù)學(xué)問題的基本手段。數(shù)學(xué)運算是演繹推理，是計算機解決問題的基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)運算主要表現(xiàn)為：理解運算對象，掌握運算法則，探究運算思路，求得運算結(jié)果。通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能進一步發(fā)展數(shù)學(xué)運算能力;有效借助運算方法解決實際問題;通過運算促進數(shù)學(xué)思維發(fā)展，形成規(guī)范化思考問題的品質(zhì)，養(yǎng)成一絲不茍、嚴(yán)謹(jǐn)求實的科學(xué)精神。

二、影響學(xué)生數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)發(fā)展的原因分析

（一）數(shù)學(xué)運算知識掌握不到位

數(shù)學(xué)運算知識包括：數(shù)學(xué)的概念和原理（包括性質(zhì)法則、公式定理等），數(shù)學(xué)思想方法及數(shù)學(xué)技能等，如果學(xué)生對基本的數(shù)學(xué)運算知識理解不透徹，將會直接影響其數(shù)學(xué)運算能力的發(fā)展，造成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難。比如，求方程log3（x-1）+log3（x+1）=2的解。很多學(xué)生的答案為x=±[10]，但是正確答案為x=[10]。學(xué)生之所以出現(xiàn)這樣的運算錯誤，主要是因為沒有注意到真數(shù)大于0，定義域為{x|x>1}。此處的運算錯誤是由于學(xué)生對對數(shù)的概念掌握不好造成的。又如，有些學(xué)生會認(rèn)為2a+b=cosB等價于2sinA+sinB=cosB，導(dǎo)致運算錯誤。學(xué)生會犯這樣的錯誤，主要是對正弦定理理解不到位，認(rèn)為a=sinA，b=sinB。還有些學(xué)生在解題過程中求解方程x2+（2-a）x-2a=0的根時，不懂得通過十字相乘法將等式左邊因式分解成（x+2）（x-a），導(dǎo)致最終無法算出答案。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，如果學(xué)生沒能充分理解基本的運算知識，就會直接影響做題的正確率和速度，也會影響學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和自信心。

（二）數(shù)學(xué)運算信心和意志不強

與初中數(shù)學(xué)運算相比，高中數(shù)學(xué)運算難度大、運算容量大。有些學(xué)生認(rèn)為自己不夠聰明學(xué)不好數(shù)學(xué)，導(dǎo)致對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)失去信心，不敢做數(shù)學(xué)運算;有些學(xué)生由于基礎(chǔ)運算知識不過關(guān)，在數(shù)學(xué)運算過程中經(jīng)常遭遇失敗，出現(xiàn)畏難心理，害怕數(shù)學(xué)，形成惡性循環(huán)。另外，還有些學(xué)生覺得圓錐曲線和導(dǎo)數(shù)等題目的運算太復(fù)雜，對自己沒有信心，認(rèn)為自己就算花時間計算也不會得出正確結(jié)果，反而浪費時間，所以一看到圓錐曲線和導(dǎo)數(shù)題直接選擇放棄，久而久之，這些學(xué)生只會簡單運算，稍微難一點的數(shù)學(xué)運算就都做不了了。

（三）數(shù)學(xué)運算錯誤的歸因和反思不到位

“學(xué)然后知不足，教然后知困。知不足，然后能自反也;知困，然后能自強也”?？梢姺此嫉闹匾浴Ｓ行W(xué)生在每次測試后的反思環(huán)節(jié)，總是認(rèn)為自己是因為計算粗心才丟了很多不該丟的分?jǐn)?shù)。其實不然。學(xué)生計算丟分，不一定是粗心造成的，也有可能是因為數(shù)學(xué)運算知識存在缺漏，以及不明白運算的道理，不會探究運算思路，不能靈活選擇運算方法，只會強行計算，導(dǎo)致運算復(fù)雜，很難得出正確答案。學(xué)生對運算的歸因和反思停留在表面，他們不能進行深入分析和深刻反思，因而數(shù)學(xué)運算能力無法得到真正提高。

（四）教師不重視數(shù)學(xué)運算的訓(xùn)練

學(xué)生的運算能力比較薄弱，除了學(xué)生自身的因素，還可能是教師不夠重視對學(xué)生數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的培養(yǎng)造成的。由于教學(xué)任務(wù)重，課時不足，教師認(rèn)為基本的運算學(xué)生應(yīng)該都會，不需要花太多精力講解，因而把更多的精力放在其他素養(yǎng)的培養(yǎng)上，對數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)培養(yǎng)重視不足。學(xué)生面對簡單的題目時會因為沒注意取值范圍導(dǎo)致丟分，面對難一些的題目則無法選擇合適的算法，硬算卻算不出來正確結(jié)果。學(xué)生暴露的這些問題，反映出教師平時對學(xué)生缺乏有效的引導(dǎo)。教師不夠重視，學(xué)生更加不重視，他們只了解解題過程，不親自思考運算，導(dǎo)致數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)沒有真正培養(yǎng)起來。

三、數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的培養(yǎng)策略

（一）重視數(shù)學(xué)運算，積累數(shù)學(xué)運算經(jīng)驗

教師在進行概念、定理、公式法則等教學(xué)時，要強調(diào)數(shù)學(xué)運算的重要性，讓學(xué)生在思想上給予重視;結(jié)合典型例題和變式訓(xùn)練幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)運算對象、法則，掌握數(shù)學(xué)知識。教師可以精選易錯例題和變式訓(xùn)練題讓學(xué)生進行課堂辨析、訓(xùn)練，還可以借助希沃授課助手等信息技術(shù)的拍照上傳功能，展示典型錯誤和優(yōu)秀范例，全班學(xué)生充當(dāng)小老師一起分析、糾錯、完善運算過程，幫助學(xué)生不斷掌握和鞏固數(shù)學(xué)運算知識，從而更深刻地理解運算對象，更好地掌握運算法則，不斷積累運算經(jīng)驗。

（二）明晰數(shù)學(xué)運算的算理

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，教師不但要幫助學(xué)生掌握基本的運算技能，還要注重引導(dǎo)學(xué)生明晰數(shù)學(xué)運算背后的算理。

【例1】在△ABC中，AC=3，AB=4，∠BAC=[π3]，[AD=2DB]，P為CD上一點，且滿足[AP]=[mAC]+[nAB]，若[AP]·[CD]=[1312]，則m-n的值是? ? .

學(xué)生算不出此題的答案，或者花了大量的時間進行運算，主要原因就是沒有掌握算理。題目考查的是向量運算，轉(zhuǎn)化后方可簡化運算。第一次轉(zhuǎn)化，由[AD]=2[DB]，得出[AB]=[32][AD]，[AP]=[mAC]+[nAB]=[mAC]+[3n2AD]，因為D、P、C三點共線，且A是直線外一點，得m+[3n2]=1;第二次轉(zhuǎn)化，[AP]·[CD]=（[mAC]+[nAB]）（[23AB-AC]）=[1312]，將[AP]，[CD]分別用[AC]和[AB]表示，最后只需要算出[AC]·[AB]，即可再得出m和n的等量關(guān)系，解出m和n。學(xué)生解題時不懂得分別用[AC]和[AB]表示[AP]和[CD]，而是直接運算[AP]·[CD]=（[mAC]+[nAB]）·[CD]=[1312]，導(dǎo)致運算變得很復(fù)雜。

在向量教學(xué)中讓學(xué)生僅僅掌握基本的向量運算知識是不夠的，教師還要在運算教學(xué)中有意識地滲透化歸思想和消元思想等數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生明白運算背后的算理，從而簡化數(shù)學(xué)運算，提高學(xué)生運算的速度和正確率，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)。除了在向量教學(xué)中向?qū)W生明晰算理，教師在教學(xué)其他解析幾何內(nèi)容時也可以通過精選例題，有意識地引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析式子的特點，再引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想以及消元法等數(shù)學(xué)思想方法在簡化運算中起到的強大作用。

（三）靈活選擇數(shù)學(xué)運算方法

學(xué)生在運算時靈活選擇運算思路，可以優(yōu)化數(shù)學(xué)運算，將復(fù)雜問題變簡單，提高運算效率。因此，教師有必要對學(xué)生進行數(shù)學(xué)運算指導(dǎo)。優(yōu)化數(shù)學(xué)運算應(yīng)具有以下幾個特征：一是普適性，即通性通法，它可以解決某一類問題，揭示該類問題的本質(zhì)特征與結(jié)構(gòu);二是重要性，在解題過程中涉及重要內(nèi)容與重要方法，對學(xué)生的學(xué)習(xí)具有重要價值;三是自然性，算法應(yīng)是自然的、容易想到、易理解的，教師易教，學(xué)生易學(xué);四是簡潔性，解題思路與解題過程簡潔流暢;五是奇異性，所得算法既在意料之外，又在情理之中。

【例2】已知等差數(shù)列{an}的前n項和Sn，若[S11S11-S5]=3，則[a6a11]=? ? .

此題主要有兩種運算思路。思路一：借助公式Sn=na1+[n（n-1）d2]和an=a1+（n-1）d，將所求用a1和d表示，再進行化簡。大部分學(xué)生采用此種方法進行化簡，但是算了很多遍也算不出正確答案，運算量較大，不易得出正確答案。思路二：將Sn=[n（a1+an）2]展開，再結(jié)合等差數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)進行運算，此種方法比較簡潔且自然。S11-S5=a6+a7+…+a11=3（a6+a11），S11=[11（a1+a11）2]=11a6代入化簡得[a6a11]=[92]。雖然兩種思路都能算出正確答案，但是很明顯思路二更簡明、快捷，也具有普適性。

看似簡單的運算問題，如果不加思考，盲目運算，就會使簡單變復(fù)雜。在教學(xué)中，教師可以借助一題多解，引導(dǎo)學(xué)生探究運算思路，分析不同解法的優(yōu)劣，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會對所求目標(biāo)進行分析，跳出固有思維，靈活選擇運算方法。

（四）養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)運算習(xí)慣

數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，數(shù)學(xué)運算考查了學(xué)生思維的嚴(yán)密性，所以教師要有意識地培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪\算習(xí)慣。有些學(xué)生的草稿紙上的內(nèi)容密密麻麻、亂七八糟，導(dǎo)致他們不僅容易出現(xiàn)運算錯誤，而且當(dāng)他們想要回頭檢查運算過程時，找不到原來的解題過程、需要重新運算，運算效率低下。因此，教師要引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成認(rèn)真書寫運算過程、合理使用草稿紙的習(xí)慣。另外，引導(dǎo)學(xué)生適當(dāng)進行口算也是必要的?？谒憧梢藻憻拰W(xué)生的思維能力和記憶能力，提高運算速度。此外，在課堂教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成檢驗的習(xí)慣，有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性，使其養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖鍪聭B(tài)度。在數(shù)學(xué)運算中，有時候會算出兩個解，這時候需要學(xué)生具有檢驗的意識，思考多余的解是否需要舍去，特別是在三角函數(shù)運算中，更需要注意運算的條件和范圍，力求嚴(yán)謹(jǐn);在求軌跡方程中，也要注意軌跡方程中變量的范圍，注意參數(shù)方程和普通方程轉(zhuǎn)化前后是否等價等。

（五）重視運算過程和結(jié)果的反思

學(xué)生在學(xué)習(xí)中對典型的運算問題進行再回顧和反思，能更好地提升自身的運算能力。教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成寫錯題本的習(xí)慣。寫錯題本，不是把所有錯過的題目記錄到錯題本，把答案抄寫一遍，而是學(xué)生對自己運算錯誤的原因、運算過程和結(jié)果，進行合理分析和反思。

【例3】已知在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且acosB+bcos（[2π3]-A）=c.

（1）求角A;

（2）設(shè)a=3，求△ABC周長的取值范圍.

對問題（2），學(xué)生的錯誤運算過程如下：

由（1）知，A=[π3]，a=3，故由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，得9=b2+c2-bc≥2bc-bc，即bc≤9時，當(dāng)且僅當(dāng)b=c=3時，bc最大值為9時，b+c最大值為6，所以△ABC周長的最大值為9。

雖然學(xué)生算對了△ABC周長最大值是9，但這純屬巧合，他們的運算過程是不正確、不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?。bc取得最大值時，b+c不一定是最大值。解答此題可以運用基本不等式進行處理，通過轉(zhuǎn)化構(gòu)造關(guān)于b+c的一元二次不等式，即由9=b2+c2-bc，得（b+c）2-9=3bc，3bc≤3·（[b+c2]）2，即（b+c）2-9≤3·（[b+c2]）2，當(dāng)且僅當(dāng)b=c=3時，b+c≤6，所以a+b+c≤9。最后，算出周長的范圍還要注意運算結(jié)果的嚴(yán)謹(jǐn)性，思考是否還有什么限制條件。聯(lián)想到三角形兩邊之和大于第三邊，b+c>a，即b+c>3，所以a+b+c∈（6，9]。

教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生注重對運算過程和結(jié)果進行反思，鼓勵學(xué)生將典型的運算錯誤分類整理寫進錯題本。分類整理好的錯題本，時不時要拿來翻看一下，加深記憶。通過反思整理典型運算，不斷積累和總結(jié)經(jīng)驗，發(fā)展數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)。

在高中階段，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)是一個非常重要且艱巨的教學(xué)任務(wù)，運算素養(yǎng)的培養(yǎng)不是一蹴而就的，需要循序漸進地滲透。教師需要結(jié)合課程標(biāo)準(zhǔn)要求，多鉆研、多思考，并結(jié)合教學(xué)實際，采取科學(xué)有效的方法。培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)不僅僅是為了完成教學(xué)任務(wù)，更重要的是在此過程中培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖鍪聭B(tài)度，增強他們自主解決問題的能力，使之成為適應(yīng)社會現(xiàn)代化需要的新時代人才。

參考文獻

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[2]馬文杰，姜濤.數(shù)學(xué)運算能力培養(yǎng)應(yīng)注意的若干問題研究[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2021（6）.

作者簡介：蔣秋櫻（1994— ），廣西南寧人，碩士研究生學(xué)歷，一級教師，研究方向為學(xué)科教學(xué)（數(shù)學(xué)）。

（責(zé)編 劉小瑗）