【摘要】本文論述培養(yǎng)高中生數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的策略,闡述數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的內(nèi)涵,分析影響學(xué)生數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)發(fā)展的原因,提出重視運算,讓學(xué)生積累運算知識、明晰算理、靈活選擇運算方法、養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪\算習(xí)慣以及重視反思運算過程和結(jié)果等教學(xué)建議。
【關(guān)鍵詞】核心素養(yǎng) 數(shù)學(xué)運算 策略
【中圖分類號】G63 【文獻標(biāo)識碼】A
【文章編號】0450-9889(2022)11-0118-03
《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》(以下簡稱課程標(biāo)準(zhǔn))強調(diào)“高中數(shù)學(xué)課程以學(xué)生發(fā)展為本,落實立德樹人的根本任務(wù),提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)”,突出了培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要性,指出“數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)包括:數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算和數(shù)據(jù)分析。這些數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)既相對獨立、又相互交融,是一個有機的整體”。數(shù)學(xué)運算是六大數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)之一,它不但對培養(yǎng)學(xué)生解決實際問題的能力、養(yǎng)成一絲不茍的科學(xué)精神具有重要的作用,還影響著其他核心素養(yǎng)的養(yǎng)成。數(shù)學(xué)運算貫穿整個高中階段的學(xué)習(xí),學(xué)生在運算中經(jīng)常出現(xiàn)“會但不對、對但不全、全但不優(yōu)”的現(xiàn)象,導(dǎo)致數(shù)學(xué)問題的解決并不如人意,因此有必要探索培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的策略。
一、數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的內(nèi)涵
數(shù)學(xué)運算是指在明晰運算對象的基礎(chǔ)上,依據(jù)運算法則解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng)。主要包括:理解運算對象,掌握運算法則,探究運算思路,選擇運算方法,設(shè)計運算程序,求得運算結(jié)果等。數(shù)學(xué)運算是解決數(shù)學(xué)問題的基本手段。數(shù)學(xué)運算是演繹推理,是計算機解決問題的基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)運算主要表現(xiàn)為:理解運算對象,掌握運算法則,探究運算思路,求得運算結(jié)果。通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí),學(xué)生能進一步發(fā)展數(shù)學(xué)運算能力;有效借助運算方法解決實際問題;通過運算促進數(shù)學(xué)思維發(fā)展,形成規(guī)范化思考問題的品質(zhì),養(yǎng)成一絲不茍、嚴(yán)謹(jǐn)求實的科學(xué)精神。
二、影響學(xué)生數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)發(fā)展的原因分析
(一)數(shù)學(xué)運算知識掌握不到位
數(shù)學(xué)運算知識包括:數(shù)學(xué)的概念和原理(包括性質(zhì)法則、公式定理等),數(shù)學(xué)思想方法及數(shù)學(xué)技能等,如果學(xué)生對基本的數(shù)學(xué)運算知識理解不透徹,將會直接影響其數(shù)學(xué)運算能力的發(fā)展,造成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難。比如,求方程log3(x-1)+log3(x+1)=2的解。很多學(xué)生的答案為x=±[10],但是正確答案為x=[10]。學(xué)生之所以出現(xiàn)這樣的運算錯誤,主要是因為沒有注意到真數(shù)大于0,定義域為{x|x>1}。此處的運算錯誤是由于學(xué)生對對數(shù)的概念掌握不好造成的。又如,有些學(xué)生會認(rèn)為2a+b=cosB等價于2sinA+sinB=cosB,導(dǎo)致運算錯誤。學(xué)生會犯這樣的錯誤,主要是對正弦定理理解不到位,認(rèn)為a=sinA,b=sinB。還有些學(xué)生在解題過程中求解方程x2+(2-a)x-2a=0的根時,不懂得通過十字相乘法將等式左邊因式分解成(x+2)(x-a),導(dǎo)致最終無法算出答案。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,如果學(xué)生沒能充分理解基本的運算知識,就會直接影響做題的正確率和速度,也會影響學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和自信心。
(二)數(shù)學(xué)運算信心和意志不強
與初中數(shù)學(xué)運算相比,高中數(shù)學(xué)運算難度大、運算容量大。有些學(xué)生認(rèn)為自己不夠聰明學(xué)不好數(shù)學(xué),導(dǎo)致對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)失去信心,不敢做數(shù)學(xué)運算;有些學(xué)生由于基礎(chǔ)運算知識不過關(guān),在數(shù)學(xué)運算過程中經(jīng)常遭遇失敗,出現(xiàn)畏難心理,害怕數(shù)學(xué),形成惡性循環(huán)。另外,還有些學(xué)生覺得圓錐曲線和導(dǎo)數(shù)等題目的運算太復(fù)雜,對自己沒有信心,認(rèn)為自己就算花時間計算也不會得出正確結(jié)果,反而浪費時間,所以一看到圓錐曲線和導(dǎo)數(shù)題直接選擇放棄,久而久之,這些學(xué)生只會簡單運算,稍微難一點的數(shù)學(xué)運算就都做不了了。
(三)數(shù)學(xué)運算錯誤的歸因和反思不到位
“學(xué)然后知不足,教然后知困。知不足,然后能自反也;知困,然后能自強也”??梢姺此嫉闹匾浴S行W(xué)生在每次測試后的反思環(huán)節(jié),總是認(rèn)為自己是因為計算粗心才丟了很多不該丟的分?jǐn)?shù)。其實不然。學(xué)生計算丟分,不一定是粗心造成的,也有可能是因為數(shù)學(xué)運算知識存在缺漏,以及不明白運算的道理,不會探究運算思路,不能靈活選擇運算方法,只會強行計算,導(dǎo)致運算復(fù)雜,很難得出正確答案。學(xué)生對運算的歸因和反思停留在表面,他們不能進行深入分析和深刻反思,因而數(shù)學(xué)運算能力無法得到真正提高。
(四)教師不重視數(shù)學(xué)運算的訓(xùn)練
學(xué)生的運算能力比較薄弱,除了學(xué)生自身的因素,還可能是教師不夠重視對學(xué)生數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的培養(yǎng)造成的。由于教學(xué)任務(wù)重,課時不足,教師認(rèn)為基本的運算學(xué)生應(yīng)該都會,不需要花太多精力講解,因而把更多的精力放在其他素養(yǎng)的培養(yǎng)上,對數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)培養(yǎng)重視不足。學(xué)生面對簡單的題目時會因為沒注意取值范圍導(dǎo)致丟分,面對難一些的題目則無法選擇合適的算法,硬算卻算不出來正確結(jié)果。學(xué)生暴露的這些問題,反映出教師平時對學(xué)生缺乏有效的引導(dǎo)。教師不夠重視,學(xué)生更加不重視,他們只了解解題過程,不親自思考運算,導(dǎo)致數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)沒有真正培養(yǎng)起來。
三、數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的培養(yǎng)策略
(一)重視數(shù)學(xué)運算,積累數(shù)學(xué)運算經(jīng)驗
教師在進行概念、定理、公式法則等教學(xué)時,要強調(diào)數(shù)學(xué)運算的重要性,讓學(xué)生在思想上給予重視;結(jié)合典型例題和變式訓(xùn)練幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)運算對象、法則,掌握數(shù)學(xué)知識。教師可以精選易錯例題和變式訓(xùn)練題讓學(xué)生進行課堂辨析、訓(xùn)練,還可以借助希沃授課助手等信息技術(shù)的拍照上傳功能,展示典型錯誤和優(yōu)秀范例,全班學(xué)生充當(dāng)小老師一起分析、糾錯、完善運算過程,幫助學(xué)生不斷掌握和鞏固數(shù)學(xué)運算知識,從而更深刻地理解運算對象,更好地掌握運算法則,不斷積累運算經(jīng)驗。
(二)明晰數(shù)學(xué)運算的算理
在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,教師不但要幫助學(xué)生掌握基本的運算技能,還要注重引導(dǎo)學(xué)生明晰數(shù)學(xué)運算背后的算理。
【例1】在△ABC中,AC=3,AB=4,∠BAC=[π3],[AD=2DB],P為CD上一點,且滿足[AP]=[mAC]+[nAB],若[AP]·[CD]=[1312],則m-n的值是? ? .
學(xué)生算不出此題的答案,或者花了大量的時間進行運算,主要原因就是沒有掌握算理。題目考查的是向量運算,轉(zhuǎn)化后方可簡化運算。第一次轉(zhuǎn)化,由[AD]=2[DB],得出[AB]=[32][AD],[AP]=[mAC]+[nAB]=[mAC]+[3n2AD],因為D、P、C三點共線,且A是直線外一點,得m+[3n2]=1;第二次轉(zhuǎn)化,[AP]·[CD]=([mAC]+[nAB])([23AB-AC])=[1312],將[AP],[CD]分別用[AC]和[AB]表示,最后只需要算出[AC]·[AB],即可再得出m和n的等量關(guān)系,解出m和n。學(xué)生解題時不懂得分別用[AC]和[AB]表示[AP]和[CD],而是直接運算[AP]·[CD]=([mAC]+[nAB])·[CD]=[1312],導(dǎo)致運算變得很復(fù)雜。
在向量教學(xué)中讓學(xué)生僅僅掌握基本的向量運算知識是不夠的,教師還要在運算教學(xué)中有意識地滲透化歸思想和消元思想等數(shù)學(xué)思想,讓學(xué)生明白運算背后的算理,從而簡化數(shù)學(xué)運算,提高學(xué)生運算的速度和正確率,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)。除了在向量教學(xué)中向?qū)W生明晰算理,教師在教學(xué)其他解析幾何內(nèi)容時也可以通過精選例題,有意識地引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析式子的特點,再引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想以及消元法等數(shù)學(xué)思想方法在簡化運算中起到的強大作用。
(三)靈活選擇數(shù)學(xué)運算方法
學(xué)生在運算時靈活選擇運算思路,可以優(yōu)化數(shù)學(xué)運算,將復(fù)雜問題變簡單,提高運算效率。因此,教師有必要對學(xué)生進行數(shù)學(xué)運算指導(dǎo)。優(yōu)化數(shù)學(xué)運算應(yīng)具有以下幾個特征:一是普適性,即通性通法,它可以解決某一類問題,揭示該類問題的本質(zhì)特征與結(jié)構(gòu);二是重要性,在解題過程中涉及重要內(nèi)容與重要方法,對學(xué)生的學(xué)習(xí)具有重要價值;三是自然性,算法應(yīng)是自然的、容易想到、易理解的,教師易教,學(xué)生易學(xué);四是簡潔性,解題思路與解題過程簡潔流暢;五是奇異性,所得算法既在意料之外,又在情理之中。
【例2】已知等差數(shù)列{an}的前n項和Sn,若[S11S11-S5]=3,則[a6a11]=? ? .
此題主要有兩種運算思路。思路一:借助公式Sn=na1+[n(n-1)d2]和an=a1+(n-1)d,將所求用a1和d表示,再進行化簡。大部分學(xué)生采用此種方法進行化簡,但是算了很多遍也算不出正確答案,運算量較大,不易得出正確答案。思路二:將Sn=[n(a1+an)2]展開,再結(jié)合等差數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)進行運算,此種方法比較簡潔且自然。S11-S5=a6+a7+…+a11=3(a6+a11),S11=[11(a1+a11)2]=11a6代入化簡得[a6a11]=[92]。雖然兩種思路都能算出正確答案,但是很明顯思路二更簡明、快捷,也具有普適性。
看似簡單的運算問題,如果不加思考,盲目運算,就會使簡單變復(fù)雜。在教學(xué)中,教師可以借助一題多解,引導(dǎo)學(xué)生探究運算思路,分析不同解法的優(yōu)劣,引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會對所求目標(biāo)進行分析,跳出固有思維,靈活選擇運算方法。
(四)養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)運算習(xí)慣
數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科,數(shù)學(xué)運算考查了學(xué)生思維的嚴(yán)密性,所以教師要有意識地培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪\算習(xí)慣。有些學(xué)生的草稿紙上的內(nèi)容密密麻麻、亂七八糟,導(dǎo)致他們不僅容易出現(xiàn)運算錯誤,而且當(dāng)他們想要回頭檢查運算過程時,找不到原來的解題過程、需要重新運算,運算效率低下。因此,教師要引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成認(rèn)真書寫運算過程、合理使用草稿紙的習(xí)慣。另外,引導(dǎo)學(xué)生適當(dāng)進行口算也是必要的??谒憧梢藻憻拰W(xué)生的思維能力和記憶能力,提高運算速度。此外,在課堂教學(xué)中,培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成檢驗的習(xí)慣,有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性,使其養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖鍪聭B(tài)度。在數(shù)學(xué)運算中,有時候會算出兩個解,這時候需要學(xué)生具有檢驗的意識,思考多余的解是否需要舍去,特別是在三角函數(shù)運算中,更需要注意運算的條件和范圍,力求嚴(yán)謹(jǐn);在求軌跡方程中,也要注意軌跡方程中變量的范圍,注意參數(shù)方程和普通方程轉(zhuǎn)化前后是否等價等。
(五)重視運算過程和結(jié)果的反思
學(xué)生在學(xué)習(xí)中對典型的運算問題進行再回顧和反思,能更好地提升自身的運算能力。教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成寫錯題本的習(xí)慣。寫錯題本,不是把所有錯過的題目記錄到錯題本,把答案抄寫一遍,而是學(xué)生對自己運算錯誤的原因、運算過程和結(jié)果,進行合理分析和反思。
【例3】已知在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且acosB+bcos([2π3]-A)=c.
(1)求角A;
(2)設(shè)a=3,求△ABC周長的取值范圍.
對問題(2),學(xué)生的錯誤運算過程如下:
由(1)知,A=[π3],a=3,故由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得9=b2+c2-bc≥2bc-bc,即bc≤9時,當(dāng)且僅當(dāng)b=c=3時,bc最大值為9時,b+c最大值為6,所以△ABC周長的最大值為9。
雖然學(xué)生算對了△ABC周長最大值是9,但這純屬巧合,他們的運算過程是不正確、不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?。bc取得最大值時,b+c不一定是最大值。解答此題可以運用基本不等式進行處理,通過轉(zhuǎn)化構(gòu)造關(guān)于b+c的一元二次不等式,即由9=b2+c2-bc,得(b+c)2-9=3bc,3bc≤3·([b+c2])2,即(b+c)2-9≤3·([b+c2])2,當(dāng)且僅當(dāng)b=c=3時,b+c≤6,所以a+b+c≤9。最后,算出周長的范圍還要注意運算結(jié)果的嚴(yán)謹(jǐn)性,思考是否還有什么限制條件。聯(lián)想到三角形兩邊之和大于第三邊,b+c>a,即b+c>3,所以a+b+c∈(6,9]。
教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生注重對運算過程和結(jié)果進行反思,鼓勵學(xué)生將典型的運算錯誤分類整理寫進錯題本。分類整理好的錯題本,時不時要拿來翻看一下,加深記憶。通過反思整理典型運算,不斷積累和總結(jié)經(jīng)驗,發(fā)展數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)。
在高中階段,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)是一個非常重要且艱巨的教學(xué)任務(wù),運算素養(yǎng)的培養(yǎng)不是一蹴而就的,需要循序漸進地滲透。教師需要結(jié)合課程標(biāo)準(zhǔn)要求,多鉆研、多思考,并結(jié)合教學(xué)實際,采取科學(xué)有效的方法。培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)不僅僅是為了完成教學(xué)任務(wù),更重要的是在此過程中培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖鍪聭B(tài)度,增強他們自主解決問題的能力,使之成為適應(yīng)社會現(xiàn)代化需要的新時代人才。
參考文獻
[1]曹才翰,章建躍.數(shù)學(xué)教育心理學(xué)[M].北京:北京師范大學(xué)出版社,2014.
[2]馬文杰,姜濤.數(shù)學(xué)運算能力培養(yǎng)應(yīng)注意的若干問題研究[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報,2021(6).
作者簡介:蔣秋櫻(1994— ),廣西南寧人,碩士研究生學(xué)歷,一級教師,研究方向為學(xué)科教學(xué)(數(shù)學(xué))。
(責(zé)編 劉小瑗)