任學(xué)紅

[摘? 要] 《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：“模型思想的建立是學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。”小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中模型思想的滲透就是要讓學(xué)生經(jīng)歷從實(shí)際情境中抽象出數(shù)學(xué)問題、解決問題的過程，使學(xué)生初步形成模型思想，這是現(xiàn)代教育理念對數(shù)學(xué)教學(xué)的必然要求，也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)性思維的重要方式。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)只有深入“模型”“建?！钡囊饬x，才是一種真正的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。

[關(guān)鍵詞] 小學(xué)數(shù)學(xué);模型思想;教學(xué)策略;核心素養(yǎng)

史寧中教授說：“模型思想是2011版課標(biāo)提出的十個(gè)核心概念之一，是一種數(shù)學(xué)的基本思想?！睌?shù)學(xué)模型是用數(shù)學(xué)語言概括性地描述事物特征、空間形式及數(shù)量關(guān)系的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。小學(xué)數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)模型主要包含用字母、數(shù)字或其他數(shù)學(xué)符號表示的代數(shù)式、函數(shù)、方程及各種圖形、圖表等。數(shù)學(xué)的本質(zhì)就是在不斷抽象和概括的過程中豐富與發(fā)展起來的，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，就是運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法、知識與技能去解決問題。在建模的過程中，教師可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，幫助學(xué)生在深刻理解知識的同時(shí)，讓數(shù)學(xué)思維走向深刻。

一、建模的基礎(chǔ)：精選問題，創(chuàng)設(shè)情境

數(shù)學(xué)建模的過程，就是通過建立模型的方法來解決實(shí)際問題的數(shù)學(xué)活動過程。而數(shù)學(xué)模型都是具有生活背景的，這也是數(shù)學(xué)建模的基礎(chǔ)，因此，模型的建立應(yīng)該基于具體的現(xiàn)實(shí)生活，通過創(chuàng)設(shè)問題情境的方式，喚起學(xué)生對知識的渴望與追求，讓學(xué)生經(jīng)歷從生活原型問題逐步抽象到數(shù)學(xué)問題的過程，從而學(xué)會運(yùn)用建模的方法來解決問題。

以教學(xué)“路程、時(shí)間與速度”為例，本節(jié)課教學(xué)的重點(diǎn)在于如何引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建路程、時(shí)間與速度三個(gè)量之間的函數(shù)模型。為了能調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，在導(dǎo)入環(huán)節(jié)中，筆者創(chuàng)設(shè)了如下問題情境：

情境1：第一場比賽

師：在一次體育課上，米小圈、鐵頭和姜小牙因?yàn)檎l跑得快的問題爭論不休，于是肌肉老師為他們舉行了一場50米的比賽，比賽結(jié)果如表1所示。

師：從表1的數(shù)據(jù)中，你可以得到哪些信息？

生1：我發(fā)現(xiàn)他們?nèi)说穆烦桃粯?，但時(shí)間不一樣。

生2：我發(fā)現(xiàn)鐵頭跑得最快，因?yàn)樗挥昧?秒。

師：那也就是說，在路程相等的情況下，比快慢只需要比時(shí)間多少就行了？

情境2：第二場比賽

師：肌肉老師和鐵頭又來了一場比賽，其比賽結(jié)果如表2所示。

生3：我覺得還是鐵頭跑得快，因?yàn)樗图∪饫蠋熾m然都只用了8秒，但是鐵頭跑了50米，比肌肉老師的48米要多。

師：如果時(shí)間相等，比快慢只需要比路程多少就行了？

情境3：第三場比賽

師：如果鐵頭和肌肉老師的用時(shí)不同、路程也不同時(shí)，如何才能分出他們誰快誰慢呢？（如表3）

生4：我認(rèn)為可以比速度。肌肉老師的速度為48÷8=6（米/秒），鐵頭的速度為50÷10=5（米/秒），所以肌肉老師更快。

在這一環(huán)節(jié)中，筆者結(jié)合學(xué)生生活中比較熟悉的“米小圈”這一人物形象和體育課中的比賽活動，創(chuàng)設(shè)了跑步比賽的問題情境，同時(shí)，將不同的數(shù)據(jù)巧妙地融入問題情境中，讓學(xué)生由淺入深，逐步感受到跑得快或慢與時(shí)間和路程有關(guān)。當(dāng)時(shí)間不同、路程也不同時(shí)，就需要運(yùn)用求速度的數(shù)學(xué)模型“路程÷時(shí)間=速度”來判斷，這樣學(xué)生的建模意識也就慢慢形成了。

二、建模的關(guān)鍵：去偽存真，揭示本質(zhì)

數(shù)學(xué)建模的過程，就是引導(dǎo)學(xué)生對問題進(jìn)行抽絲剝繭，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)，并構(gòu)建模型的過程，也是進(jìn)行數(shù)學(xué)化和再創(chuàng)造的過程。在課堂教學(xué)中，教師應(yīng)給予學(xué)生充分的時(shí)間，讓他們自主地進(jìn)行觀察、實(shí)驗(yàn)、操作、比較、分析、概括，最終從具體的問題中抽象出數(shù)學(xué)模型，并用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行描述或刻畫，這也是數(shù)學(xué)建模最為關(guān)鍵的一個(gè)環(huán)節(jié)。

以教學(xué)“乘法分配律”為例，為了讓學(xué)生從千變?nèi)f化的數(shù)學(xué)問題中抽象出其不變的數(shù)學(xué)本質(zhì)，即“乘法分配律”，筆者在課堂中設(shè)計(jì)了以下教學(xué)環(huán)節(jié)：

環(huán)節(jié)1：數(shù)形結(jié)合，建立等式

PPT出示圖1，并提問：小劉家準(zhǔn)備裝修，客廳和餐廳鋪地磚，請問小劉一共需要購買多少塊地磚？

生1：我是這樣分步計(jì)算的，首先算出客廳需要的塊數(shù)10×5=50（塊），然后算出餐廳需要的塊數(shù)3×5=15（塊），最后計(jì)算總和50+15=65（塊）。

生2：我是合起來計(jì)算的，10×5+3×5=65（塊），直接得到地磚總數(shù)。

生3：我把客廳和餐廳的兩個(gè)圖拼接在一起，發(fā)現(xiàn)行數(shù)是5，列數(shù)是13，所以地磚的總數(shù)為（10+3）×5=65（塊）。

師：你們覺得這些方法有什么不同之處嗎？

生4：一種是分開算，一種是合起來算，但計(jì)算結(jié)果都是一樣的。

對于學(xué)生給出的結(jié)論，筆者并未急于評價(jià)，而是繼續(xù)設(shè)計(jì)了第二個(gè)環(huán)節(jié)，幫助學(xué)生抽絲剝繭，理解乘法分配律的數(shù)學(xué)本質(zhì)，并提煉出其數(shù)學(xué)模型。

環(huán)節(jié)2：抽絲剝繭，理解本質(zhì)

圖2為書房和臥室的平面圖，請你幫小劉計(jì)算下書房和臥室的面積一共是多少？

生5：4×6+5×6=54（平方米）。

生6：（4+5）×6=54（平方米）。

師：生6，為什么可以這樣計(jì)算呢？

生6：因?yàn)槲野l(fā)現(xiàn)書房和臥室都是長方形，而且他們的長都為6，所以我按照剛才生3的方法，將兩個(gè)長方形拼接在一起，這樣就只需要將它們的寬相加，再乘以6就可以算出總面積。

師：不錯(cuò)。小劉準(zhǔn)備去買地磚和墻磚了，如果地磚需要買40塊，每塊50元;墻磚需要買20塊，每塊60元。購買兩種瓷磚一共需要多少元？

生7：我認(rèn)為可以合起來算，（20+40）×（60+50）=6600（元）。

生8：我認(rèn)為地磚和墻磚的價(jià)格不一樣、塊數(shù)不一樣，不能這樣計(jì)算，應(yīng)該是分別算出地磚和墻磚的錢然后相加，20×60+40×50=3200（元）。

師：現(xiàn)在出現(xiàn)了不同的意見，那么究竟誰對誰錯(cuò)呢？首先我們來看看到底能不能合起來計(jì)算。如果用長方形的長表示瓷磚的價(jià)格，寬表示購買瓷磚的數(shù)量，那么，兩個(gè)長方形的面積表示什么呢？

生9：第一個(gè)長方形的面積表示墻磚的總價(jià)，第二個(gè)長方形的面積表示地磚的總價(jià)。

師：那現(xiàn)在你們覺得能不能合在一起計(jì)算呢？

生10：不能，兩個(gè)長方形的長和寬都不相同，不能合成一個(gè)大的長方形進(jìn)行計(jì)算。

師：那如果想要合起來計(jì)算，可以怎么做呢？

生11：可以將價(jià)格改成一樣的。

生12：也可以將購買的數(shù)量改成一樣的。

相較于其他運(yùn)算律，乘法分配律是學(xué)生最易混淆、犯錯(cuò)的地方，這是由于其結(jié)構(gòu)更復(fù)雜、意義更隱蔽、表達(dá)更抽象造成的。為了幫助學(xué)生更好地突破這一難點(diǎn)，在本節(jié)課的教學(xué)中，筆者從學(xué)生熟悉的方格計(jì)算入手，將面積、價(jià)格、總塊數(shù)等一些毫不相干的問題串聯(lián)起來，讓學(xué)生通過逐層抽絲剝繭，發(fā)現(xiàn)其數(shù)學(xué)計(jì)算的核心本質(zhì)，建立起乘法分配律的數(shù)學(xué)模型，以此深化學(xué)生對乘法分配律的理解和認(rèn)知，進(jìn)而促使學(xué)生的思維水平發(fā)生質(zhì)的飛躍。

三、建模的延伸：舉一反三，遷移運(yùn)用

數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透模型的最終目的是讓學(xué)生能夠運(yùn)用所構(gòu)建的模型，解決生活中的實(shí)際問題，一方面讓學(xué)生充分體會到數(shù)學(xué)模型在生活中的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值，另一方面培養(yǎng)學(xué)生舉一反三、學(xué)以致用和解決問題的能力，并促使學(xué)生的低階思維逐漸向高階思維漫溯。

以教學(xué)“植樹問題”為例，“人們在全長100米的小路邊植樹，每隔5米栽種一棵樹，兩端都要栽，一共需要栽種多少棵樹？”在構(gòu)建模型環(huán)節(jié)，筆者引導(dǎo)學(xué)生將問題中的100米改為10米、15米、20米……再結(jié)合線段圖，在直觀理解的基礎(chǔ)上找到規(guī)律，從而得出“植樹棵樹=間隔數(shù)+1”的數(shù)學(xué)模型。為了能促進(jìn)學(xué)生進(jìn)一步理解這一數(shù)學(xué)模型，筆者繼續(xù)設(shè)計(jì)了遷移運(yùn)用環(huán)節(jié)，幫助學(xué)生鞏固與內(nèi)化知識。

師：如圖4所示，假設(shè)現(xiàn)有10朵蘑菇，那么有多少朵花呢？

生1：根據(jù)植樹問題的數(shù)學(xué)模型，我認(rèn)為可以把花當(dāng)作是樹，這樣就需要兩端都栽樹，所以花的朵數(shù)應(yīng)該為間隔數(shù)+1，也就是蘑菇的朵數(shù)+1=11（朵）。

生2：我覺得也可以把蘑菇當(dāng)作是樹，那么花就變成了蘑菇之間的間隔數(shù)，由于兩端不需要栽樹，所以花的朵數(shù)應(yīng)該為蘑菇朵數(shù)-1+2，同樣是11朵。

師：生1和生2的做法都對，雖然思路不一樣，但是殊途同歸，結(jié)果是相同的。事實(shí)上，在我們的日常生活中還有很多問題可以利用植樹問題的數(shù)學(xué)模型來解決，你們知道有哪些嗎？

生3：我覺得鋸木頭的問題可以用植樹模型來求解，比如，將一根木頭鋸成6段，需要鋸幾次？如果將鋸的次數(shù)看作是樹，那么兩端都不需要種樹。因此，需要鋸的次數(shù)為鋸的段數(shù)-1=6-1=5（次）。

生4：還有爬樓問題也可以用植樹模型來解決。

……

通過遷移運(yùn)用這一環(huán)節(jié)，教師加深了學(xué)生對植樹問題數(shù)學(xué)模型的理解和運(yùn)用，讓他們學(xué)會舉一反三、遷移運(yùn)用，促進(jìn)了學(xué)生模型思想的形成。

數(shù)學(xué)的核心問題，就是數(shù)學(xué)的建模與用模的問題。在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，建模也是一種有效的方法，它可以幫助學(xué)生梳理?xiàng)l件、降低思考難度、提高思考效率。因此，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷觀察、思考、歸類、抽象與總結(jié)的過程，逐步培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的思想、方法，使學(xué)生形成良好的思維習(xí)慣和用數(shù)學(xué)的能力，增強(qiáng)應(yīng)用意識，提升數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)，為他們的終身學(xué)習(xí)、可持續(xù)發(fā)展奠定基礎(chǔ)。