黎福慶

[摘 要]2021年高考數(shù)學(xué)命題以堅持立德樹人、增強問題設(shè)計創(chuàng)新性、拓展內(nèi)容育人價值、促進高考改革為導(dǎo)向。文章基于解題思路梳理、試題分析、高考評價體系分析，明確2021年高考數(shù)學(xué)試題（理科甲卷）的考查特點，提出2022年數(shù)學(xué)學(xué)科高考備考建議。

[關(guān)鍵詞]高考評價體系;試題考查特點;備考建議

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2022）08-0001-03

高考評價體系是新時代高考內(nèi)容優(yōu)化的理論支撐和探索指南。高考數(shù)學(xué)試題以高考評價體系為命題指導(dǎo)，確定考查理性思維、數(shù)學(xué)應(yīng)用、數(shù)學(xué)探索和數(shù)學(xué)文化，突出考查邏輯思維能力、運算求解能力、空間想象能力、數(shù)學(xué)建模能力和創(chuàng)新能力。其具有基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性。在日常教學(xué)中，教師可通過創(chuàng)設(shè)課程學(xué)習(xí)情境、探索創(chuàng)新情境等落實考查要求。高考評價體系對高考數(shù)學(xué)備考指導(dǎo)具有重要意義。

一、2021年高考數(shù)學(xué)試題（理科甲卷 ）考查特點

（一）以立德樹人為主要目標，推動德智體美勞全面發(fā)展

1.具有“重基礎(chǔ)、重應(yīng)用、重時事、重生活”的特點，發(fā)揮實踐與應(yīng)用的作用

如第2題：為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟情況，對該地農(nóng)戶家庭年收入進行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶家庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如圖1所示的頻率分布直方圖。根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結(jié)論中不正確的是（）。

A.該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率估計為6%

B.該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計為10%

C.估計該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元

D.估計該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間

解題思路：利用頻率分布直方圖所給相關(guān)數(shù)據(jù)估計該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值，可得答案C。

試題分析：考查內(nèi)容為識圖（直方圖），要求學(xué)生學(xué)會從圖中抽取相關(guān)信息，解決相應(yīng)問題。此題的解題關(guān)鍵是看懂直方圖中縱軸、橫軸等相關(guān)含義。本題考查學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力。

高考評價體系分析：以鄉(xiāng)村振興為情境，通過頻率分布直方圖給出某區(qū)域農(nóng)戶家庭經(jīng)濟情況的調(diào)研數(shù)據(jù)，考查學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力，具有基礎(chǔ)性和應(yīng)用性的考查特點。

2.具有關(guān)注健康教育的特點

如第4題：青少年視力是社會普遍關(guān)注的問題，視力情況可借助視力表測量。通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)[L]和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)[V]滿足[L=5+lgV]。已知某同學(xué)視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9，則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約為（）。[1010≈1.259]

A. 1.5B. 1.2C. 0.8D. 0.6

解題思路：根據(jù)給定的[L]，[V]關(guān)系，當[L=4.9]時，求出[lgV]，再用指數(shù)表示，即可求解，答案為C。

試題分析：構(gòu)造一個新穎的初等函數(shù)，要求考生分析其概念、圖像或性質(zhì)，并解決與該函數(shù)有關(guān)的問題。

高考評價體系分析：圍繞社會普遍關(guān)注的青少年視力問題設(shè)置問題，凸顯身心健康是素質(zhì)教育的主要內(nèi)容，有利于促進學(xué)生增強身體素質(zhì)，激發(fā)學(xué)生奮發(fā)向上的精神，體現(xiàn)了良好的指向性。本題考查學(xué)生的運算能力，著重培養(yǎng)數(shù)學(xué)應(yīng)用和數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)。

（二）體現(xiàn)從“知識立意”“能力立意”向“素養(yǎng)立意”的轉(zhuǎn)變

數(shù)學(xué)是訓(xùn)練思維的基礎(chǔ)學(xué)科，數(shù)學(xué)的應(yīng)用已融入每一個人的日常生活。2021年高考數(shù)學(xué)試題十分重視數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，考查考生的應(yīng)用意識，在致力于提高學(xué)生分析和解決問題能力的同時更注重發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

如第8題：2020年12月8日，中國和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86（單位：[m）]，三角高程測量法是珠峰高程測量方法之一。如圖2是三角高程測量法的一個示意圖，現(xiàn)有[A]，[B]，[C]三點，且[A]，[B]，[C]在同一水平面上的投影[A]，[B]，[C]滿足[∠ACB=45°]，[∠ABC=60°]。由[C]點測得[B]點的仰角為[15°]，[BB]與[CC]的差為100;由[B]點測得[A]點的仰角為[45°]，則[A]，[C]兩點到水平面[ABC]的高度差[AA-CC]約為（）。[3≈1.732]

解題思路：通過給已知圖形添加輔助線，將所求量轉(zhuǎn)化為求簡單三角形，借助正弦定理知識，進行運算求解，得到答案B。

試題分析：利用正弦定理、余弦定理和三角公式等，基于轉(zhuǎn)化思想、方程思想等，經(jīng)過運算、推理，解決有關(guān)求線段長的問題。

高考評價體系分析：通過創(chuàng)設(shè)探索情境，考查平面幾何基本性質(zhì)和三角函數(shù)基本知識等內(nèi)容。學(xué)生在解題時經(jīng)歷收集信息、加工信息、直觀內(nèi)化、運算、解決問題等環(huán)節(jié)。本題突出“讀、想、畫、算、寫”的過程，考查學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題的能力，以及理性思維、數(shù)學(xué)應(yīng)用等學(xué)科素養(yǎng)。

（三）增強開放性，探究創(chuàng)新

2021年高考數(shù)學(xué)試題優(yōu)化考查的內(nèi)容，增強問題設(shè)計的創(chuàng)新性，凸顯高考的樹人導(dǎo)向，引導(dǎo)考生減少機械重復(fù)練習(xí)。

如第18題：已知數(shù)列[an]的各項均為正數(shù)，記[Sn]為[an]的前[n]項和，從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立。①數(shù)列[an]是等差數(shù)列;②數(shù)列[Sn]是等差數(shù)列;③[a2=3a1]。注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分。

解題思路：選①③做條件證明②時，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式表示出[Sn]，再結(jié)合等差數(shù)列的定義可證;選②③做條件證明①時，設(shè)出[Sn=an+b]，結(jié)合[an]，[Sn]關(guān)系求出[an]，根據(jù)[a2=3a1]可求[b]，進而可證[an]是等差數(shù)列。2D53453F-AB58-405C-94D1-B69E72447833

試題分析：通過創(chuàng)設(shè)創(chuàng)新情境，利用等差（等比）數(shù)列的定義、性質(zhì)以及函數(shù)的性質(zhì)等知識，基于轉(zhuǎn)化思想和方程思想，經(jīng)過變形證明問題。

高考評價體系分析：通過探索生活中的兩類基本數(shù)列模型，了解數(shù)列是存在遞推規(guī)律對象的數(shù)學(xué)模型。學(xué)生應(yīng)掌握數(shù)列通項公式和求和公式的運用技巧。本題考查學(xué)生的邏輯思維能力和運算能力。

（四）小口切入，深入挖掘

如第20題：拋物線[C]的頂點為坐標原點[O]，焦點在[x]軸上，直線[l]：[x=1]交[C]于[P， Q]兩點，且[OP⊥OQ]。已知點[M（2， 0）]，且[⊙M]與[l]相切。（1）求[C]，[⊙M]的方程;（2）設(shè)[A1]，[A2]，[A3]是[C]上的三個點，直線[A1A2]，[A1A3]均與[⊙M]相切。判斷直線[A2A3]與[⊙M]的位置關(guān)系，并說明理由。

解題思路：根據(jù)拋物線與[x=1]相交可設(shè)出其標準方程，再利用對稱性設(shè)出[P]，[Q]坐標，由[OP⊥OQ]求出[P]坐標，再由⊙[M]與直線[x=1]相切求半徑，得結(jié)論;對于第（2）小題，先考慮[A1A2]的斜率不存在，根據(jù)對稱性即可得出結(jié)論;若[A1A2]，[A1A3]，[A2A3]的斜率存在，由[A1]，[A2]，[A3]三點在拋物線上，可將直線[A1A2]，[A1A2]，[A2A3]的斜率分別用縱坐標表示，再由[A1A2]，[A1A2]與⊙[M]相切，得出[y2+y3]，[y2y3]與[y1]的關(guān)系，從而求出[M]點到直線[A2A3]的距離，即得結(jié)論。

試題分析：本題原型為已知一條直線和一條圓錐曲線的方程以及相應(yīng)的幾何關(guān)系，第（1）問考查求含參曲線的方程，第（2）問考查曲線在運動過程中的定值問題等。試題以創(chuàng)新情境為導(dǎo)向，利用拋物線的某些性質(zhì)或代數(shù)形式，通過列方程（組）求解，求其代數(shù)形式和幾何性質(zhì)問題。此題從考查拋物線的概念及簡單幾何性質(zhì)入手，問題解決切入口小，思維深度層層遞進，考查學(xué)生分析和解決問題的能力。

高考評價體系分析：選擇拋物線和直線為研究對象，從幾何特殊點出發(fā)引直線，選取恰當?shù)膮?shù)值，提出與其中的線段關(guān)系或角有關(guān)的數(shù)量關(guān)系問題，考查與點、直線、曲線有關(guān)的幾何量的計算，歷經(jīng)代數(shù)式、方程式以及函數(shù)解析式的變形，從而更好地考查學(xué)生的邏輯思維能力、運算求解能力和數(shù)學(xué)建模能力，提升學(xué)生的理性思維、數(shù)學(xué)應(yīng)用、數(shù)學(xué)探索、數(shù)學(xué)文化四類學(xué)科素養(yǎng)。

（五）突出理性思維，考查關(guān)鍵能力

如第21題：已知[a>0]且[a≠1]，函數(shù)[f（x）=xaax] [（x>0）]。（1）當[a=2]時，求[f（x）]的單調(diào)區(qū)間;（2）若曲線[y=f（x）]與直線[y=1]有且僅有兩個交點，求[a]的取值范圍。

解題思路：首先求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)的正負與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即可得到函數(shù)的單調(diào)性。其次利用指數(shù)對數(shù)的運算法則，將曲線[y=fx]與直線[y=1]有且僅有兩個交點等價轉(zhuǎn)化為[lnxx=lnaa]有兩個不同的實數(shù)根，即曲線[y=gx]與直線[y=alna]有兩個交點。最后利用導(dǎo)函數(shù)研究[gx]的單調(diào)性，并結(jié)合[gx]的正負、零點和極限值分析[gx]的圖像，得到[0

試題分析：利用函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的概念、性質(zhì)，通過列方程或不等式，解決有關(guān)問題，考查學(xué)生的推理能力。

高考評價體系分析：理性思維是數(shù)學(xué)素養(yǎng)中的核心內(nèi)容。解題過程突出理性思維，考查學(xué)生的邏輯思維能力和運算能力，很好地將數(shù)學(xué)應(yīng)用、數(shù)學(xué)探究等導(dǎo)入理性思維的軌道上。

二、2022年高考備考建議

（一）夯實基礎(chǔ)，落實 “四基”

根據(jù)教材弄清知識的來龍去脈，讓知識結(jié)構(gòu)更清晰。研究近年來的高考數(shù)學(xué)全國卷真題，復(fù)習(xí)高中階段所學(xué)知識的過程應(yīng)是站在更高的角度，對舊知識產(chǎn)生全新認識的重要過程。在高一、高二階段的數(shù)學(xué)課中，教師主要以知識點依次傳授講解為主線索，因為后面的相關(guān)知識還沒有講到，所以不能進行縱向聯(lián)系。基于此，學(xué)生學(xué)到的是零碎的、散亂的知識。因而，在高三復(fù)習(xí)時，教師應(yīng)明確教學(xué)主線是知識的縱向聯(lián)系與橫向聯(lián)系相結(jié)合，以確保學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識和基本技能。

（二）深入研究高考真題，倡導(dǎo) “五個一”教學(xué)

將近年來的高考數(shù)學(xué)全國卷真題按照內(nèi)容分類，歸納各類試題的題型結(jié)構(gòu);結(jié)合高考評價體系的考查特點;將高考題改編變式，歸納出試題“模胚”并分析解答過程得分點。

1.說一說。談?wù)勏嚓P(guān)問題的特點、近期的考情等。

2.練一練。以高考真題及其變式和教材中的典型問題為聯(lián)系內(nèi)容，約8分鐘現(xiàn)場完成訓(xùn)練。

3.講一講。將一道高考真題或變式題作為例題，指導(dǎo)學(xué)生審題，分析解題思路，找到解題時需使用的基本公式、基本方法，指明規(guī)范表達解題過程的重要性。

4.測一測。給出相關(guān)變式題或高考真題，讓學(xué)生現(xiàn)場用10分鐘的時間解答，之后再給出詳細的答案。

5.歸一歸。引導(dǎo)學(xué)生歸納試題命題方法及試題考查特點，并思考：如何提高書寫速度？小題如何變式？大家存在的主要問題及還需注意的地方有哪些？

（三）基于三個“常規(guī)化”有效備考

1.小題訓(xùn)練常規(guī)化。年級統(tǒng)籌安排每周一個約50分鐘的小專題訓(xùn)練。

2.章節(jié)統(tǒng)測常規(guī)化。每上完一章及時統(tǒng)測一次。統(tǒng)測題由一名骨干教師命制、一名老教師審閱，以確保其科學(xué)有效性。

3.集中輔導(dǎo)常規(guī)化。統(tǒng)籌安排每周一個晚自習(xí)時間段進行集中輔導(dǎo)。

以上只是筆者的粗淺認識，不當之處，請同行批評指正并提出寶貴意見。

[? ?參? ?考? ?文? ?獻? ?]

[1]? 任子朝，趙軒.基于高考評價體系的數(shù)學(xué)科考試內(nèi)容改革實施路徑[J].中國考試，2019（12）：27-32.

[2]? 佚名.2021年各地高考數(shù)學(xué)試題：全國甲卷理科[J].數(shù)理天地（高中版），2021（8）：1-6.

[3]? 教育部考試中心.聚焦核心素養(yǎng) 考查關(guān)鍵能力：2021年高考數(shù)學(xué)全國卷試題評析 [J].中國考試，2021（7）：70-76.

[4] 韋敏妍.潛心研究 準確把握 扎實備考：談高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)策略[J].教學(xué)考試，2021（29）：1.

[5] 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018：4-10.

（責(zé)任編輯 黃桂堅）2D53453F-AB58-405C-94D1-B69E72447833