林運(yùn)蓉

【摘要】七年級(jí)學(xué)生在學(xué)習(xí)有理數(shù)這一章節(jié)時(shí)，其中“實(shí)驗(yàn)與探究”中的“填幻方”游戲很符合他們的年齡特點(diǎn).學(xué)生在探尋游戲答案的過程通過調(diào)試數(shù)字、獲得規(guī)律能感受到數(shù)學(xué)知識(shí)的魅力.對(duì)學(xué)生來說，探究奇妙幻方的數(shù)學(xué)知識(shí)是展示數(shù)學(xué)智慧的愉悅過程.

【關(guān)鍵詞】幻方;數(shù)學(xué)文化;生命課堂

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中關(guān)注數(shù)學(xué)文化的滲透融合，學(xué)生能用數(shù)學(xué)眼光領(lǐng)悟知識(shí)中的數(shù)學(xué)思想方法;數(shù)學(xué)價(jià)值在數(shù)學(xué)知識(shí)與現(xiàn)代技術(shù)結(jié)合中呈現(xiàn)出來，學(xué)生更能深刻感受數(shù)學(xué)魅力.我們的數(shù)學(xué)課堂在“目標(biāo)導(dǎo)航，樂趣為先，探究為重，實(shí)驗(yàn)為主，素養(yǎng)為上”的核心引領(lǐng)下呈現(xiàn)出學(xué)習(xí)、研究、生命的凝聚力，激發(fā)師生生命潛能，提升師生互動(dòng)的教學(xué)效果.下面筆者以“填幻方”為核心問題，引入幻方學(xué)習(xí)來進(jìn)行說明，以期得到同行的批評(píng)與指正.

一、提出趣題，追蹤溯源

“填幻方”是人教版七年級(jí)數(shù)學(xué)第一章有理數(shù)章節(jié)中“實(shí)驗(yàn)與探究”的一個(gè)課題學(xué)習(xí)，它要學(xué)生借助有理數(shù)的加法法則與運(yùn)算律以及字母表示數(shù)等相關(guān)知識(shí)，使所填的數(shù)符合幻方的要求.學(xué)生在感受圖形的對(duì)稱美的同時(shí)，經(jīng)歷實(shí)踐活動(dòng)的過程，多角度嘗試，積累了構(gòu)造三階幻方的經(jīng)驗(yàn).學(xué)生對(duì)其中蘊(yùn)含的規(guī)律進(jìn)行分析，能學(xué)會(huì)尋找數(shù)學(xué)思考的著眼點(diǎn)，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法.

例1 填幻方：我們要將1—9這9個(gè)數(shù)字填到三行三列的九個(gè)格子中，要求：每行、每列及兩條對(duì)角線上的和都相等.

【設(shè)計(jì)意圖】教師在給出題目后布置了兩個(gè)任務(wù)：一是會(huì)填，二是找其歷史來源.

（一）洛書的傳說

相傳大禹治水時(shí)期，洛陽西洛寧縣洛河中浮出長九尺的神龜，背上馱著美妙的圖案“洛書”，大禹依此治水成功，遂劃天下為九州.將1—9這9個(gè)數(shù)字填到三行三列的九個(gè)格子中，如圖1所示，使其中任意一行、任意一列及兩條對(duì)角線上的和都相等，即橫、豎、斜的三個(gè)數(shù)相加都得15（其和稱為幻和），這是世界上最早的矩陣，史稱“幻方”，其在數(shù)學(xué)上屬于三階幻方，起源于中國，是世界上第一個(gè)幻方.歐洲14世紀(jì)才開始研究幻方，比中國晚約2000年.

（二）武俠小說與幻方游戲

《射雕英雄傳》中郭靖、黃蓉兩人被裘千仞追到黑龍?zhí)?，躲進(jìn)瑛姑的小屋.瑛姑雙手捧頭，苦苦思索，發(fā)問：“將一至九這九個(gè)數(shù)字排成三列，不論縱橫斜角，每三字相加都是十五，如何排法？”黃蓉回答道：“我爹爹經(jīng)營桃花島，五行生克之變，何等精奧？這九宮之法是桃花島陣圖的根基，豈有不知之理？口訣為‘九宮之義，法以靈龜，戴九履一，左三右七，二四為肩，六八為足，五居中央.”黃蓉邊說邊在沙上畫了一個(gè)九宮圖，進(jìn)一步說道：“不但九宮，即使四四圖，五五圖，以至百子圖，亦不足為奇.就說四四圖吧，以十六字依次作四行排列，先以四角對(duì)換，一換十六，四換十三，后以內(nèi)四角對(duì)換，六換十一，七換十，這般橫直上下斜角相加，皆是三十四.”如圖2所示.

【設(shè)計(jì)意圖】教師以洛書和《射雕英雄傳》這兩個(gè)故事為課堂導(dǎo)引，讓學(xué)生在查找閱讀的同時(shí)增強(qiáng)民族自豪感，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

二、有趣幻方例舉，學(xué)科育人

幻方的研究史：幻方是中國傳統(tǒng)游戲，自漢唐以來，統(tǒng)一的中國在對(duì)外經(jīng)貿(mào)與文化交流過程中，幻方古算題漂洋過海，東傳日本，西播歐美.

①魔鬼幻方1：它除了每行、每列、每條對(duì)角線上4個(gè)數(shù)和相等是34以外，任意由四個(gè)方格或九個(gè)方格組成的正方形四個(gè)角4個(gè)數(shù)的和也相等，是34，真是非常奇特.（如圖3）

②魔鬼幻方2：它刻于11世紀(jì)的印度太蘇神廟石碑上，妙不可言的是把幻方邊上的行或列，挪動(dòng)到一邊去，所得到的仍是一個(gè)幻方，任意四個(gè)方格中4個(gè)數(shù)的和也是34.它也稱為完美幻方.（如圖4）

③丟勒幻方：它是歐洲現(xiàn)存最古老的幻方，是公元1514年德國畫家丟勒在銅版畫《憂郁》上刻的圖，創(chuàng)作年份1514嵌入底層中間兩個(gè)數(shù)中.它的每行、每列、每條對(duì)角線上4個(gè)數(shù)和相等，都是34.（如圖5）

④玉掛幻方：上海陸家嘴公園陸深墓出土文物有一件玉掛，它的反面是一個(gè)四階泛對(duì)角幻方.（如圖6）

⑤歐拉的馬步幻方：它由1—64個(gè)自然數(shù)組成，每行或每列數(shù)的和是260，而半行或半列數(shù)的和都是130，按照國際象棋棋盤的“馬走日”的規(guī)定，從1出發(fā)，馬可以不重復(fù)走遍整個(gè)棋盤.（如圖7）

⑥六角幻方：1962年，阿當(dāng)斯填出了他耗費(fèi)了52年心血換來的六角幻方.1969年滑鐵盧大學(xué)阿萊爾證明得出六角幻方只有一個(gè).（如圖8）

⑦安西王府幻方鐵板：它是元代西安受阿拉伯文化影響的重要見證，是我國數(shù)學(xué)史上應(yīng)用阿拉伯?dāng)?shù)字的最早實(shí)物資料.它是1957年在西安東郊元代安西王府遺址出土的，這個(gè)六階幻方每行、每列及兩條對(duì)角線上6個(gè)數(shù)的和都是111，它是一個(gè)二次幻方，第一行和第六行6個(gè)數(shù)的平方和相等，都為3095，第一列和第六列6個(gè)數(shù)的平方和相等，都為2947.這個(gè)六階幻方去掉最外面一層，中間剩下的部分仍是一個(gè)由11—26這16個(gè)數(shù)字組成的四階幻方，這個(gè)四階幻方每行、每列以及兩條對(duì)角線上的4個(gè)數(shù)的和都是74.（如圖9）

⑧百子回歸圖：它是由1—100這100個(gè)數(shù)字組成一個(gè)十階幻方，其每行、每列、兩條對(duì)角線上10個(gè)數(shù)的和均相等，它是我國第一座數(shù)字碑，代表一部數(shù)字化的澳門簡史，中央四數(shù)連讀即“1999·12·20”，標(biāo)示澳門回歸日期， “49”年中華人民共和國成立，從此中國人民站起來了;“97”年香港回歸祖國;“79”年中葡兩國正式建立外交關(guān)系，澳門主權(quán)歸屬是建交談判中的主要問題;“88”年中葡兩國互換關(guān)于澳門問題的《中葡聯(lián)合聲明》批準(zhǔn)書，從此澳門踏上了回歸祖國的陽光大道.（如圖10）

【設(shè)計(jì)意圖】經(jīng)過尋找探究奇妙的幻方，學(xué)生從中接受中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化的熏陶，對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的思考更加深入.學(xué)生在質(zhì)疑、點(diǎn)撥、拓展中感悟幻方的魅力.

三、構(gòu)造、規(guī)律探索，掌握知識(shí)

（一）幻方的構(gòu)造E1DED967-DD3A-4EB8-9231-50DDE54DC5DF

師：對(duì)幻方的構(gòu)造法，你能談一談嗎？

生：我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝是最早系統(tǒng)研究幻方的，他在自己著作的《續(xù)古摘奇算法》里介紹了一種幻方的構(gòu)造方法：“九子斜排，上下對(duì)易，左右相更，四維挺出.”其意思為：只要將九個(gè)自然數(shù)按照從小到大的遞增次序斜排，然后把上、下兩數(shù)對(duì)調(diào)，左、右兩數(shù)對(duì)調(diào)，最后再把中部四數(shù)各向外面挺出，就構(gòu)造出一個(gè)三階幻方.

生：從旋轉(zhuǎn)的方法來看，發(fā)現(xiàn)：5在中間，2，4，6，8這四個(gè)偶數(shù)在四個(gè)角，而1，3，7，9這四個(gè)奇數(shù)在以5為圓心的一個(gè)圓上.

（二）幻方的規(guī)律探尋

師：幻方的定義是什么？

生：n階幻方的定義：幻方又稱縱橫圖、奇方或方陣、魔陣等.n階幻方是把1至n2的自然數(shù)排列成正方形，使它的縱橫均有n個(gè)數(shù)，而把每行、每列，有時(shí)還包括兩條對(duì)角線上的數(shù)加起來，它們的和都是相等的，這個(gè)和叫作幻和.幻方的幻和等于 n （n2 +1） ÷2 .

師：以三階幻方為例來探索規(guī)律，你能得出哪些結(jié)論？期待你的發(fā)現(xiàn)，總結(jié)出規(guī)律.

生：三階幻方最中間的數(shù)是中間格（幻心），四個(gè)角為角格，還有四個(gè)數(shù)是邊格.

生：幻和是4+9+2=3+5+7=8+1+6=4+5+6=2+5+8=15，這9個(gè)數(shù)的平均數(shù)（幻心）為1+2+3+4+5+6+7+8+99=5，每對(duì)數(shù)的和：4+6=2+8=9+1=3+7=5×2=10.

生：得出規(guī)律一類：

9個(gè)數(shù)內(nèi)部存在的規(guī)律：①每行、每列、每條對(duì)角線上的3個(gè)數(shù)的和都相等，并且都等于幻和.②9個(gè)數(shù)的中位數(shù)在幻方的中間格位置.③幻和是這9個(gè)數(shù)的中位數(shù)（幻方中間格的數(shù)）——幻心的3倍.④以中間格的數(shù)（幻心）為中心，與其對(duì)應(yīng)的上下、左右、對(duì)角的兩個(gè)數(shù)的和分別是幻方中間格的數(shù)的2倍，每對(duì)數(shù)的連線都經(jīng)過幻方中間格（即幻方的“中心”）.

生：得出規(guī)律二類：

幻方運(yùn)算存在的規(guī)律：①幻方中每一個(gè)數(shù)都加上同一個(gè)數(shù)，所得的方格仍是幻方.②幻方中每一個(gè)數(shù)都減去同一個(gè)數(shù)，所得的方格仍是幻方.③幻方中每一個(gè)數(shù)都乘同一個(gè)不為0的數(shù)，所得的方格仍是幻方.④幻方中每一個(gè)數(shù)都乘同一個(gè)不為0的數(shù)后，再加上（或減去）另一個(gè)相同的數(shù)，所得的方格仍是幻方.

師：幻方中圓圈的兩個(gè)數(shù)與三角形框內(nèi)的數(shù)之間有什么關(guān)系？

生：從圖中觀察發(fā)現(xiàn)，8是角格上的數(shù)，9和7是邊格上的兩個(gè)數(shù)，且8×2=9+7，同理2×2=3+1，4×2=1+7，6×2=3+9，從而得出：與這個(gè)角格不相鄰的兩個(gè)邊格上的數(shù)加起來的和是這個(gè)角格上的數(shù)的2倍，即：角格上的數(shù)=不相鄰兩個(gè)邊格上的數(shù)的和的一半.

【設(shè)計(jì)意圖】教師從三階幻方的構(gòu)造談起，引發(fā)學(xué)生對(duì)9個(gè)數(shù)之間的規(guī)律進(jìn)行細(xì)致探討，進(jìn)而能自行構(gòu)造出符合題意的幻方來.

四、學(xué)以致用，提升鞏固

學(xué)生對(duì)三階幻方的規(guī)律進(jìn)行全方位的探尋.接下來教師可以設(shè)置循序漸進(jìn)的練習(xí)，以發(fā)揮學(xué)生的數(shù)學(xué)智慧，從而使其對(duì)規(guī)律進(jìn)行實(shí)質(zhì)上的記憶并應(yīng)用.教師嘗試設(shè)計(jì)以下題組，供學(xué)生參考.

練習(xí)1：請你將下面三組數(shù)分別填入3×3的方格中設(shè)計(jì)一個(gè)三階幻方，使得每行、每列、每條對(duì)角線上的3個(gè)數(shù)之和相等.（1）-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4.（2） 2，4，6，8，10，12，14，16，18.（3） 1，4，7，10，13，16，19，22，25.

參考答案：

練習(xí)2：挑戰(zhàn)幻方填空：請你在下面的3×3的方格中設(shè)計(jì)一個(gè)三階幻方，使得每行、每列、每條對(duì)角線上的3個(gè)數(shù)之和相等.你能正確填出幾個(gè)？認(rèn)真思考，定能全部闖關(guān)，你是最棒的！

練習(xí)3：設(shè)計(jì)幻方大挑戰(zhàn)：①試一試：將9個(gè)連續(xù)偶數(shù)構(gòu)造為三階幻方，其幻和是30.②想一想：構(gòu)造三階幻方，幻和為48 .③做一做：編出一個(gè)三階幻方，幻和為60，有幾種？

【分析】①由幻和=中心數(shù)×3，得出中心數(shù)為10，進(jìn)而得出這9個(gè)數(shù)為：2，4，6，8，10，12，14，16，18.②方法1：由幻和=中心數(shù)×3，得出中心數(shù)為16，進(jìn)而得出這9個(gè)數(shù)為：12，13，14，15，16，17，18，19，20.由①啟示得，方法2：這9個(gè)數(shù)還可以為：8，10，12，14，16，18，20，22，24.③方法1：由幻和=中心數(shù)×3，得出中心數(shù)為20，進(jìn)而得出這9個(gè)數(shù)為：16，17，18，19，20，21，22，23，24.方法2：這9個(gè)數(shù)為：12，14，16，18，20，22，24，26，28.方法3：這9個(gè)數(shù)為：4，8，12，16，20，24，28，32，36.還可以寫出很多種呢！

【設(shè)計(jì)意圖】三階幻方的練習(xí)是在規(guī)律的探索基礎(chǔ)上，學(xué)生即學(xué)即用.幻方有多種構(gòu)造方法，學(xué)生嘗試得出構(gòu)造方法的同時(shí)，體會(huì)數(shù)學(xué)思考的樂趣.幻方的多種構(gòu)造也讓學(xué)生感悟到高中的等差數(shù)列的概念.

五、幾點(diǎn)反思感悟

在填幻方這一節(jié)課上，學(xué)生對(duì)幻方的研究史、奇妙的幻方有了初步的理解，但還意猶未盡.有些學(xué)生還提前查詢了幻方的其他知識(shí)，使數(shù)學(xué)視野變得更加開闊.

幻方是一種中國傳統(tǒng)游戲，古時(shí)在官府與學(xué)堂里常見.幻方具有智力開發(fā)功能，在《奧林匹克數(shù)學(xué)》書中是一個(gè)重要內(nèi)容.幻方在數(shù)學(xué)應(yīng)用領(lǐng)域?yàn)榻M合分析、實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)、圖論、數(shù)論、群、對(duì)策論、程序設(shè)計(jì)、人工智能等.圍棋盤是19階方陣，象棋盤是八階方陣，走法原理與幻方的布局原理有聯(lián)系.西方建筑學(xué)家勃拉東運(yùn)用幻方的對(duì)稱性設(shè)計(jì)組成許多魅力的圖案.

幻方的分類：①完全幻方：每行、每列、每條對(duì)角線上的數(shù)的和相等.②乘幻方：每行、每列、每條對(duì)角線上的數(shù)的乘積相等.③反幻方：每行、每列、每條對(duì)角線上的數(shù)的和都不相等.

n階幻方中三階幻方屬于奇數(shù)階幻方，對(duì)于四階幻方這樣的偶數(shù)階幻方，它的構(gòu)造是怎樣的呢？以1—16這16個(gè)數(shù)字構(gòu)造四階幻方，構(gòu)造①：一字排開，對(duì)角不動(dòng)，上下交換，左右交換;構(gòu)造②：一字排開，外對(duì)角交換，內(nèi)對(duì)角交換;構(gòu)造③：對(duì)構(gòu)造②縱向?qū)Π肭虚_，交換后再接起來;構(gòu)造④：對(duì)構(gòu)造②橫向?qū)Π肭虚_，交換后再接起來.這4種構(gòu)造的幻方的幻和都是34.

數(shù)學(xué)文化在數(shù)學(xué)歷史的長河中不斷注入前進(jìn)、延伸拓展，有效使用數(shù)學(xué)史料，追尋數(shù)學(xué)的生命氣息，打造數(shù)學(xué)生命課堂，用數(shù)學(xué)眼光進(jìn)行數(shù)學(xué)思維，能夠增強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)同感，提升其數(shù)學(xué)素養(yǎng).數(shù)學(xué)文化和生命課堂的和諧共處，能夠增強(qiáng)學(xué)生的愛國情操和文化自信，豐富數(shù)學(xué)課堂的文化底蘊(yùn).

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