蘇碰美

摘 要：英國著名數(shù)學家、哲學家羅素曾說“數(shù)學是符號加邏輯”，邏輯推理能力不僅是數(shù)學學科的重要內(nèi)容，而且是解決數(shù)學問題的基本技能。在教育部印發(fā)的《普通高中數(shù)學課程標準》中，將邏輯推理能力作為六大核心素養(yǎng)之一。在高中數(shù)學教學中，我們必須注重對學生邏輯推理能力的培養(yǎng)。本文闡述了在高中數(shù)學教學過程中培養(yǎng)學生邏輯推理能力的必要性，并在此基礎上提出了具體策略，包括：制訂計劃，融于教學過程之中；貫穿始終，落實到不同內(nèi)容領域；重視基礎，加強基本概念的教學；設置問題，暴露推理的思維過程；表達準確，錘煉嚴謹?shù)臄?shù)學語言；言必有據(jù)，學會多角度認識問題等。旨在通過對學生邏輯推理能力的培養(yǎng)，推動高中數(shù)學教學質(zhì)量的提升。

關鍵詞：高中數(shù)學；邏輯推理能力；符號

隨著以核心素養(yǎng)為導向的教學目標深入人心，部分教師也積極嘗試在高中數(shù)學教學中滲透邏輯推理能力的培養(yǎng)。但從現(xiàn)實情況來看，似乎并未取得明顯的成效。這主要是由于當前既缺少科學的理論體系，也沒有足夠的邏輯推理能力培養(yǎng)經(jīng)驗，不能給高中數(shù)學教學提供有效的指導?？梢?，對邏輯能力培養(yǎng)的重要性及高中數(shù)學教學策略展開研究，就顯得十分迫切了。

一、高中數(shù)學教學過程中培養(yǎng)學生邏輯推理能力的必要性

（一）課程標準對教學的要求

《普通高中數(shù)學課程標準》明確指出，邏輯推理、數(shù)學運算、直觀想象、數(shù)學建模、數(shù)據(jù)分析以及數(shù)學抽象是本學科的六大核心素養(yǎng)。所謂邏輯推理，即從一些事實和命題出發(fā)，依據(jù)邏輯規(guī)則推出一個命題的思維過程。高中數(shù)學所涉及的邏輯推理主要有兩類：一是從特殊到一般的推理，推理形式多為歸納、類比；二是從一般到特殊的推理，推理形式主要為演繹。課程標準是對課程計劃的具體化，是以學科綱要的形式編訂的，有關學科教學內(nèi)容的指導性文件，更是教學活動開展的最根本依據(jù)。高中數(shù)學教學必須按照課程標準的要求，有目的、有計劃地培養(yǎng)學生的邏輯推理能力。只有這樣才能順利實現(xiàn)本學科的培養(yǎng)目標，使學生在掌握數(shù)學知識的基礎上，形成適應個人發(fā)展和社會發(fā)展的能力和素養(yǎng)[1]。

（二）個體成長必備的技能

兒童心理學家皮亞杰將個體認知發(fā)展，按照年齡劃分為四個階段：0—2歲為感知運動階段，個體只能借助身體感官來了解外部環(huán)境；2—7歲為前運算階段，個體初步具備了符號語言功能，但在思維上仍是以自我為中心；7—11歲為具體運算階段，個體逐漸掌握分類、排序、運算的能力；11歲之后進入形式運算階段，個體開始具備邏輯思維，能夠以命題的形式對現(xiàn)實問題進行歸納總結(jié)?？梢?，邏輯思維的形成與發(fā)展標志著個體從幼稚走向成熟，從刻板地遵守規(guī)則過渡到靈活地運用規(guī)則。高中生年齡大多在14—19歲，正是邏輯思維快速發(fā)展的黃金期。在高中數(shù)學教學中培養(yǎng)學生的邏輯推理能力，恰好符合他們的身心發(fā)展規(guī)律，對他們?nèi)松貍淦犯窈完P鍵能力的形成具有重要意義。

二、高中數(shù)學教學中培養(yǎng)邏輯推理能力的策略

（一）制訂計劃，融于教學過程之中

過去之所以高中生邏輯推理能力薄弱，很大程度上歸咎于教師沒有制訂明確的培養(yǎng)計劃。他們或是完全忽視邏輯能力的培養(yǎng)，或是在教學過程中偶有涉及卻未形成系統(tǒng)，因而教學效果不太理想。正所謂“十年樹木，百年樹人”，素養(yǎng)與能力的培養(yǎng)絕非一蹴而就，它需要一個日積跬步的過程。教師應結(jié)合教學內(nèi)容，在設計教案、制作課件時，將邏輯推理能力的培養(yǎng)融入知識點講解中，這樣既達到了提高學生邏輯推理能力的目的，也有助于他們對當堂課重難點的理解。

比如在《函數(shù)的概念》一課的教學中，筆者在黑板上羅列了若干組函數(shù)，并帶領學生繪制出它們的函數(shù)圖像。很快有細心的學生發(fā)現(xiàn)，這些函數(shù)圖像均為左右對稱。此時，筆者再引出偶函數(shù)，要求學生與我一起歸納出偶函數(shù)的概念。經(jīng)過一番討論，學生結(jié)合教材上的定義得出，偶函數(shù)就是在該函數(shù)的定義域內(nèi)，任意一個都能得出。之后筆者還要求學生運用類比的形式，嘗試去界定奇函數(shù)的概念。通過這節(jié)課的練習，學生不僅掌握了奇函數(shù)、偶函數(shù)這兩個知識點，而且還在學習的過程中靈活運用了歸納、類比這兩種特殊到一般的推理形式，使他們邏輯推理能力得到了不同程度的發(fā)展[2]。

（二）貫穿始終，落實到不同內(nèi)容領域

實際上，推理作為數(shù)學學科內(nèi)容的一部分，在高中數(shù)學教材中有專門的章節(jié)——“推理與證明”，這無不反映出教材編委的專家們對邏輯推理能力的重視。很多一線教師也逐漸認識到邏輯推理能力培養(yǎng)對于高中數(shù)學教學的重要意義，尤其是更強調(diào)邏輯性的幾何。但筆者發(fā)現(xiàn)，教師對學生邏輯推理能力的培養(yǎng)局限于部分章節(jié)，比如在教授《推理與證明》這一章時以專題的形式開展培養(yǎng)，此后就很少提及。這就導致高中生雖然接受了所謂的“邏輯推理能力”專項培養(yǎng)，但實際上這項能力素養(yǎng)并不扎實，也很少有機會將其運用到解決其他數(shù)學問題的實踐中。針對這一問題，教師必須將邏輯推理能力的培養(yǎng)貫穿數(shù)學教學的始終，將邏輯推理能力思維落實到每一個章節(jié)、每一個知識點。只有這樣，才能確保學生逐漸形成相應的能力和素養(yǎng)。

比如在學習代數(shù)知識時，由于學生邏輯推理能力比較薄弱，以往只是運用演繹的形式對幾何問題進行推理，但代數(shù)問題的解決更加依賴公式、法則的運算。起初很多學生有些摸不著頭腦，不知該如何厘清代數(shù)問題的思路。鑒于此，筆者用不等式、函數(shù)來進行引導，借助這些明確的變量關系來啟發(fā)學生。學生通過觀察，并借助猜想，最終論證了這些公式法則。比如，在《數(shù)列》一章的教學中，教師引導學生觀察連續(xù)數(shù)字之間的規(guī)律，歸納出結(jié)論；此外，在概率與統(tǒng)計教學中，同樣可以滲透邏輯推理能力的培養(yǎng)?？偠灾?，邏輯推理能力培養(yǎng)絕不能停留在某個或某幾個章節(jié)中，而是要貫徹落實到每一個知識點的講解中，使學生在學習具體知識點的過程中逐漸內(nèi)化形成邏輯推理能力。

（三）重視基礎，加強基本概念的教學

大量研究表明，基礎知識是影響邏輯推理能力發(fā)展的重要因素之一。盡管部分教師已經(jīng)相當重視邏輯推理能力的培養(yǎng)，也積極地在教學中有意識地開展培養(yǎng)，但收效甚微，原因主要是高中數(shù)學涉及很多抽象的概念和知識點，學生掌握得并不扎實，邏輯推理能力培養(yǎng)的開展情況自然就受到影響。比如在《集合》一課的教學中，由于很多學生沒能厘清“子集”與“真子集”兩個概念的區(qū)別，導致后續(xù)在判斷兩個集合是交集、并集還是補集時得出了錯誤的結(jié)論。數(shù)學是講究思維嚴謹?shù)膶W科，如果學生連本學科的基礎知識都未能扎實掌握，相關的概念和涉及的數(shù)學原理也都一知半解，那么就不能夠結(jié)合材料，體會數(shù)學題目中的思維過程，并在其中發(fā)展自己的邏輯推理能力。筆者建議，教師今后應更加注重基礎知識教學，確保學生掌握每一個章節(jié)的基本概念和基本原理，并在此基礎上運用分析、判斷、推理等一系列思維方式來解決具體的數(shù)學問題。

比如在《棱柱的體積》一章的教學中，筆者將邏輯推理能力的培養(yǎng)滲透到斜四棱柱體積計算問題中。首先，先向?qū)W生講解棱柱的概念，使他們對棱柱體積計算公式有一個初步的了解；其次，介紹四棱柱與斜四棱柱的異同，進一步明確斜四棱柱體積計算應注意的問題；最后，引導學生根據(jù)四棱柱體積計算公式，類比、推理出斜四棱柱體積計算的方法。經(jīng)過討論和嘗試，學生很快有了明確的思路，最終得出正確的答案。在這個過程中，得益于學生對棱柱、四棱柱、斜四棱柱等知識點的扎實掌握，使他們能夠區(qū)分幾個概念的異同，運用邏輯推理能力從正四棱柱體積計算公式推導出斜四棱柱體積的計算方法?？梢姡谂囵B(yǎng)學生邏輯推理能力時，鞏固好他們的基礎知識是非常必要的前提[3]。

（四）設置問題，暴露推理的思維過程

古語有云：“學起于疑，疑源于思。”可以說問題是學生最好的老師。尤其隨著教學理念的革新，以教師為中心的課堂模式早已被摒棄，取而代之的是更凸顯學生主體地位的課堂模式。前者往往是照本宣科，直接將知識點灌輸給學生，學生無須思考，只要死記硬背就能在考試中取得不錯的成績。但是，由于整個學習過程中學生主觀能動性未被調(diào)動，包括邏輯推理能力在內(nèi)的各項思維能力都沒能發(fā)展。后者則強調(diào)學生的主體性，引導、鼓勵他們積極主動地探究問題，使他們的思維能力得到鍛煉和發(fā)展。問題導向就是以學生為中心的課堂模式的特征之一，通過設置問題來激發(fā)學生的求知欲、探索欲，使他們從以往被動接受知識的情況轉(zhuǎn)變?yōu)橹鲃铀伎紗栴}、解決問題。需要注意的是，拋出問題后仍不能“放養(yǎng)”學生，讓他們閉門造車，而是要在一旁觀察、了解學生的具體想法并適時地提供指導。

比如在《概率與統(tǒng)計》一課的教學中，筆者就嘗試設置以下問題來引導學生發(fā)展邏輯推理能力：在一個不透明的盒子中裝有4個紅球和2個白球，此時從盒子中隨機連續(xù)地取出4個小球，其中有1個白球的概率是多少。起初有學生主張用窮舉法一一羅列，但以這種方法計算出的概率顯然是錯的。此時筆者又提出問題，仍然是不透明盒子中4個紅球與2個白球，隨機從中取出一個球并放回，連續(xù)抽取4次，其中有一個白球的概率是多少。在這個問題的啟發(fā)下，學生豁然開朗，于是改變策略運用組合的辦法來計算，最終得出了正確答案。在這節(jié)課中，筆者以兩種不同的抽取方法，引導學生思考小球放回和不放回在概率上的區(qū)別，他們也成功地運用邏輯推理能力找到解決問題的辦法。

（五）表達準確，錘煉研究的數(shù)學語言

數(shù)學語言是培養(yǎng)邏輯推理能力的重要工具，使用正確的數(shù)學語言是有效推理的重要前提。在高中數(shù)學教學中，教師應當要求學生正確使用數(shù)學語言，令他們形成嚴謹?shù)倪壿嬎季S。從現(xiàn)實情況來看，很多學生的數(shù)學語言使用不規(guī)范、不準確，在推理過程中就可能出現(xiàn)謬誤，而很多教師對此不以為意，結(jié)果自然是給學生邏輯推理能力的發(fā)展造成了嚴重的負面影響。因此，教師需要有意識地引導學生使用正確的數(shù)學語言來表達思維過程和書寫解題思路。

首先，教師要以身作則，在授課的過程中確保數(shù)學語言使用準確、書寫規(guī)范。教師作為學生的榜樣權威，他們的一言一行對學生有著潛移默化的影響，如果教師在數(shù)學語言上“不拘小節(jié)”，就有可能導致學生養(yǎng)成壞習慣，在邏輯推導中干擾、誤導判斷。其次，在課堂互動、日常作業(yè)和考試中，要注重對學生數(shù)學語言使用的嚴要求。一旦他們出現(xiàn)了使用不規(guī)范、不準確的情況，就要及時地提出，并要求他們改正。最后值得一提的是，教師還可以借助一些概念、規(guī)則來加強學生對數(shù)學語言的理解和運用。比如在一次作業(yè)批改中，筆者發(fā)現(xiàn)某學生在書寫函數(shù)單調(diào)性時，用U來連接多個單調(diào)區(qū)間，如此一來就把本來函數(shù)的局部性質(zhì)擴大到一個區(qū)間集合，造成了謬誤。于是，筆者在評語中要求該生將U替換為逗號，并認真回顧函數(shù)單調(diào)性相關的知識點。經(jīng)筆者指正后，該生數(shù)學語言的使用變得更加規(guī)范，這些都是邏輯推理能力環(huán)節(jié)非?？煽康囊罁?jù)，對他能力素養(yǎng)的發(fā)展大有幫助。

（六）言必有據(jù)，學會多角度認識問題

一方面，數(shù)學是一門邏輯嚴密的學科，邏輯推理能力更是強調(diào)整個過程的嚴謹性，每一個步驟都是環(huán)環(huán)相扣，整個過程邏輯自洽。要做到這一點，就必須有健全的規(guī)則來約束。但是，很多學生在解決數(shù)學問題時，總是以自己捏造的、假想的規(guī)則為邏輯基點，之后層層推理。其過程看似嚴謹有序，實則早已違背了公式定理。在高中數(shù)學教學中要想培養(yǎng)學生的邏輯推理能力，還需要做到言必有據(jù)。每一個論點、論據(jù)的提出，都要經(jīng)得起推敲，而不是信口開河，更忌諱憑空臆造。只有明確了這一點，學生才能對邏輯推理能力有一個正確的認知。

另一方面，任何一項思維能力的發(fā)展，都需要個體讓自己的思維發(fā)散，從不同的角度來審視問題。比如運用類比的思路，從某個數(shù)學現(xiàn)象、數(shù)學原理中，推導出所需要的結(jié)論，以這種舉一反三的方式來輔助邏輯推理能力；又或者基于已經(jīng)掌握的知識，去演繹推導出關于新知識的一些結(jié)論。比如在學習“三角函數(shù)”這部分知識時，筆者提問是否為周期函數(shù)。有學生嘗試從函數(shù)的定義域內(nèi)選取若干個值，代入周期函數(shù)定義公式進行驗證。但這種方法不僅十分煩瑣，而且也不能確定該函數(shù)是否為周期函數(shù)。此時，筆者給出前提，所有的三角函數(shù)均為周期函數(shù)。如此一來，學生就可以運用演繹推理的思維，先論證為三角函數(shù)的一種，遂得出為周期函數(shù)。經(jīng)過這次培養(yǎng)，學生意識到在解決數(shù)學問題時，應當以更發(fā)散的思維，靈活運用歸納、類比、演繹等多種邏輯推理形式，從已經(jīng)掌握的知識中推導出所需的結(jié)論，使問題迎刃而解。

結(jié)束語

邏輯推理能力不僅是《普通高中數(shù)學課程標準》中提到的學科六大核心素養(yǎng)之一，也是認知發(fā)展階段論認為的高中生思維形成與發(fā)展的重要一環(huán)。在高中數(shù)學教學中，培養(yǎng)學生的邏輯推理能力是非常必要的。但在過去很長一段時間里，師生不重視以及缺乏科學有效的教學策略，導致學生邏輯推理能力十分薄弱。本文針對這一問題展開研究，并最終結(jié)合高中數(shù)學教學實際情況提出如下建議：第一，要明確邏輯推理能力培養(yǎng)計劃，并將其融入教學過程；第二，要將邏輯推理能力培養(yǎng)貫穿始終，而不是局限于某幾個章節(jié)；第三，要重視基礎知識教學，這是培養(yǎng)邏輯推理能力的前提；第四，還要問題引導、規(guī)范數(shù)學語言，讓學生形成邏輯推理能力所必需的良好習慣；第五，還必須遵從數(shù)學定理，同時要學會發(fā)散思維，多角度審視問題。

參考文獻

[1]池毓海.邏輯推理在高中數(shù)學教學中的培養(yǎng)[J].文理導航，2023（2）：70-72.

[2]楊晶鳳.邏輯推理能力在高中數(shù)學中的培養(yǎng)策略與教學策略分析[J].數(shù)學學習與研究，2022（6）：20-22.

[3]朱菊花.語言理解·邏輯推理·問題解決：例談高中數(shù)學能力培養(yǎng)的三個基本點[J].數(shù)學教學通訊，2018（15）：26-27.

本文系2022年度福建省南安市教育科學“十四五”規(guī)劃研究課題立項課題“深度學習，基于‘跨學科素養(yǎng)的教學設計研究”（課題批準號：NG1452—090）的研究成果。