陸歡

【摘要】線段、射線、直線是學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何時(shí)最先需要掌握的基礎(chǔ)知識(shí)之一.在解答與它們有關(guān)的計(jì)算題時(shí)，常常要運(yùn)用一些數(shù)學(xué)思想.本文舉例闡述線段、射線、直線中的數(shù)學(xué)思想.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)思想;幾何圖形;數(shù)學(xué)解題

1 數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想，就是把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來(lái)，通過(guò)“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”，即通過(guò)抽象思維與形象思維的結(jié)合來(lái)解決問(wèn)題的一種思想方法.

例1同學(xué)們?nèi)ス放灾矘?shù)，每隔3m植一顆樹(shù)，在21m長(zhǎng)的公路旁最多可植多少顆樹(shù)？

分析 為了便于理解題意，準(zhǔn)確求解，比較直觀的方法就是畫(huà)出圖形，借助圖形解決問(wèn)題.此題，同學(xué)們可能會(huì)不假思索地回答7顆數(shù)，因?yàn)?1÷3=7，只考慮了有7段，沒(méi)有考慮要求的是端點(diǎn)數(shù).

解 由圖1可知，可植8顆樹(shù).

點(diǎn)評(píng) 根據(jù)題意作出圖形，數(shù)形結(jié)合，這樣可以直觀且快速地得出正確答案.數(shù)形結(jié)合思想可以使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題具體化，從而實(shí)現(xiàn)優(yōu)化解題途徑的目的.

2 方程思想

方程思想，就是分析數(shù)學(xué)中的等量關(guān)系，去構(gòu)建方程或方程組，通過(guò)求解或利用方程的性質(zhì)去分析解決問(wèn)題的一種思想方法.

例2 如圖2，已知線段AB和CD的公共部分BD=13AB=14CD，線段AB，CD的中點(diǎn)E、F之間距離是10cm，求AB，CD的長(zhǎng).

分析 由BD=13AB=14CD，可設(shè)BD=x，則AB=3x，CD=4x.根據(jù)題意，知EF=2.5x=10，從而求得x的值，進(jìn)而求出AB，CD的長(zhǎng).

解 設(shè)BD=xcm，則AB=3x cm，CD=4x cm.

因?yàn)镋、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，

所以AE=12AB=1.5x（cm），

CF=12CD=2x（cm），

所以EF=AC-AE-CF=6x-1.5x-2x=2.5x（cm），

因?yàn)镋F=10cm，所以2.5x=10，解得x=4，

所以AB=12cm，CD=16cm.

點(diǎn)評(píng) 本題中線段之間的關(guān)系較復(fù)雜，但如果我們?cè)O(shè)了適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)，就能理順各線段之間的關(guān)系，并且根據(jù)等量關(guān)系，建立方程模型，幫助我們快速解題.運(yùn)用方程思想求解線段的長(zhǎng)度也充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.

3 分類討論思想

分類討論思想，就是當(dāng)問(wèn)題所給的對(duì)象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時(shí)，需要把研究對(duì)象按某個(gè)標(biāo)準(zhǔn)分類，然后對(duì)每一類分別研究得出結(jié)論，最后，綜合各類結(jié)果得到整個(gè)問(wèn)題的解答.

例3 已知C是線段AB的中點(diǎn)，在直線上有一點(diǎn)D，且BD=1.5，AD=6.5，求線段CD的長(zhǎng)度.

分析 此題沒(méi)有明確點(diǎn)D的具體位置，所以我們?cè)诮獯饡r(shí)，應(yīng)對(duì)點(diǎn)D的情況進(jìn)行分類討論，當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)的情況以及當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)B右側(cè)時(shí)的情況.

解

（1）當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)（如圖3），

AB=AD+BD=6.5+1.5=8.

因?yàn)镃是線段AB的中點(diǎn)，

所以CB=12AB=4，

所以CD=CB-BD=4-1.5=2.5.

（2）當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)B右側(cè)時(shí)（如圖4），

AB=AD-BD=6.5-1.5=5，

因?yàn)镃是線段AB的中點(diǎn)，

所以CB=12AB=2.5，

所以CD=CB+BD=2.5+1.5=4.

所以，線段CD的長(zhǎng)為2.5或4.

點(diǎn)評(píng) 如果題中沒(méi)有明確點(diǎn)的位置，應(yīng)分情況討論.實(shí)質(zhì)上，分類討論可以化整為零，各個(gè)擊破，再積零為整.此題還需要根據(jù)題意畫(huà)出圖形，以形助思，數(shù)形結(jié)合.

4 整體思想

整體思想，就是從問(wèn)題的整體性質(zhì)出發(fā)，突出對(duì)問(wèn)題的整體結(jié)構(gòu)的分析和改造，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的整體結(jié)構(gòu)特征，從而解決問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)思想.

例4 如圖5，已知線段AB=16cm，C是AB上的任意一點(diǎn)，E、F分別是AC，BC的中點(diǎn).

（1）求線段EF的長(zhǎng)度;

（2）若線段AB=a，其他條件不變，你能猜測(cè)出EF的長(zhǎng)度嗎？并證明，并請(qǐng)用一句話表述你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律.

分析 根據(jù)線段中點(diǎn)的定義和線段的和差來(lái)計(jì)算，題目中僅知道線段AB的長(zhǎng)，要求線段EF的長(zhǎng)，根據(jù)條件可以考慮整體思想來(lái)解決.

解 （1）因?yàn)辄c(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，

所以EC=AE=12AC，CF=BF=12BC，

所以EF=EC+CF=12AC+12BC

=12AC+BC=12AB=8cm.

（2）猜想EF=12AB=12a.

證明 因?yàn)辄c(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，

所以EC=AE=12AC，CF=BF=12BC，

所以EF=EC+CF=12AC+12BC

=12AC+BC=12AB=12a.

從而得到一般規(guī)律：線段上任意一點(diǎn)把線段分成的兩部分的中點(diǎn)距離等于原線段長(zhǎng)度的一半.

點(diǎn)評(píng) 本題中將EC+CF看作一個(gè)整體，再根據(jù)題目中的有關(guān)條件作整體處理，進(jìn)而解決問(wèn)題.利用整體思想往往可以使問(wèn)題得到最合理的解決.

5 從特殊到一般的思想

從特殊到一般的思想，就是從特殊的事例中總結(jié)出一般的規(guī)律，從而解決問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)思想.

例5 根據(jù)題意，完成下列填空：如圖6所示，l1與l2是同一平面內(nèi)的兩條相交直線，它們有一個(gè)交點(diǎn)，如果在這個(gè)平面內(nèi)，再畫(huà)第3條直線l3，那么這3條直線最多可有 個(gè)交點(diǎn);再畫(huà)第4條直線l4，那么這4條直線最多可有 個(gè)交點(diǎn);由此我們可以猜想：在同一平面內(nèi)，6條直線最多可有 個(gè)交點(diǎn)，nn為大于1的整數(shù)條直線最多可有 個(gè)交點(diǎn)（用含n的代數(shù)式表示）.

分析 通過(guò)閱讀題目中提供的材料，可從兩條直線相交、3條直線相交、4條直線相交等特殊情況入手研究，進(jìn)而推出一般的規(guī)律.

解 2條直線最多可有1個(gè)交點(diǎn)，3條直線最多可有1+2=3個(gè)交點(diǎn)，4條直線最多可有1+2+3=6個(gè)交點(diǎn)，所以可以猜想：6條直線最多可有1+2+3+4+5=15個(gè)交點(diǎn).

由此可見(jiàn)，nn為大于1的整數(shù)條直線最多可有1+2+3+…+n-1=n（n-1）2個(gè)交點(diǎn).

點(diǎn)評(píng) 在求解本題時(shí)，通過(guò)從特殊的情形入手，進(jìn)行觀察、分析和猜想，從而得出一般性的結(jié)論.