劉賢華

【摘要】在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中平面幾何是學(xué)生學(xué)習(xí)的重難點.學(xué)生們經(jīng)常需要解決一些計算線段長度、角度、比例以及角相等、邊相等或成比例的問題.這些問題的求解過程中，學(xué)生可以使用多種多樣的解題方法，其中借助相似三角形的方法能夠幫助學(xué)生快速解題.因此，本文從“求解線段長度問題”、“求解角的度數(shù)問題”、“求解線段比例問題”、“證明線段相等問題”四個方面談一談如何利用相似三角形的性質(zhì)解決相關(guān)問題.

【關(guān)鍵詞】相似三角形;初中數(shù)學(xué);解題思路

1 求解線段長度問題中利用相似三角形

在有關(guān)求解線段長度的問題中，學(xué)生們經(jīng)常會使用代數(shù)的方法對線段的長度進(jìn)行求解.在這個過程中，不僅需要進(jìn)行復(fù)雜的計算，還要求學(xué)生們能夠運用對應(yīng)的定理，這對學(xué)生具有很大的挑戰(zhàn).因此，為了能夠讓學(xué)生在面對這類問題時，能夠快速具有解題思路，且準(zhǔn)確運用特定的解題方法，教師們就需要引導(dǎo)學(xué)生掌握相似三角形的特性，促使學(xué)生們能夠在解決線段長度問題時能夠借助相似三角形進(jìn)行快速解題.

例1 如圖1所示，將三角形ABC紙片進(jìn)行折疊，使得點B落在AC上為點D，其折痕為EF.已知△ABC中AB=AC=3，且BC=4.假如以點D、F、C為頂點的三角形與△ABC相似，求解線段BF的長度.

解析 在該例題中，已經(jīng)給出了以點D、F、C為頂點的三角形與△ABC相似，但是題中并沒有說明頂點的對應(yīng)關(guān)系，所以在解決這一問題的過程中，不能簡單認(rèn)為△DFC∽△ABC.在這一問題中，教師們需要引導(dǎo)學(xué)生全面思考這兩個三角形之間所有相似的情況.已知，該圖形通過折疊可以得到BF=DF，因此，假如△DFC∽△ABC，那么可以得到DFAB=CFBC，進(jìn)而得到BF3=4-BF4，即BF=127;假如△FDC∽△ABC，那么就可以得到DFAB=FCAC，從而得到BF3=4-BF3，即BF=2.因此，可以說例1的答案為BF的長度是2或127.

2 求解角的度數(shù)問題中利用相似三角形

除去求解線段長度的問題，平面幾何的內(nèi)容中讓學(xué)生經(jīng)常求解的內(nèi)容包括角的度數(shù)等問題.對于一些簡單的角的度數(shù)求解問題中，學(xué)生們可以通過代數(shù)的方法進(jìn)行求解.但是對于一些復(fù)雜的求解問題，教師們就可以引導(dǎo)學(xué)生利用相似三角形的特性對角的度數(shù)進(jìn)行求解.在例2這一經(jīng)典例題的求解中就很好地運用了相似三角形的特性.

例2 如圖2所示，是三個并列的且邊長相等的正方形，請試著說明圖形中∠1+∠2+∠3=90°.

解析 已知圖2中是三個相等的正方形并列而成的長方形，通過正方形的性質(zhì)可以知道∠1=45°，因此，在這個問題中需要學(xué)生們對∠2+∠3這兒的角度進(jìn)行求解.只要能夠證明∠2+∠3=45°，那么∠1+∠2+∠3=90°就成立.因為∠1為EBC的外角，所以可以得到∠2+∠4=45°，因此需要證明∠3=∠4就可以將問題求證.要想證明∠3=∠4就需要證明△BCE∽△BED.在這個過程中，學(xué)生們可以借助代數(shù)的方法對問題進(jìn)行求解.

假設(shè)正方形的邊長為1，那么就可以得到BC=1，BD=2，

根據(jù)勾股定理可以得到EB= 2.

因為BEBC= 21= 2，BDBE=2 2= 2，因此可以得到BEBC=BDBE.

又因為∠EBC=∠DBE，所以可以證明△BED∽△BCE，從而得到∠3=∠4.

因此，由于四邊形ABFE為正方形，

所以可以得到∠2+∠3=∠2+∠4=45°=∠1=45°，

即∠1+∠2+∠3=90°得證.

3 求解線段比例問題中利用相似三角形

在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，教師們需要重視學(xué)生解題思路的培養(yǎng).相似三角形的特性在平面幾何的問題中有著較高的應(yīng)用效率，對于求解線段比例的問題也同樣可以利用相似三角形的特性對其進(jìn)行求解.在例3這一例題中就很巧妙地利用相似三角形對線段成比例的問題進(jìn)行了解答.

例3 如圖3所示，在△ABC中AD⊥BC于點D，DE⊥AB于點E，且DF⊥AC于點F，請試著說明AE·AB=AF·AC.

解析 圖形中符合直角三角形斜邊上的高的基本圖形有兩個，因此，教師們需要引導(dǎo)學(xué)生們能夠聯(lián)想到利用直角三角形的相似判定對問題進(jìn)行解答.

從題目已知AD⊥BC，因此可以直接得到∠ADB=90°，

又因為DE⊥AB，所以可以得到△ADE∽△ABD，

進(jìn)一步得到AEAD=ADAB，即AE·AB=AD2.

同理，通過證明可以得到AFAD=ADAC，即AF·AC=AD2.

因此，可以得到AF·AC=AD2=AE·AB，

使得AE·AB=AF·AC得證.

4 證明線段相等問題中利用相似三角形

線段長度問題可以借助相似三角形的方法進(jìn)行求解，那么同樣的對線段相等的證明題中，也可以利用相似三角形進(jìn)行求證.相似三角形的特性對于線段長度、比例、相等的求解具有重要作用.

例4 如圖4所示，點F為菱形ABCD的邊AB延長的一點，連接CF、DF，已知E為DF與BC的交點，且EG∥CD交CF于點G.試證明EG與EB相等.

解析 在這一例題的求解過程中，教師們首先需要引導(dǎo)學(xué)生對題目中所給出的已知條件進(jìn)行分析，從而根據(jù)題目中給出的線段平行關(guān)系進(jìn)行分析，從而找出圖中存在的相似三角形.在這一問題中，如果直接尋找全等三角形的方式是無法將題目進(jìn)行求證的.

因為四邊形ABCD是一個菱形，所以可以得到EB∥AD，

所以可以得到△FBE∽△FAD，

因此通過相似三角形可以得到EBAD=FEFD.

由題意已知EG∥CD交CF于點G，

所以可以得到△FGE∽△FCD，

所以EGCD=FEFD，EBAD=EGCD.

又因為AD=CD，

所以EB=EG.

總而言之，在初中數(shù)學(xué)解題過程中，教師們需要重點關(guān)注學(xué)生解題思路的培養(yǎng).學(xué)生解題思路的培養(yǎng)對其解題能力的提高具有重要作用.因此，在初中數(shù)學(xué)平面幾何的解題過程中，教師們可以讓學(xué)生養(yǎng)成借助相似三角形特性思路，對題目進(jìn)行解答.