楊振剛

【摘要】 求陰影部分面積是中考中熱點(diǎn)內(nèi)容之一，是中考的常見(jiàn)題型，但題目中涉及的圖形往往并不規(guī)則，要求它們的面積，并沒(méi)有現(xiàn)成的公式可用，這時(shí)，往往要借助轉(zhuǎn)化，化不規(guī)則為規(guī)則，從而達(dá)到解決問(wèn)題的目的.

【關(guān)鍵詞】 陰影部分面積;化不規(guī)則;轉(zhuǎn)化;構(gòu)造

若所求陰影部分是不規(guī)則圖形，需要添加輔助線構(gòu)造扇形、三角形或特殊四邊形，轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形求其面積的和或差.

1.若陰影部分圖形有一部分是弧線，找出弧線所對(duì)應(yīng)的圓心，將其補(bǔ)全為扇形，再利用圖形間的關(guān)系進(jìn)行求解.

2.若陰影部分是由圖形旋轉(zhuǎn)構(gòu)成，旋轉(zhuǎn)中心即為圓心，連接端點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心構(gòu)造扇形.

如圖1.

例1 如圖2，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別與BC，AC交于點(diǎn)D，E，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC，垂足為點(diǎn)F，若⊙O的半徑為43，∠CDF=15°，則陰影部分的面積為（? ）

（A）16π-123.? （B）16π-243.

（C）20π-123.（D）20π-243.

分析 連接AD，連接OE，根據(jù)圓周角定理得到∠ADB=90°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到

∠BAC=2∠DAC=2×15°=30°，求得∠AOE=120°，過(guò)O作OH⊥AE于H，解直角三角形得到OH=23，AH=6，根據(jù)扇形和三角形的面積公式即可得到結(jié)論.

解 連接AD，連接OE，因?yàn)锳B是直徑，

所以∠ADB=90°，

所以AD⊥BC，

所以∠ADB=∠ADC=90°，

因?yàn)镈F⊥AC，

所以∠DFC=∠DFA=90°，

所以∠DAC=∠CDF=15°，

因?yàn)锳B=AC，

D是BC中點(diǎn)，

所以∠BAC=2∠DAC=2×15°=30°，

因?yàn)镺A=OE，

所以∠AOE=120°.

過(guò)O作OH⊥AE于點(diǎn)H，

因?yàn)锳O=43，

所以O(shè)H=12AO=23，

所以AH=3OH=6，

所以AE=2AH=12，

所以S陰影=S扇形AOE-S△AOE

=120π×（43）2360-12×12×23

=16π-123.

故選（A）.

注 本題主要考查了扇形的面積與三角形的面積公式，圓周角定理等，作出適當(dāng)?shù)妮o助線，數(shù)形結(jié)合是解答此題的關(guān)鍵.

例2 如圖3，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，分別以B，C為圓心，以正方形的邊長(zhǎng)為半徑的圓相交于點(diǎn)P，那么圖中陰影部分的面積為.

分析 連接PB，PC，作PF⊥BC于點(diǎn)F，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠PBC=60°，解直角三角形求出BF，PF，根據(jù)扇形面積公式、三角形的面積公式計(jì)算，得到答案.

解 連接PB，PC，作PF⊥BC于點(diǎn)F，

因?yàn)镻B=PC=BC，

所以△PBC為等邊三角形，

所以∠PBC=60°，

∠PBA=30°，

所以BF=12PB=1，

PF=3，

則圖中陰影部分的面積=[扇形ABP的面積-（扇形BPC的面積-△BPC的面積）]×2

=30·π×22360-60·π×22360-12×2×3×2

=23-2π3.

注 本題考查的是扇形面積計(jì)算、等邊三角形的判定和性質(zhì)，掌握扇形面積公式是解題的關(guān)鍵.

例3 如圖4，AB是⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)（C不與點(diǎn)A，B重合），連接AC，BC，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為點(diǎn)D.將△ACD沿AC翻折，點(diǎn)D落在點(diǎn)E處得△ACE，AE交⊙O于點(diǎn)F.

（1）求證：CE是⊙O的切線;

（2）若∠BAC=15°，OA=2，求陰影部分面積.

分析 （1）連接OC，求得∠ACO=∠EAC，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行得到OC∥AE，進(jìn)而求得∠ECO=90°，即可證明CE是⊙O的切線;

（2）利用S陰影=S梯形OCEF-S扇形OCF可求得陰影部分的面積.

解 （1）如圖5，連接OC，

因?yàn)镃D⊥AB，圖5

所以∠ADC=90°，

因?yàn)椤鰽CD沿AC翻折得到△ACE，

所以∠EAC=∠BAC，

∠E=∠ADC=90°，

因?yàn)镺A=OC，

所以∠ACO=∠BAC，

所以∠ACO=∠EAC，

所以O(shè)C∥AE，

所以∠AEC+∠ECO=180°，

所以∠ECO=90°，

即OC⊥CE，

所以CE是⊙O的切線;

（2）如圖6，連接OF，過(guò)點(diǎn)O作OG⊥AE于點(diǎn)G，

因?yàn)椤螧AC=15°，

所以∠BAE=2∠OAC=30°，

因?yàn)镺A=2，

所以O(shè)G=12OA=1，

AG=3，

因?yàn)镺A=OF，

所以AF=2AG=23，

因?yàn)椤螧OC=2∠BAC=30°，

CD⊥AB，

所以CD=12OC=1，OD=3，

所以AE=AD=AO+OD=2+3，

所以EF=AE-AF=2-3，

CE=CD=1，

所以S陰影=S梯形OCEF-S扇形OCF

=（2+2-3）×12-30·π×22360

=2-32-π3.

注 本題主要考查翻折的性質(zhì)、切線的判定與性質(zhì)和垂徑定理以及圖形面積之間的轉(zhuǎn)化，求不規(guī)則圖形的面積一般將其轉(zhuǎn)化為若干個(gè)基本規(guī)則圖形的組合，分析整體與部分的和差關(guān)系.