王倩

【摘 ?要】本文研究“概念圖”在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的運(yùn)用。分析“概念圖”的內(nèi)涵及特點(diǎn);從借助“概念圖”培養(yǎng)學(xué)生的解題習(xí)慣、借助“概念圖”擴(kuò)寬學(xué)生的解題思路、借助“概念圖”逐步感悟數(shù)學(xué)思想三角度出發(fā)進(jìn)行論述，列舉教學(xué)策略。期望本文能夠?yàn)閺V大數(shù)學(xué)教學(xué)工作者帶來(lái)一定的參考作用。

【關(guān)鍵詞】概念圖;初中數(shù)學(xué);解題;教學(xué)

所謂“概念圖”，指的就是一種能夠展示知識(shí)點(diǎn)與知識(shí)點(diǎn)之間結(jié)構(gòu)關(guān)系的圖形，是思維可視化的表征。一幅概念圖通常應(yīng)包含如下三要素：節(jié)點(diǎn)、連接、文字標(biāo)注。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，概念圖既可被教師視作教學(xué)策略來(lái)使用，又可被學(xué)生視作學(xué)習(xí)策略、解題策略來(lái)使用。

數(shù)學(xué)題是學(xué)生學(xué)習(xí)、應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的最為重要的載體，它至少包含如下兩個(gè)最基本的要素：條件（已知條件、前提條件等）、結(jié)論（未知結(jié)論、求解結(jié)論、求證結(jié)論、求作結(jié)論等）。在解題中，題目給出的條件是學(xué)生構(gòu)建解題思維的起點(diǎn)，結(jié)論則是問(wèn)題解決的目標(biāo)，為了達(dá)到這一目標(biāo)，學(xué)生必須調(diào)動(dòng)腦海中學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)技能，突破題目設(shè)置的障礙，這需要學(xué)生正確分析題目給出的已知條件，找到未知條件，使用運(yùn)算、推理等方式，求出題目所求結(jié)論。學(xué)生可使用概念圖輔助這一解題過(guò)程，使其得以高效完成。

一、“概念圖”特點(diǎn)

概念圖（Concept map）的理論基礎(chǔ)是Ausubel的學(xué)習(xí)理論，此種理論認(rèn)為，學(xué)習(xí)者構(gòu)建知識(shí)的過(guò)程，就是借助腦海中的已有概念，對(duì)事物展開(kāi)進(jìn)一步的觀察及認(rèn)識(shí)的過(guò)程。在學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)習(xí)者可通過(guò)構(gòu)建概念網(wǎng)絡(luò)，并不斷向這一網(wǎng)絡(luò)中添加新的內(nèi)容，高效理解、記憶新的知識(shí)體系。概念圖與初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)有著極佳的契合性，它至少具有如下幾方面的特征：

（一）層級(jí)結(jié)構(gòu)特征

所謂層級(jí)結(jié)構(gòu)特征，主要指的是概念圖能夠以分層形式，清晰、明了地展示各知識(shí)點(diǎn)之間的層級(jí)關(guān)系。一般來(lái)講，在整個(gè)概念圖中，含義最為廣泛也最具概括性的概念，位于圖案的上方，更多細(xì)化的概念、概括性不強(qiáng)的概念，依次排列于圖案的下方，學(xué)習(xí)者可較為直觀地理清各概念之間的邏輯關(guān)系。

（二）交叉連接特征

所謂交叉連接特征，主要指的是在概念圖中，各概念之間的聯(lián)系具有一定的交叉性，某些領(lǐng)域知識(shí)是相互連接在一起的。創(chuàng)建新概念圖時(shí)，這種交叉連接也表明了知識(shí)概念之間的跳躍性。

（三）理性與情感交融特征

數(shù)學(xué)解題課堂中，教師會(huì)使用概念圖表達(dá)數(shù)學(xué)概念、題目條件以及相應(yīng)的命題，這具有突出的理性色彩，但概念圖同時(shí)也是對(duì)師生情感狀態(tài)的直觀展示，映射了概念圖創(chuàng)建者、學(xué)習(xí)者的情感品質(zhì)。

二、“概念圖”在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的運(yùn)用

（一）借助“概念圖”，擴(kuò)寬學(xué)生解題思路

初中生的抽象思維發(fā)展得尚不夠健全，在學(xué)習(xí)、生活中，更習(xí)慣以形象思維認(rèn)識(shí)事物、學(xué)習(xí)知識(shí)，很多學(xué)生甚至是在步入初一后，才開(kāi)始慢慢地接觸邏輯推理，此種情況下，借助“概念圖”，幫助其實(shí)現(xiàn)解題思維可視化是很有必要的。在上文所述的“思路探求”環(huán)節(jié)中，針對(duì)同一道題，學(xué)生的腦海中往往會(huì)出現(xiàn)多種不同的解題思路，此時(shí)教師可借助概念圖，輔助學(xué)生進(jìn)行推理。

一般來(lái)講，針對(duì)一道數(shù)學(xué)題，學(xué)生可從三個(gè)角度出發(fā)進(jìn)行推理：首先，由題目給出的已知條件，逐步推理，獲得結(jié)論;其次，由結(jié)論入手，層層向前，追溯至題目所給的條件，之后推出要使得結(jié)論成立，已知或題目中的隱含條件必須成立;最后，由已知與結(jié)論兩條線出發(fā)，同時(shí)進(jìn)行推理，推出中間共同條件成立。

【案例1】圖1所示AB線段中，C為中點(diǎn)，D在線段BC上，AD=6，BD=4，求線段CD的長(zhǎng)度。

如下出示針對(duì)此題的概念圖：

解題中，教師可引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合“三種推理思路”進(jìn)行具體分析。第一種，由已知到未知進(jìn)行推理，也就是所謂的綜合法，可先借助線段AD、DB的長(zhǎng)，求出AB的長(zhǎng)，再結(jié)合中點(diǎn)條件，求出AC的長(zhǎng)，最后借助AD的長(zhǎng)，求出CD的長(zhǎng);第二種，由結(jié)論（問(wèn)題）追溯已知條件，也就是所謂的分析法，結(jié)合題目條件不難看出，欲求CD，需求AD-AC或CB-DB，要求AC與BC，需要求出AB，而AB又等于AD+DB，為已知條件;第三種，由已知條件、結(jié)論同時(shí)出發(fā)進(jìn)行分析，依據(jù)線段AD、DB的長(zhǎng)，可求出AB的長(zhǎng)，結(jié)合中點(diǎn)條件，可求出AC、BC的長(zhǎng)，欲求線段CD的長(zhǎng)，需求AD-AC或BC-DB，而這些條件均已求出，可見(jiàn)三種思路均可順利解答此題。

學(xué)生在解答此題時(shí)，熟悉如何用三種不同的思路，推出題目所求條件后，教師可給予學(xué)生變式題，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生用“概念圖”分析問(wèn)題、解答問(wèn)題的習(xí)慣。

變式1：圖1所示AB線段中，C為中點(diǎn)，D在線段BC上，AD=6，CD=1，求線段BD的長(zhǎng)度。

變式2：圖1所示AB線段中，C為中點(diǎn)，D在線段BC上，BD=4，CD=1，求線段AD的長(zhǎng)度。

在解答變式題的過(guò)程中，學(xué)生會(huì)對(duì)“互逆命題”這一數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生更為深刻的認(rèn)識(shí)，這有助于進(jìn)一步增強(qiáng)學(xué)生的解題能力，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的生成 發(fā)展。

（二）借助“概念圖”，逐步感悟數(shù)學(xué)思想

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》課程總目標(biāo)指出：在義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生會(huì)形成適應(yīng)社會(huì)生活及進(jìn)一步發(fā)展所必須的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)?？梢?jiàn)，數(shù)學(xué)思想教育，是初中數(shù)學(xué)教育的重要組成部分，而解題教學(xué)，無(wú)疑是向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)思想的好時(shí)機(jī)。教師可在解題環(huán)節(jié)中，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用“概念圖”分析問(wèn)題，學(xué)習(xí)、體會(huì)、應(yīng)用數(shù)學(xué)思想，規(guī)范書(shū)寫(xiě)表達(dá)過(guò)程，達(dá)到更高的學(xué)習(xí)境界。

【案例2】點(diǎn)A、B、C、D在數(shù)軸上位置如圖3所示，AB=3，BC=2，CD=4，求：

（1）若點(diǎn)C為原點(diǎn)，求點(diǎn)A表示的數(shù)。

（2）若點(diǎn)A、B、C、D分別表示有理數(shù)a、b、c、d，求 a-c+d-b-a-d=？

（3）如圖3，點(diǎn)P、Q分別從A、D兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P沿著線段AB，以每秒1單位長(zhǎng)度的速度向右移動(dòng)，到達(dá)B點(diǎn)后立刻折返，速度與之前一致;點(diǎn)Q沿線段DC以每秒2單位長(zhǎng)度的速度向左運(yùn)動(dòng)，到達(dá)C點(diǎn)后立刻折返，P、Q中有一點(diǎn)回到出發(fā)點(diǎn)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)。求①停止運(yùn)動(dòng)時(shí)兩點(diǎn)之間距離;②設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（單位：秒），則t為何值時(shí)，PQ=5？

題目中，（3）問(wèn)有著較高的難度，因此本文進(jìn)行重點(diǎn)論述，設(shè)計(jì)如下概念圖，以供參考：

解題思路如下：

①由題目所給條件不難得出點(diǎn)P從出發(fā)到回到點(diǎn)A需要花費(fèi)6秒，點(diǎn)Q從出發(fā)到回到點(diǎn)D需要花費(fèi)4秒，兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q與D重合，點(diǎn)P會(huì)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B左邊一個(gè)單位長(zhǎng)度的位置，如圖5，由BP+CB+CD可得答案為7。

②如圖6，P、Q相向而行，0≤t≤2時(shí)，AP=t，AB=3，BP=3-t;DQ=2t，CD=4，可得CQ=4-2t。因此PQ=BP+BC+CQ=3-t+2+4-2t=9-3t。由PQ=5，可知9-3t=5，可得t=4/3。

點(diǎn)P、Q同向而行時(shí)，有圖7：

由AP=t，AB=3，可得BP=3-t。由CD=4，CD+CQ=2t，可得CQ=2t-4。因此PQ=BP+BC+CQ=3-t+2+2t-4=t+1。

由于PQ=5，因此t+1=5，可解得t=4，不符合題目所給條件，因此可排除。

點(diǎn)P、Q反向而行時(shí)，3

AB+BP=t，AB=3，可得BP=t-3;DC+CQ=2t，DC=4，可得CQ=2t-4。

因此可列式PQ=BP+BC+CQ=t-3+2+2t-4=3t-5。

PQ=5，帶入可解得t=10/3。

綜上，t為4/3或10/3時(shí)，PQ=5。

三、結(jié)束語(yǔ)

結(jié)合如上教學(xué)案例，不難看出，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可借助概念圖，對(duì)各種數(shù)學(xué)概念實(shí)施加工、概括，以形象化的方式反映各知識(shí)點(diǎn)之間的邏輯關(guān)系與組織結(jié)構(gòu)，引導(dǎo)學(xué)生更好地在腦海中構(gòu)建起數(shù)學(xué)知識(shí)體系，對(duì)各類(lèi)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)產(chǎn)生更為深刻的記憶。相較于傳統(tǒng)教學(xué)方式，概念圖教學(xué)方式最大的特點(diǎn)是可應(yīng)用可視化手段，將各種知識(shí)“節(jié)點(diǎn)”聯(lián)系在一起，構(gòu)成脈絡(luò)體系，幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)高效學(xué)習(xí)，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的穩(wěn)步發(fā)展。

實(shí)踐表明，“概念圖”與初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)有著較好的適配性，可被師生視作一種卓有成效的解題策略來(lái)使用。在解題教學(xué)中，教師可利用概念圖，引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展有意義的、創(chuàng)造性的學(xué)習(xí)，利用概念圖實(shí)現(xiàn)靈活解題，以概念“節(jié)點(diǎn)”為載體，構(gòu)建平臺(tái)，切實(shí)提升學(xué)生的解題能力，將學(xué)生的學(xué)與教師的教結(jié)合在一起，整體提升課堂教學(xué)的效率與質(zhì)量，促進(jìn)學(xué)生的進(jìn)一步發(fā)展。

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