王倩
【摘 ?要】本文研究“概念圖”在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的運(yùn)用。分析“概念圖”的內(nèi)涵及特點(diǎn);從借助“概念圖”培養(yǎng)學(xué)生的解題習(xí)慣、借助“概念圖”擴(kuò)寬學(xué)生的解題思路、借助“概念圖”逐步感悟數(shù)學(xué)思想三角度出發(fā)進(jìn)行論述,列舉教學(xué)策略。期望本文能夠?yàn)閺V大數(shù)學(xué)教學(xué)工作者帶來(lái)一定的參考作用。
【關(guān)鍵詞】概念圖;初中數(shù)學(xué);解題;教學(xué)
所謂“概念圖”,指的就是一種能夠展示知識(shí)點(diǎn)與知識(shí)點(diǎn)之間結(jié)構(gòu)關(guān)系的圖形,是思維可視化的表征。一幅概念圖通常應(yīng)包含如下三要素:節(jié)點(diǎn)、連接、文字標(biāo)注。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中,概念圖既可被教師視作教學(xué)策略來(lái)使用,又可被學(xué)生視作學(xué)習(xí)策略、解題策略來(lái)使用。
數(shù)學(xué)題是學(xué)生學(xué)習(xí)、應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的最為重要的載體,它至少包含如下兩個(gè)最基本的要素:條件(已知條件、前提條件等)、結(jié)論(未知結(jié)論、求解結(jié)論、求證結(jié)論、求作結(jié)論等)。在解題中,題目給出的條件是學(xué)生構(gòu)建解題思維的起點(diǎn),結(jié)論則是問(wèn)題解決的目標(biāo),為了達(dá)到這一目標(biāo),學(xué)生必須調(diào)動(dòng)腦海中學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)技能,突破題目設(shè)置的障礙,這需要學(xué)生正確分析題目給出的已知條件,找到未知條件,使用運(yùn)算、推理等方式,求出題目所求結(jié)論。學(xué)生可使用概念圖輔助這一解題過(guò)程,使其得以高效完成。
一、“概念圖”特點(diǎn)
概念圖(Concept map)的理論基礎(chǔ)是Ausubel的學(xué)習(xí)理論,此種理論認(rèn)為,學(xué)習(xí)者構(gòu)建知識(shí)的過(guò)程,就是借助腦海中的已有概念,對(duì)事物展開(kāi)進(jìn)一步的觀察及認(rèn)識(shí)的過(guò)程。在學(xué)習(xí)過(guò)程中,學(xué)習(xí)者可通過(guò)構(gòu)建概念網(wǎng)絡(luò),并不斷向這一網(wǎng)絡(luò)中添加新的內(nèi)容,高效理解、記憶新的知識(shí)體系。概念圖與初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)有著極佳的契合性,它至少具有如下幾方面的特征:
(一)層級(jí)結(jié)構(gòu)特征
所謂層級(jí)結(jié)構(gòu)特征,主要指的是概念圖能夠以分層形式,清晰、明了地展示各知識(shí)點(diǎn)之間的層級(jí)關(guān)系。一般來(lái)講,在整個(gè)概念圖中,含義最為廣泛也最具概括性的概念,位于圖案的上方,更多細(xì)化的概念、概括性不強(qiáng)的概念,依次排列于圖案的下方,學(xué)習(xí)者可較為直觀地理清各概念之間的邏輯關(guān)系。
(二)交叉連接特征
所謂交叉連接特征,主要指的是在概念圖中,各概念之間的聯(lián)系具有一定的交叉性,某些領(lǐng)域知識(shí)是相互連接在一起的。創(chuàng)建新概念圖時(shí),這種交叉連接也表明了知識(shí)概念之間的跳躍性。
(三)理性與情感交融特征
數(shù)學(xué)解題課堂中,教師會(huì)使用概念圖表達(dá)數(shù)學(xué)概念、題目條件以及相應(yīng)的命題,這具有突出的理性色彩,但概念圖同時(shí)也是對(duì)師生情感狀態(tài)的直觀展示,映射了概念圖創(chuàng)建者、學(xué)習(xí)者的情感品質(zhì)。
二、“概念圖”在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的運(yùn)用
(一)借助“概念圖”,擴(kuò)寬學(xué)生解題思路
初中生的抽象思維發(fā)展得尚不夠健全,在學(xué)習(xí)、生活中,更習(xí)慣以形象思維認(rèn)識(shí)事物、學(xué)習(xí)知識(shí),很多學(xué)生甚至是在步入初一后,才開(kāi)始慢慢地接觸邏輯推理,此種情況下,借助“概念圖”,幫助其實(shí)現(xiàn)解題思維可視化是很有必要的。在上文所述的“思路探求”環(huán)節(jié)中,針對(duì)同一道題,學(xué)生的腦海中往往會(huì)出現(xiàn)多種不同的解題思路,此時(shí)教師可借助概念圖,輔助學(xué)生進(jìn)行推理。
一般來(lái)講,針對(duì)一道數(shù)學(xué)題,學(xué)生可從三個(gè)角度出發(fā)進(jìn)行推理:首先,由題目給出的已知條件,逐步推理,獲得結(jié)論;其次,由結(jié)論入手,層層向前,追溯至題目所給的條件,之后推出要使得結(jié)論成立,已知或題目中的隱含條件必須成立;最后,由已知與結(jié)論兩條線出發(fā),同時(shí)進(jìn)行推理,推出中間共同條件成立。
【案例1】圖1所示AB線段中,C為中點(diǎn),D在線段BC上,AD=6,BD=4,求線段CD的長(zhǎng)度。
如下出示針對(duì)此題的概念圖:
解題中,教師可引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合“三種推理思路”進(jìn)行具體分析。第一種,由已知到未知進(jìn)行推理,也就是所謂的綜合法,可先借助線段AD、DB的長(zhǎng),求出AB的長(zhǎng),再結(jié)合中點(diǎn)條件,求出AC的長(zhǎng),最后借助AD的長(zhǎng),求出CD的長(zhǎng);第二種,由結(jié)論(問(wèn)題)追溯已知條件,也就是所謂的分析法,結(jié)合題目條件不難看出,欲求CD,需求AD-AC或CB-DB,要求AC與BC,需要求出AB,而AB又等于AD+DB,為已知條件;第三種,由已知條件、結(jié)論同時(shí)出發(fā)進(jìn)行分析,依據(jù)線段AD、DB的長(zhǎng),可求出AB的長(zhǎng),結(jié)合中點(diǎn)條件,可求出AC、BC的長(zhǎng),欲求線段CD的長(zhǎng),需求AD-AC或BC-DB,而這些條件均已求出,可見(jiàn)三種思路均可順利解答此題。
學(xué)生在解答此題時(shí),熟悉如何用三種不同的思路,推出題目所求條件后,教師可給予學(xué)生變式題,進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生用“概念圖”分析問(wèn)題、解答問(wèn)題的習(xí)慣。
變式1:圖1所示AB線段中,C為中點(diǎn),D在線段BC上,AD=6,CD=1,求線段BD的長(zhǎng)度。
變式2:圖1所示AB線段中,C為中點(diǎn),D在線段BC上,BD=4,CD=1,求線段AD的長(zhǎng)度。
在解答變式題的過(guò)程中,學(xué)生會(huì)對(duì)“互逆命題”這一數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生更為深刻的認(rèn)識(shí),這有助于進(jìn)一步增強(qiáng)學(xué)生的解題能力,促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的生成 發(fā)展。
(二)借助“概念圖”,逐步感悟數(shù)學(xué)思想
《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》課程總目標(biāo)指出:在義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,學(xué)生會(huì)形成適應(yīng)社會(huì)生活及進(jìn)一步發(fā)展所必須的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)??梢?jiàn),數(shù)學(xué)思想教育,是初中數(shù)學(xué)教育的重要組成部分,而解題教學(xué),無(wú)疑是向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)思想的好時(shí)機(jī)。教師可在解題環(huán)節(jié)中,引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用“概念圖”分析問(wèn)題,學(xué)習(xí)、體會(huì)、應(yīng)用數(shù)學(xué)思想,規(guī)范書(shū)寫(xiě)表達(dá)過(guò)程,達(dá)到更高的學(xué)習(xí)境界。
【案例2】點(diǎn)A、B、C、D在數(shù)軸上位置如圖3所示,AB=3,BC=2,CD=4,求:
(1)若點(diǎn)C為原點(diǎn),求點(diǎn)A表示的數(shù)。
(2)若點(diǎn)A、B、C、D分別表示有理數(shù)a、b、c、d,求 a-c+d-b-a-d=?
(3)如圖3,點(diǎn)P、Q分別從A、D兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),點(diǎn)P沿著線段AB,以每秒1單位長(zhǎng)度的速度向右移動(dòng),到達(dá)B點(diǎn)后立刻折返,速度與之前一致;點(diǎn)Q沿線段DC以每秒2單位長(zhǎng)度的速度向左運(yùn)動(dòng),到達(dá)C點(diǎn)后立刻折返,P、Q中有一點(diǎn)回到出發(fā)點(diǎn),兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)。求①停止運(yùn)動(dòng)時(shí)兩點(diǎn)之間距離;②設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(單位:秒),則t為何值時(shí),PQ=5?
題目中,(3)問(wèn)有著較高的難度,因此本文進(jìn)行重點(diǎn)論述,設(shè)計(jì)如下概念圖,以供參考:
解題思路如下:
①由題目所給條件不難得出點(diǎn)P從出發(fā)到回到點(diǎn)A需要花費(fèi)6秒,點(diǎn)Q從出發(fā)到回到點(diǎn)D需要花費(fèi)4秒,兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí),Q與D重合,點(diǎn)P會(huì)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B左邊一個(gè)單位長(zhǎng)度的位置,如圖5,由BP+CB+CD可得答案為7。
②如圖6,P、Q相向而行,0≤t≤2時(shí),AP=t,AB=3,BP=3-t;DQ=2t,CD=4,可得CQ=4-2t。因此PQ=BP+BC+CQ=3-t+2+4-2t=9-3t。由PQ=5,可知9-3t=5,可得t=4/3。
點(diǎn)P、Q同向而行時(shí),有圖7:
由AP=t,AB=3,可得BP=3-t。由CD=4,CD+CQ=2t,可得CQ=2t-4。因此PQ=BP+BC+CQ=3-t+2+2t-4=t+1。
由于PQ=5,因此t+1=5,可解得t=4,不符合題目所給條件,因此可排除。
點(diǎn)P、Q反向而行時(shí),3 AB+BP=t,AB=3,可得BP=t-3;DC+CQ=2t,DC=4,可得CQ=2t-4。 因此可列式PQ=BP+BC+CQ=t-3+2+2t-4=3t-5。 PQ=5,帶入可解得t=10/3。 綜上,t為4/3或10/3時(shí),PQ=5。 三、結(jié)束語(yǔ) 結(jié)合如上教學(xué)案例,不難看出,在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師可借助概念圖,對(duì)各種數(shù)學(xué)概念實(shí)施加工、概括,以形象化的方式反映各知識(shí)點(diǎn)之間的邏輯關(guān)系與組織結(jié)構(gòu),引導(dǎo)學(xué)生更好地在腦海中構(gòu)建起數(shù)學(xué)知識(shí)體系,對(duì)各類(lèi)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)產(chǎn)生更為深刻的記憶。相較于傳統(tǒng)教學(xué)方式,概念圖教學(xué)方式最大的特點(diǎn)是可應(yīng)用可視化手段,將各種知識(shí)“節(jié)點(diǎn)”聯(lián)系在一起,構(gòu)成脈絡(luò)體系,幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)高效學(xué)習(xí),促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的穩(wěn)步發(fā)展。 實(shí)踐表明,“概念圖”與初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)有著較好的適配性,可被師生視作一種卓有成效的解題策略來(lái)使用。在解題教學(xué)中,教師可利用概念圖,引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展有意義的、創(chuàng)造性的學(xué)習(xí),利用概念圖實(shí)現(xiàn)靈活解題,以概念“節(jié)點(diǎn)”為載體,構(gòu)建平臺(tái),切實(shí)提升學(xué)生的解題能力,將學(xué)生的學(xué)與教師的教結(jié)合在一起,整體提升課堂教學(xué)的效率與質(zhì)量,促進(jìn)學(xué)生的進(jìn)一步發(fā)展。 【參考文獻(xiàn)】 [1]陳莉.關(guān)于“概念圖”在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的運(yùn)用分析[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究,2021(23):22-23. [2]施永遠(yuǎn).“概念圖”在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的應(yīng)用[J].當(dāng)代家庭教育,2020(28):14-15. [3]徐淼.概念圖在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的應(yīng)用[J].理科愛(ài)好者(教育教學(xué)),2020(3):102-103.