劉天程 程守山

【摘 要】 隨著新高考改革的不斷推進，尤其是八省聯(lián)考以及新高考中的數(shù)學(xué)試題對學(xué)生能力的要求更為突出，對學(xué)生學(xué)習(xí)方式，教師的教學(xué)教法提出了新的考驗.本文以圓錐曲線中常見的定點定值問題為課例，基于深度學(xué)習(xí)探索 “問思型”復(fù)習(xí)課模式.

【關(guān)鍵詞】 新高考;高三數(shù)學(xué);深度學(xué)習(xí);問思型;解析幾何;定點定值

所謂深度學(xué)習(xí)是指教師借助一定的活動情景帶領(lǐng)學(xué)生超越表層的知識符號學(xué)習(xí)，進入知識內(nèi)在的邏輯形式和意義領(lǐng)域，挖掘知識內(nèi)涵的豐富價值，完整地實現(xiàn)知識教學(xué)對學(xué)生的發(fā)展價值. 實現(xiàn)這些目標需要展開確實有效的學(xué)生活動.而“問思”型教學(xué)是深度學(xué)習(xí)的有效方式，教師通過問題，提問、追問達到學(xué)生產(chǎn)生疑問，思考、思索、深思進入深度學(xué)習(xí)，提高思維能力.2020年作為新高考改革的第一年，備受全國師生關(guān)注，其中全國Ⅰ卷和山東卷（新高考試行?。┲械慕馕鰩缀未箢}對爭取雙一流學(xué)校的學(xué)生來說起到至關(guān)重要的作用.而這兩題都是涉及解析幾何中定點定值問題，屬于高頻題.本文以此問題展開，引導(dǎo)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，探索“問思”型深度學(xué)習(xí)復(fù)習(xí)課模式.

1 課例分析1.1 確定復(fù)習(xí)課題（微專題）1.1.1 數(shù)據(jù)支持，統(tǒng)計錯誤率筆者通過比較2020年山東省高考數(shù)學(xué)最后一題均分1.02分以及常州市2021年期初最后一題解析幾何均分1.3分，發(fā)現(xiàn)這類定點定值問題得分率低.根據(jù)多年高三一線教學(xué)的經(jīng)驗，得出這類問題解題方法基本固定，但錯誤率高.

1.1.2 分析原因，明確重難點

分析學(xué)生錯誤原因主要有三類：第一類考試時間不夠;第二類有時間但對題目的認知不夠，不敢下手;第三類有時間但沒算出來.基于以上問題我們集中分析第二三類學(xué)生，對于圓錐曲線的認識不夠，對圓錐曲線的性質(zhì)不能推廣，僅局限于就題解題層次，沒有深度學(xué)習(xí)，只停留在表層學(xué)習(xí).需要教師課堂引導(dǎo)這類學(xué)生敢于發(fā)現(xiàn)，敢于猜想，敢于挑戰(zhàn)，這也是我們課堂轉(zhuǎn)型的重點.而沒有計算出結(jié)果的學(xué)生又分為三類：第一類，計算錯誤;第二類，方法失當(dāng)計算復(fù)雜，無法計算到最后;第三類，方法得當(dāng)?shù)\算技巧沒掌握，導(dǎo)致離最后結(jié)果只一步之差. 由此得出教學(xué)重點是引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)問題，總結(jié)題型，歸納方法.難點是掌握運算技巧.1.1.3 確立課題，尋找微切口

這類中檔題既然是高考高頻題，方法固定而且計算量大，技巧性強，錯誤率較高，這便是高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)的微專題切入口.再聯(lián)系單元復(fù)習(xí)課策略了解這塊內(nèi)容在解析幾何中的重要性，確定以此類定點定值問題展開微專題復(fù)習(xí).

1.2 問題導(dǎo)向1.2.1 數(shù)據(jù)統(tǒng)計，呈現(xiàn)問題

筆者通過呈現(xiàn)統(tǒng)計的錯誤率，給學(xué)生布置一個任務(wù)，尋找解析幾何中定點定值問題，如下：

1.（2020年山東卷22題）題目略.證明：存在定點Q，使得|DQ|為定值.

2.（2020年全國Ⅰ卷20題）題目略.證明：直線CD過定點.

3.（2021年常州高三期初）題目簡述：點A是C上一定點，過點B的動直線與雙曲線C交于P，Q兩點，kAP+kAQ為定值λ，求點A的坐標及實數(shù)λ的值.

4.（2019年南通期末）已知橢圓方程x24+y2=1的左頂點為A，過點A作不同的直線AM，AN分別交橢圓于M，N兩點，其中kAM·kAN=-1，試求出直線MN恒過的定點.

設(shè)計意圖 以上四題首先具備本次課的兩種研究類型，其次都是高考或?？碱}具有一定的影響力，學(xué)生直接做題比較困難，用于總結(jié)歸納題型非常恰當(dāng)，通過本次課學(xué)習(xí)后可以嘗試使用相關(guān)方法技巧去解決問題，起到承上啟下的作用.1.2.2 問題情境，提出設(shè)想問題1 這4道題的的條件和所求結(jié)論有何異同？問題2 只要是圓錐曲線上任一點作斜率之和或乘積為定值的兩條直線與圓錐曲線的交點所在直線都恒過定點嗎？問題3 除了和與乘積為定值得到定點，還有其它運算的可能嗎？

設(shè)計意圖 通過提問引導(dǎo)學(xué)生產(chǎn)生疑問，質(zhì)疑，進而思考，思索，為后面的深思做好前期引導(dǎo)，同時也開發(fā)了學(xué)生敢猜敢想的思維.1.2.3 學(xué)生活動，技術(shù)驗證

學(xué)生活動：借助信息技術(shù)驗證上述猜想.

設(shè)計意圖 技術(shù)驗證這一學(xué)生活動既實現(xiàn)了學(xué)生對猜想的驗證，又滿足了其好奇心，以及對猜想結(jié)果證明的期待.同時發(fā)現(xiàn)的恒過A點本身為后續(xù)技巧的應(yīng)用做好鋪墊.培養(yǎng)學(xué)生直觀想象能力和情感態(tài)度價值觀，提高學(xué)習(xí)研究數(shù)學(xué)的興趣.1.3 題型歸類

根據(jù)上面題型歸類可以總結(jié)：過圓錐曲線上一點A，作兩條斜率之積（和）為定值的直線AM，AN，與圓錐曲線的兩交點所在的直線恒過定點，反之亦然.1.4 方法歸納1.4.1 模擬運算

例1 已知橢圓方程x24+y2=1左頂點為A，過點A作不同的直線AM，AN分別交橢圓于M，N兩點，（1）已知kAM·kAN=-1，試求出直線MN恒過的定點.

（2）已知kAM+kAN=1，試求出直線MN恒過的定點.

方案1 可以設(shè)直線AM的斜率為k與橢圓聯(lián)立解出點M坐標，再設(shè)直線AN，求出N點坐標，求出MN的斜率，寫出MN的直線方程.第二問同理.

方案1改進：利用技巧將M坐標中k換成-1k便得到N點坐標，不需要解N點.第二問將M坐標中k換成1-k便得到N點坐標

方案2 設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），條件中kAM·kAN=-1代入就會出現(xiàn)kAM·kAN=y1x1+2·y2x2+2=-1對稱式，必出現(xiàn)韋達定理，設(shè)出直線MN：y=kx+m與橢圓聯(lián)立，得到韋達定理找到k與m的關(guān)系，就可以得到恒過的定點.第二問代入也會出現(xiàn)韋達定理，方法雷同.

設(shè)計意圖 設(shè)計例1一題兩問既對以上恒過定點題型的歸納又避免學(xué)生浪費再聯(lián)立方程的時間，在兩問過程中讓學(xué)生嘗試兩種方法：解點法和韋達定理設(shè)而不求法，但遇到了各自的難點，不是在“紙上談兵”時那么輕松.揭示發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，分析問題，解決問題的過程，為發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)提供平臺.

1.4.2 實踐檢驗

解法積戰(zhàn)隊和戰(zhàn)隊點評

解點積戰(zhàn)隊學(xué)生1：直線復(fù)雜難算結(jié)果.

設(shè)AM：y=k（x+2），M（x1，y1），N（x2，y2），聯(lián)立

y=k（x+2），x24+y2=1，得（1+4k2）x2+16k2x+16k2-4=0，此方程的一根為-2，所以x1=2-8k21+4k2，y1=k（x1+2）=4k1+4k2，所以M2-8k21+4k2，4k1+4k2.用-1k替換上式的k，得

N2k2-8k2+4，-4kk2+4.

當(dāng)k≠±1時，kMN=y1-y2x1-x2=

4k1+4k2--4kk2+4

2-8k21+4k2-2k2-8k2+4

=5k4（1-k2）.

直線MN：y=5k4（1-k2）x-2-8k21+4k2+

4k1+4k2=

5k4（1-k2）x-5k（2-8k2）4（1-k2）（1+4k2）+4k1+4k2.

和戰(zhàn)隊學(xué)生1：直線復(fù)雜算不出結(jié)果.

同理：M2-8k24k2+1，4k4k2+1，

N-8k2+16k-64k2-8k+5，4-4k4k2-8k+5

kMN=…復(fù)雜…=-（2k-1）24，

MN直線太過復(fù)雜難以寫出.

MN：y-4k4k2+1=-（2k-1）24x+8k2-24k2+1.

解點方法優(yōu)點是容易拿到過程分，按步得分.缺點是不容易算出結(jié)果

點評積戰(zhàn)隊學(xué)生2：別忘記斜率不存在時的討論，MN關(guān)于x軸對稱，令y=0，解出x就可以了.

當(dāng)x1≠x2時，MN：y=y1-y2x1-x2（x-x1）+y1，

令y=0，得x=x2y1-x1y2y1-y2=

2k2-8k2+4·4k1+4k2-2-8k21+4k2·

-4kk2+44k1+4k2--4kk2+4=

-24k3-24k20k3+20k=-65.

和戰(zhàn)隊學(xué)生3：這題不關(guān)于x軸對稱，容易認為是對稱.和值無法互換不具有對稱性

韋達定理

因為kAM·kAN=-1，所以kAM·kAN=y1x1+2·y2x2+2=-1，y1y2+（x1+2）（x2+2）=0，化簡得（1+k2）x1x2+（km+2）（x1+x2）+m2+4=0，（1+k2）·4m2-41+4k2+（km+2）·-8km1+4k2+m2+4=0，5m2-16km+12k2=0，（5m-6k）（m-2k）=0，得m=65k或m=2k.

當(dāng)m=65k時，y=kx+65k=kx+65，恒過定點-65，0.當(dāng)m=2k時，y=kx+2k=k（x+2），恒過定點（-2，0）舍去.綜上，直線MN恒過定點-65，0.積戰(zhàn)隊學(xué)生3：疑惑為何求出有一解是A點？

kAM+kAN=y1x1+2+y2x2+2=1，

韋達定理帶入：m2-（4k+1）m+4k2+2k=0，

難以因式分解，借助恒過點（-2，0），m=2k可得另一解

m=2k+1，y=kx+2k+1恒過定點（-2，1）.

注意恒過已知點的性質(zhì)的運用

點評師：從形上剛剛幾何畫板看到確實有兩個定點，其中一點便是A點，從代數(shù)角度看kAM·kAN=y1x1+2·y2x2+2=-1，分母乘到右邊后與原來式子不等價，會增加分母為零的根.如果最后因式分解難分解，這個現(xiàn)象給我們什么啟示？

學(xué)生4：此題最后是關(guān)于m的一元二次方程，知道恒過一點A（-2，0）知m=2k可以得到另外一解.

探索隊學(xué)生1總結(jié)：解點法，容易得過程分，但直線復(fù)雜需要利用對稱性，和為定值無法確定對稱性，整體不如韋達定理設(shè)而不求的方法;韋達定理設(shè)而不求法要注意恒過已知點A的應(yīng)用，減輕因式分解的負擔(dān).總體方面設(shè)直線韋達定理方法比較適合求解恒過定點問題.

設(shè)計意圖 本次學(xué)生活動是本節(jié)課解決問題的最重要過程，是學(xué)生遇到問題、分析問題的邏輯過程，是深度學(xué)習(xí)過程.通過兩個方法不同題型的比較，老方法有時不能用，計算過程復(fù)雜程度的比較讓學(xué)生自然而然地感知方法的優(yōu)劣.1.4.3 總結(jié)歸納

學(xué)生總結(jié)如圖（1）思維過程：

設(shè)計意圖 教會學(xué)生如何學(xué)會學(xué)習(xí)，通過模擬預(yù)算，親身經(jīng)歷總結(jié)出解題思維導(dǎo)圖，盡管不盡完美，但這樣的嘗試過程讓學(xué)生腦容量進一步擴容，解題思維能力進一步提高.

1.5 方法應(yīng)用

例2 （2020年全國Ⅰ卷20題改編）如圖2，已知橢圓方程x24+y2=1左頂點為A，右頂點為B，過（1，0）的直線MN交橢圓于M，N兩點，AM，BN交于點T.求證：T點在一條定直線上.

方案1 設(shè)M，N點坐標分別列出AM，BN的方程，根據(jù)對稱性猜測T點在垂直于x軸的定直線上，解出x為定值.方案2 解交點很復(fù)雜，可以兩式相除，證明x-2x+2=（x1-2）y2（x2+2）y1為定值就可以.巧設(shè)MN：x=ty+1與橢圓聯(lián)立得（t2+4）y2+2ty-3=0，化簡x-2x+2=ty1y2-y2ty1y2+3y1，但無法用韋達定理.

追問：沒出現(xiàn)韋達定理，能構(gòu)造嗎？還是前面總結(jié)得方法不好，需要創(chuàng)新，還是要重新歸納題型？

追問：試試這個x-2x+2=ty1y2-（y1+y2）+y1ty1y2+3y1.韋達定理帶入，x=4.

追問：我們再觀察一下，在帶入韋達定理前系數(shù)與最后結(jié)果有何關(guān)系？

學(xué)生：y1前面系數(shù)之比與結(jié)果一樣，可以提前知道答案.

追問：除了保留y1的構(gòu)造還能怎樣構(gòu)造？試試其他.

學(xué)生：x-2x+2=ty1y2-y2ty1y2+3（y1+y2）-3y2系數(shù)一樣比值為13.

追問：連結(jié)AN能發(fā)現(xiàn)和前面的題目有什么關(guān)系？MN恒過（1，0）說明AM，AN斜率之積是定值.根據(jù)橢圓的第三定義kAM·kBN=-b2a2，找到AM和BN的斜率關(guān)系，可以求出T點橫坐標.設(shè)計意圖 此改編題是對以上問題的發(fā)展，沒有出現(xiàn)韋達定理的定點定值問題是如何應(yīng)對，是化簡化歸到原來思路呢，還是思考需要新的方法？還是對題型要重新歸納？是本次課深度學(xué)習(xí)模式構(gòu)建的思維過程， 當(dāng)新題型用老套路時遇到了新問題需要考慮化歸還是創(chuàng)新，進一步發(fā)展學(xué)生“四能”，是本次深度學(xué)習(xí)的高潮部分.

1.6 總結(jié)提煉

本次課歸納了解析幾何中一類定點定值問題，并嘗試如圖3思維過程，比較了兩種解決這類問題的方法，韋達定理設(shè)而不求更適合，但在過程中遇到新問題需要轉(zhuǎn)化，善于發(fā)現(xiàn)利用解題技巧可以輕松解題，利用圖3解題思維導(dǎo)圖去嘗試文首的四道真題，使本課有始有終.

2 “問思”型復(fù)習(xí)課策略

2.1 “問思”型教學(xué)的理解

問，對教師來講是教學(xué)內(nèi)容，是學(xué)問，對學(xué)生來講是疑問，以學(xué)生為主體是問道，以教師為主導(dǎo)是提問，甚至追問;思，是問的表征，對學(xué)生來講遇到疑問便會思考，思考后索取解決問題的辦法是思索，再通過追問引導(dǎo)學(xué)生深思進入深度學(xué)習(xí)，進而產(chǎn)生了學(xué)問達到了教學(xué)目標，最終提高學(xué)生思維能力，如圖4.所以“問思”型教學(xué)是重要的學(xué)生活動，是提高學(xué)生四能的有效學(xué)習(xí)過程.2.2 “問思”型復(fù)習(xí)課教學(xué)模式的構(gòu)建

通過以上課例的呈現(xiàn)，總結(jié)深度學(xué)習(xí)過程經(jīng)歷了如圖5的探索過程，首先利用數(shù)據(jù)分析，大數(shù)據(jù)統(tǒng)計對一類題型的總結(jié)歸納，根據(jù)新課程標準以及維果斯基的“最近發(fā)展區(qū)理論”確定課題和教學(xué)目標，創(chuàng)設(shè)問題情境或者以問題為導(dǎo)向突顯研究問題的必要性，通過問題導(dǎo)向進行歸納總結(jié)題型，通過探索嘗試歸納方法技巧， 提問、追問等學(xué)生活動引導(dǎo)學(xué)生思考、思索，深思進入深度學(xué)習(xí)，再經(jīng)過方法應(yīng)用發(fā)展問題，或者創(chuàng)新方法或者重新歸納，感知深度學(xué)習(xí)過程，最后進行總結(jié)提煉.圖5

2.3 “問思”型復(fù)習(xí)課的實施建議2.3.1 活動真實，注重追問

問題情境，問題引導(dǎo)，學(xué)生活動要體現(xiàn)真實性. 這既是教育學(xué)基本原則的體現(xiàn)，又是為學(xué)生進入深度學(xué)習(xí)前做準備，讓學(xué)生感受真實情景，提出實際問題是展開學(xué)生活動的關(guān)鍵.其中學(xué)生活動中，小組活動、分組要考慮合理性、時效性.教學(xué)活動中更應(yīng)關(guān)注教學(xué)追問，考慮追問的時機，追問的度.有效的追問能夠帶領(lǐng)學(xué)生進入沉思，有利于學(xué)生深度學(xué)習(xí).

2.3.2 發(fā)展思維，注重過程

學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展是新課標對數(shù)學(xué)教學(xué)目標的要求，它最突出的表現(xiàn)就是發(fā)展學(xué)生的思維能力，而新課標中的四基：基本知識、基本技能、基本思想和基本活動，前三者是教學(xué)內(nèi)容，而基本活動則是借助“問思”型教學(xué)方式或途徑，經(jīng)過多次“問思”活動進行深度分析，深度加工傳遞其知識、方法與思想，通過傳授知識與“問思”過程發(fā)展學(xué)生能力，提高其思維能力，切忌不能為了完成教學(xué)任務(wù)或者教學(xué)內(nèi)容而忽略學(xué)生學(xué)習(xí)過程中遇到的共性問題，深刻明白教學(xué)的目的是為了發(fā)現(xiàn)問題而不是為了任務(wù)去回避問題，注重過程性學(xué)習(xí)、過程性評價是有效“問思”型教學(xué)的關(guān)鍵.

2.3.3 以人為本，注重能力

以學(xué)生為主體，關(guān)注知識的同時更應(yīng)關(guān)注人， 是現(xiàn)代教育學(xué)理念.在“問思”型深度教學(xué)中更應(yīng)關(guān)注人，面向全體，關(guān)注每一個人的發(fā)展.通過數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)培養(yǎng)學(xué)生“四能”（發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，分析問題，解決問題）是數(shù)學(xué)教學(xué)的根本目標.注重學(xué)生能力的培養(yǎng)，實現(xiàn)讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，數(shù)學(xué)的思維思考世界，數(shù)學(xué)的語言表達世界是學(xué)生能力發(fā)展的最終目標.

參考文獻

[1] 邵利榮.基于深度學(xué)習(xí)的解析幾何中的范圍、最值問題微設(shè)計[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2021（04）：60-62.

[2] 劉天程.解密數(shù)學(xué)課堂追問，提升思維能力[J].中學(xué)教研（數(shù)學(xué)），2021（02）：24-27.

作者簡介 劉天程（1985—），男，江蘇淮安人，中學(xué)一級教師，常州市學(xué)科中心組核心成員;主持過2項省市級課題，參與多個省市級課題研究，發(fā)表近20篇論文.