夏廈　楊亢爾

【摘要】直觀想象在數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)體系中具有重要地位，本文以“將軍飲馬”為例，利用大觀念引導(dǎo)教學(xué)，讓學(xué)生所學(xué)知識形成觀念性系統(tǒng)化的理解，實現(xiàn)知識的正遷移.通過探討代數(shù)與幾何、直觀與抽象、感性與理性、傳統(tǒng)與現(xiàn)代、一般與特殊的多角度融合，以期豐富直觀想象體驗，提升直觀想象素養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】大觀念下;知識融合;直觀想象;素養(yǎng)培養(yǎng)

用數(shù)學(xué)知識內(nèi)在力量進行教學(xué)已成為當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)研究的熱點問題和改進教學(xué)的一個方向.隨著課程改革的不斷深入，超越具體的知識技能深入到思維層面的一般性思維，整體把握數(shù)學(xué)內(nèi)容，實現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)連續(xù)性和階段性提升，幫助學(xué)生獲得“四基”，發(fā)展“四能”，這些都直指“怎樣培養(yǎng)人”的“大觀念”教學(xué)的核心地帶.

1數(shù)學(xué)大觀念的內(nèi)涵與作用

大觀念也稱為大概念、核心觀念等.學(xué)科大觀念并非指學(xué)科中某一具體的概念、定理或法則，而是指向具體知識背后更為本質(zhì)、更為核心的方法、思想和素養(yǎng)等[1].數(shù)學(xué)大觀念指向數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)和教學(xué)核心主題任務(wù)，是奧蘇伯爾所說的知識遷移所需要的“知識結(jié)構(gòu)”，或者布魯納提出的“發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)”，是從“知其然”到“知其所以然”再到“何由以知其所以然”的過程.筆者參考國內(nèi)外有關(guān)文獻，結(jié)合多年教學(xué)經(jīng)驗思考提煉后認為：數(shù)學(xué)大觀念是對內(nèi)容及其反映的數(shù)學(xué)思想和方法的進一步提煉和概括，是對數(shù)學(xué)對象的一般性回答，具有知識的整體性、邏輯的連貫性、思想的一致性、思維的系統(tǒng)性和方法的普適性等表征，是研究數(shù)學(xué)對象的方法論，對于學(xué)生學(xué)習(xí)具有指路明燈的作用，對教師教學(xué)是研究問題路徑和方法的向?qū)?從數(shù)學(xué)學(xué)科知識整體構(gòu)架（如圖1）來看，學(xué)科大觀念在數(shù)學(xué)知識構(gòu)架五個層次中起到了承上啟下的作用，所處的地位在達成課程教學(xué)目標(biāo)方面來講是不可或缺的，但在現(xiàn)實教學(xué)中往往被忽視.

2直觀需要插上想象的翅膀

直觀想象是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論和解決數(shù)學(xué)問題的重要素養(yǎng).直觀就是未經(jīng)充分邏輯推理而對事物本質(zhì)的一種直接洞察，直接把握對象的全貌和對本質(zhì)的認識.正如數(shù)學(xué)家克萊因所說：“數(shù)學(xué)的直觀就是對概念、證明的直接把握.”[2]史寧中教授指出，數(shù)學(xué)的結(jié)論常常是“看”出來的，不是“證”出來的，這種“看”依賴的就是數(shù)學(xué)直觀.章建躍則強調(diào)加強獲得數(shù)學(xué)研究對象的過程發(fā)展直觀想象素養(yǎng).在數(shù)學(xué)研究的探索中，通過直觀手段的運用以及借助直觀展開想象，從而發(fā)現(xiàn)結(jié)論、做出猜想的例子比比皆是.數(shù)學(xué)思維不是僅僅只存在于抽象層面，而是在很多場合中借助直觀手段展開的.所以，直觀想象在數(shù)學(xué)活動中“是探索和形成論證思路、進行數(shù)學(xué)推理、構(gòu)建抽象結(jié)構(gòu)的思維基礎(chǔ)”，這也使直觀想象素養(yǎng)超越了幾何直觀和空間想象的限制，成為更具普遍意義的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).為讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識的直觀含義和直觀思路，筆者以“將軍飲馬”問題為例，從代數(shù)與幾何、直觀與抽象、感性與理性、傳統(tǒng)與現(xiàn)代、一般與特殊等多角度融合，以期豐富學(xué)生直觀想象的基本活動經(jīng)驗，愿與各位分享，歡迎批評指正.

3大觀念下多角度融合的嘗試

傳說亞歷山大城有一位精通數(shù)學(xué)和物理的學(xué)者，名叫海倫.一天，一位羅馬將軍專程去拜訪他，向他請教一個百思不得其解的問題：將軍每天從軍營A出發(fā)，先到河邊飲馬，然后再去河岸同側(cè)的B營地，應(yīng)該怎樣走才能使路程最短？ 從此，這個被稱為“將軍飲馬”的問題廣泛流傳.

3.1代數(shù)與幾何的融合

3.2直觀與抽象的融合

3.3感性與理性的融合

3.4傳統(tǒng)與現(xiàn)代的融合

3.5一般與特殊的融合

4結(jié)束語

大觀念是反映數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)的核心知識、思想價值、思維方式和關(guān)鍵觀點.對于教師，它是提高教學(xué)站位，融合教學(xué)主題，策劃教學(xué)和評價活動;對于學(xué)生，它是從學(xué)會到會學(xué)、探索知識本源、聯(lián)結(jié)碎片化知識點、實現(xiàn)知識融合的學(xué)習(xí)模式.本文體現(xiàn)了大觀念下的融合為從零散知識中統(tǒng)整或提煉出來的上位觀念，將分散的、深層次的重要觀念進行有意義的聯(lián)結(jié)，構(gòu)成“求最值問題”內(nèi)核知識的錨點.討論的“將軍飲馬”問題，歸根到底是“兩點之間線段最短”原理的引申，這一基于大觀念下由直觀想象派生的樸素結(jié)論啟發(fā)我們，一個原理，一個圖形，一個方法，構(gòu)成一幅絢麗的數(shù)學(xué)畫卷.在課堂上，充分體現(xiàn)直觀想象的多角度融合，發(fā)展學(xué)生高階思維，是核心素養(yǎng)培養(yǎng)的重要內(nèi)容與途徑.

參考文獻

[1]盛慧曉. 大觀念與基于大觀念的課程建構(gòu)[J]. 當(dāng)代教育科學(xué)，2015（18）：27-31.

[2]F.克萊因.古今數(shù)學(xué)思想（第四冊）[M].上海：上?？萍汲霭嫔纾?979.

[3]徐利治.談?wù)勎业囊恍?shù)學(xué)治學(xué)經(jīng)驗[J].數(shù)學(xué)通報，2000（05）：1.

作者簡介夏廈（—），男，奉化高級中學(xué)，一級教師;

楊亢爾（—），男，寧波市奉化區(qū)教師進修學(xué)校，浙江省特級教師.