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        “‘一次函數(shù)’小結(jié)與思考”教學(xué)實(shí)錄及反思

        2022-05-30 10:48:04吳加健
        關(guān)鍵詞:方程組交點(diǎn)直線

        吳加健

        本節(jié)課是蘇科版數(shù)學(xué)八(上)“一次函數(shù)”的小結(jié)與思考課,其主要內(nèi)容是通過具體問題回顧本章所學(xué)知識(shí),進(jìn)一步感受變量之間的函數(shù)關(guān)系,知道函數(shù)、方程、不等式是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律的重要模型,讓學(xué)生在數(shù)學(xué)建模中進(jìn)一步體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。

        一、教學(xué)目標(biāo)

        通過自主梳理本章知識(shí)結(jié)構(gòu),能夠綜合應(yīng)用本章知識(shí)解決相關(guān)數(shù)學(xué)問題;通過知識(shí)的系統(tǒng)整理,明晰研究函數(shù)的基本路徑;通過問題解決,感知一次函數(shù)的定義、圖像、性質(zhì)、應(yīng)用以及它與一次方程(組)、一次不等式的關(guān)系;通過單元整體建構(gòu),進(jìn)一步體會(huì)方程與函數(shù)、化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、待定系數(shù)法等重要的數(shù)學(xué)思想方法,培育抽象能力、模型觀念、創(chuàng)新意識(shí)等核心素養(yǎng)。

        二、教學(xué)實(shí)錄

        活動(dòng)一:整體梳理,展示預(yù)學(xué)。

        師:我們知道函數(shù)是刻畫現(xiàn)實(shí)世界運(yùn)動(dòng)變化的數(shù)學(xué)模型。本節(jié)課,老師和大家一起進(jìn)行“一次函數(shù)”的小結(jié)與思考。請(qǐng)同學(xué)們對(duì)本章的知識(shí)結(jié)構(gòu)進(jìn)行組內(nèi)討論,并梳理和總結(jié),然后和大家分享。

        生1:在一個(gè)變化過程中,變量x的每一個(gè)值,y都有唯一的值與它對(duì)應(yīng),那么y就是x的函數(shù),x就叫作自變量,y叫作因變量。

        師:這個(gè)是函數(shù)的概念。

        生1:函數(shù)有三種表示方法:列表法、圖像法、解析法。

        師:很好!那如何畫函數(shù)圖像?

        生2:先列表,再描點(diǎn),最后連線。

        生3:我梳理的還有一次函數(shù)的定義、圖像與性質(zhì)、應(yīng)用。

        師:那什么樣的函數(shù)叫作一次函數(shù)?

        生3:形如y=kx+b。

        師:x和y是變量,其中k和b都是?

        生3:k和b都是常量且k不等于0。

        師:一次函數(shù)有什么特例???

        生3:有正比例函數(shù)。

        師:什么樣的函數(shù)叫作正比例函數(shù)?

        生3:y=kx,也就是常數(shù)b為0的特殊情形。

        師:那一次函數(shù)的圖像是?

        生4:一條直線。

        師:那么如何來畫這個(gè)圖像呢?

        生4:只需確定兩個(gè)點(diǎn)。

        師:函數(shù)中的k決定什么?

        生5:k決定增減趨勢(shì)。

        師:我們不妨把經(jīng)過第一、三象限的圖像的走向看成上升,把經(jīng)過第二、四象限的圖像的走向看成是下降。b呢?

        生5:b的確定和y軸的交點(diǎn)位置相關(guān)。

        生6:我們還學(xué)習(xí)了一次函數(shù)與方程、一次函數(shù)和不等式的關(guān)系。

        師:一次函數(shù)、一次方程、一次不等式,當(dāng)然后面還有二次、更高次的方程與不等式。函數(shù)、方程、不等式存在著千絲萬縷的聯(lián)系。

        師:通過提出問題,抽象出函數(shù),到一次函數(shù),這里體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模的思想。同時(shí),我們?cè)谘芯恳淮魏瘮?shù)的圖像與性質(zhì)的過程中,體會(huì)到數(shù)量和圖形之間的聯(lián)系,這里面涉及了一個(gè)重要的數(shù)學(xué)思想方法:數(shù)形結(jié)合。

        活動(dòng)二:整體理解,問題剖析。

        師:圖1是一次函數(shù)y=kx+b的圖像,你能獲得哪些信息?

        生7:因?yàn)樗?jīng)過第二、四象限,所以k<0。又因?yàn)樗挥趛軸的正半軸,所以b>0。

        師:交于y軸的點(diǎn)的坐標(biāo)你可以描述出來嗎?

        生7:(0,b)。

        師:非常好,還有什么信息?

        生8:函數(shù)值y隨著x的增大而減小。

        師:若y=kx+b的圖像過點(diǎn)(1,2)和(-1,6),你能提出哪些問題?如何思考解決的?(小組討論)

        生8:求這個(gè)函數(shù)表達(dá)式。

        師:你準(zhǔn)備用什么方法求?

        生8:待定系數(shù)法。將(1,2)和(-1,6)分別代入y=kx+b,得到一個(gè)關(guān)于k和b的方程組,求出的函數(shù)表達(dá)式為y=-2x+4。

        師:哪個(gè)小組還能提出其他問題嗎?

        生9:我們小組認(rèn)為還可以求出直線與x軸和y軸圍成的圖形的面積。

        師:很好,如何解決?

        生9:求出直線與x軸和y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)就可以了。

        師:還有嗎?

        ……

        師:這里涉及直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、直線之間的交點(diǎn)、線段的長(zhǎng)度、圖形的面積、大小比較、增減性等知識(shí),還有其他的平移變換的問題,希望大家課后再作深度的探討。

        活動(dòng)三:整體把握,應(yīng)用遷移。

        (1)[x-y=1,2x-y=3;](2)[x-y=1,2x-2y=2;](3)[x-y=1,2x-2y=4。]

        師:如何通過兩條直線位置關(guān)系,探索上述二元一次方程組解的情況?

        生10:(1)相交,這個(gè)方程組有唯一解。

        生11:(2)重合,這個(gè)方程組有無數(shù)組解。

        生12:(3)平行,這個(gè)方程組無解。

        師:由此可見,除了用代入消元法或加減消元法直接解方程組之外,還可以直接用圖像判斷方程組解的個(gè)數(shù)。

        師:請(qǐng)問y=[2x]、 y=x2+2x+1是不是函數(shù)?

        生(齊):是。

        師:其實(shí),一次函數(shù)只是函數(shù)“家族”中的一員,像y=[2x]、 y=x2+2x+1等函數(shù)是我們今后要學(xué)習(xí)的內(nèi)容,我們可以用研究一次函數(shù)的方法來研究這些函數(shù)的圖像及性質(zhì)。老師希望同學(xué)們學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界,學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界,學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界,我們的未來一定像k[>]0的一次函數(shù)的圖像一樣,一路上升,前程似錦!

        三、教學(xué)反思

        為了解決教學(xué)碎片化問題,感受整體教學(xué)觀,教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生自主構(gòu)建知識(shí)體系,提煉數(shù)學(xué)思想方法?;谝延械膶W(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn),探究知識(shí)的生成,素養(yǎng)的自然生長(zhǎng),進(jìn)行知識(shí)體系的后建構(gòu),有利于學(xué)生知識(shí)的儲(chǔ)存、提取與應(yīng)用。問題串的設(shè)計(jì)有助于學(xué)生更好地理解所學(xué)知識(shí),并且逐步建立起整體知識(shí)框架,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力。從數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)看,無論是新知的引入(把握探究新知的一般路徑),還是解題的有序思考(指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)思考),都力求自然,從學(xué)科本身出發(fā),從學(xué)生的基礎(chǔ)出發(fā),從學(xué)生的認(rèn)知經(jīng)歷出發(fā),幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng),使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)進(jìn)一步深入。

        (作者單位:江蘇省鹽城市鹿鳴路初級(jí)中學(xué))

        本文系江蘇省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃課題“‘雙減背景下初中數(shù)學(xué)作業(yè)設(shè)計(jì)校本化實(shí)踐研究”(項(xiàng)目編號(hào):E-c/2021/40)階段性成果之一。

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