錢國華

［摘 要］幾何直觀能力包括形象思維能力、直觀洞察能力、用圖形分析問題的能力和空間想象力。教師可在數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用直觀模型、數(shù)學(xué)操作、數(shù)形結(jié)合、多媒體設(shè)備發(fā)展學(xué)生的形象思維、直觀思維、分析能力和空間想象力，從而提升學(xué)生的幾何直觀能力。

［關(guān)鍵詞］幾何直觀；形象思維；數(shù)形結(jié)合；空間想象力

［中圖分類號］ G623.5［文獻(xiàn)標(biāo)識碼］ A［文章編號］ 1007-9068（2022）29-0072-03

幾何直觀主要指用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡單，有助于學(xué)生找到解題思路。由此可見，幾何直觀的價(jià)值在于將抽象問題化為具體問題，以促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解，提升學(xué)生分析和解決問題的能力。

從具體內(nèi)涵來看，幾何直觀能力包括形象思維能力、直觀洞察能力、用圖形分析問題的能力和空間想象力，這些能力在學(xué)生的學(xué)習(xí)過程中起著重要的作用。需要強(qiáng)調(diào)的是，幾何直觀能力同時(shí)面向觀察、判斷與思維能力。學(xué)生在生活中看到的圖形，很多都不是他們在課本上看到的幾何圖形，學(xué)生需要在觀察的基礎(chǔ)上進(jìn)行抽象，才能得到他們熟知的幾何圖形，得到幾何圖形后還要對其進(jìn)行判斷，再通過思維的加工，才能形成直觀認(rèn)識。這個(gè)過程是非常復(fù)雜的。教師要認(rèn)識到其中的復(fù)雜性，然后設(shè)計(jì)一個(gè)有效的教學(xué)方案，才能切實(shí)有效地發(fā)展學(xué)生的幾何直觀能力。筆者以此為據(jù)，結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，提出在數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)展學(xué)生幾何直觀能力的對策，期望能夠起到拋磚引玉的效果。

一、借助直觀模型，發(fā)展學(xué)生的形象思維

把抽象的數(shù)學(xué)問題以圖形的形式呈現(xiàn)出來，有利于學(xué)生理解問題。教師要引導(dǎo)學(xué)生把抽象的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為直觀模型，或者直接在現(xiàn)實(shí)生活中找到與問題有關(guān)的直觀模型，通過直觀模型將數(shù)學(xué)問題具體化、形象化，才有利于增強(qiáng)學(xué)生的直觀感受，促進(jìn)學(xué)生對問題的深度理解。

比如，在教學(xué)“解決問題的策略”時(shí)，教師出示了這樣一道題：六（1）班有10名學(xué)生進(jìn)行乒乓球比賽，每2名學(xué)生要比一場，一共要比多少場？

生₁：可以先找規(guī)律。我采用列表法（如表1），通過表格不難看出，當(dāng)有2名學(xué)生比賽時(shí)，要比1場；當(dāng)有3名學(xué)生時(shí)，要比1+2=3（場）；當(dāng)有4名學(xué)生時(shí)，要比1+2+3=6（場）……按照這樣的規(guī)律，當(dāng)有10名學(xué)生時(shí)，要比1+2+3+4+5+6+7+8+9=45（場）。

生₂：有了這個(gè)表格，我們就可以輕松地解決問題了。

生₃：我是畫圖分析的（如表2），可以得到和列表法相同的結(jié)論。

師：如果參加比賽的學(xué)生人數(shù)很多，那么無論是用列表法還是畫圖分析，都比較麻煩。我們是不是可以從表格或示意圖中總結(jié)出一般的原理呢？

[學(xué)生討論，并在教師的引導(dǎo)下得出公式：比賽場數(shù)=n×（n-1）÷2（n為參加比賽的人數(shù)）]

在思考和表達(dá)的過程中，學(xué)生采用了列表和畫示意圖的方式建立直觀模型，這就把抽象、復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系直觀地呈現(xiàn)了出來。學(xué)生通過觀察和分析直觀模型，得出比賽人數(shù)和比賽場數(shù)之間的關(guān)系，由此順利解決問題。學(xué)生在這個(gè)過程中發(fā)展了形象思維。在沒有表格和示意圖的時(shí)候，學(xué)生思維加工的對象只能是文字，而有了幾何圖形之后，學(xué)生思維加工的對象就是幾何圖形。這樣一個(gè)轉(zhuǎn)換既是學(xué)習(xí)內(nèi)容的轉(zhuǎn)換，也是思維方式的轉(zhuǎn)換——學(xué)生的思維由抽象思維轉(zhuǎn)換為形象思維，而這符合小學(xué)生的思維特點(diǎn)。這樣的轉(zhuǎn)換降低了解題難度，更容易讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律。因此，幾何直觀的模型有利于學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識，同時(shí)能有效發(fā)展學(xué)生的形象思維能力。

二、借助數(shù)學(xué)操作，發(fā)展學(xué)生的直觀思維

直觀思維指的是人們不經(jīng)過縝密分析，就迅速對問題的答案做出合理的猜測、設(shè)想的一種躍進(jìn)性思維。直觀思維并非憑空猜測，而是以知識儲備和認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)的大膽合理猜測。學(xué)生要發(fā)展直觀思維，離不開動手實(shí)踐和操作。心理學(xué)家皮亞杰說：“活動是認(rèn)識的基礎(chǔ)，智慧從動手開始?！睌?shù)學(xué)操作順應(yīng)了小學(xué)生活潑好動的性格特征，有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。此外，數(shù)學(xué)操作可以調(diào)動學(xué)生的感官，使學(xué)生更好地參與到數(shù)學(xué)活動中，感知大量直觀形象的事物，獲得豐富的認(rèn)識，并在活動過程中發(fā)展學(xué)生的直觀思維。

比如，在教學(xué)“兩位數(shù)除以一位數(shù)”時(shí)，教師出示了算式“42÷2”，并要求學(xué)生通過數(shù)學(xué)操作（擺小棒）進(jìn)行計(jì)算。學(xué)生自主擺小棒，借助操作探究算法。

師：你能用自己的話表述自己的操作過程嗎？

生：我先把4捆小棒（1捆10根）平均分成2份，每份是2捆，即2個(gè)十，再把2根小棒平均分成2份，每份是1根，即1個(gè)一，2個(gè)十和1個(gè)一加起來就是21，因此，42÷2=21（如圖1）。

教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生采取擺小棒的方式探究兩位數(shù)除以一位數(shù)的算理，學(xué)生在擺小棒的過程中建立了直觀操作和除法算式之間的內(nèi)在聯(lián)系，并在擺一擺、數(shù)一數(shù)的過程中發(fā)展了直觀思維。以上教學(xué)最大的特點(diǎn)就是學(xué)生有了動手操作的機(jī)會。從表面上看，學(xué)生只是在動手，實(shí)際上學(xué)生是手腦并用。學(xué)生的操作并不是無序的，而是圍繞學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行的有序操作，之所以有序，是因?yàn)楸澈笥兴季S在驅(qū)動。數(shù)學(xué)操作能夠很好地將學(xué)生的手、腦融合在一起。學(xué)生要動手又動腦，才可以有效建構(gòu)數(shù)學(xué)知識，發(fā)展直觀思維。

三、運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，發(fā)展學(xué)生的圖形分析能力

用圖形分析問題的能力是幾何直觀能力的重要組成部分，而要發(fā)展學(xué)生的圖形分析能力，可以運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法。數(shù)學(xué)家華羅庚說：“數(shù)無形時(shí)少直覺，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休。”可見數(shù)形結(jié)合在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有重要的價(jià)值。數(shù)形結(jié)合把抽象的數(shù)和直觀的圖形結(jié)合起來，不但能促進(jìn)學(xué)生理解數(shù)學(xué)，還能提高學(xué)生的解題能力。

比如，在教學(xué)“排隊(duì)問題”時(shí)，教師出示這樣一道題：小動物們排成一排看電影，從右邊數(shù)，小兔子是第4只，從左邊數(shù)，小兔子是第6只，一共有多少只小動物？雖然該題的難度不大，但是一年級學(xué)生對純文字題的理解能力比較弱，且題中涉及左右兩個(gè)方向，這就給學(xué)生解題造成了不小的困難。此外，有的學(xué)生雖然能夠計(jì)算出結(jié)果，但是難以說明其中的道理。針對這種情況，教師引導(dǎo)學(xué)生采取數(shù)形結(jié)合的方法，讓學(xué)生用畫圖的方式解決問題。其中，一名學(xué)生根據(jù)題意畫圖（如圖2）：用圓圈代表其他小動物，用正方形代表小兔子，從右邊數(shù)，小兔子是第4只，就在正方形的右邊畫3個(gè)圓圈；從左邊數(shù)，小兔子是第6只，就在正方形的左邊畫5個(gè)圓圈。這樣就得出一共有4+6-1=9（只）小動物。

在此基礎(chǔ)上，教師巧妙變換題目：小動物們排成一排看電影，小兔子的右邊有4只小動物，小兔子的左邊有6只小動物，一共有多少只小動物？有了之前的畫圖經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生很快地畫出了圖形（如圖3），并列出算式：4+6+1=11（只）。

在教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生通過畫圖的方式解決問題，把抽象的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化成直觀的圖形。通過畫圖和讀圖，學(xué)生很容易從圖形中提取其中暗含的數(shù)量關(guān)系，從而快速理解題意和解決問題。學(xué)生運(yùn)用圖形分析問題、解決問題的能力得到了鍛煉和發(fā)展。數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)中的優(yōu)秀方法，教師運(yùn)用此方法教學(xué)，不僅能夠有機(jī)地將學(xué)生的形象思維與抽象思維融合在一起，而且能夠幫助學(xué)生形成用圖形分析問題的意識。教師要充分把握學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，努力為學(xué)生創(chuàng)設(shè)一個(gè)良好的數(shù)形結(jié)合的情境，用學(xué)生熟悉的圖形去撬動學(xué)生的思維，從而有效發(fā)展學(xué)生的幾何直觀能力。

四、運(yùn)用多媒體，發(fā)展學(xué)生的空間想象力

空間想象力是幾何直觀能力的重要組成部分。笛卡爾說：“沒有圖形就沒有思考?！睌?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)明確指出：要使學(xué)生逐步掌握簡單幾何形體的形狀、大小和位置關(guān)系，能夠識別所學(xué)的幾何形體，并能概括幾何形體的名稱，再現(xiàn)它們的表象，培養(yǎng)學(xué)生初步的空間觀念。多媒體技術(shù)被廣泛應(yīng)用于教學(xué)之中，為教師培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力提供了新的途徑。目前，課堂上常用的多媒體軟件和設(shè)備有幾何畫板、IT圖形計(jì)算器、交互式智能白板等，這些軟件和設(shè)備不僅有效激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，而且高效地將抽象難懂的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化成直觀的形式后呈現(xiàn)出來，較好地促進(jìn)了學(xué)生空間想象力的發(fā)展。

比如，在教學(xué)“認(rèn)識長方體”時(shí)，教師運(yùn)用多媒體教學(xué)，帶領(lǐng)學(xué)生認(rèn)識長方體。

師：同學(xué)們，請看屏幕上的是什么？

生₁：一張紙。

師：如果我把很多張紙疊起來，會是什么樣的呢？

（教師運(yùn)用多媒體課件展示把一張張紙疊起來，最終形成長方體的動態(tài)過程）

生₂：變成了一個(gè)長方體。

生₃：把一個(gè)個(gè)平面疊起來就變成了立體圖形。

師：對。數(shù)一數(shù)，長方體一共有幾個(gè)面？

生₄：6個(gè)。

（使用多媒體讓長方體的6個(gè)面變亮）

師：同學(xué)們數(shù)一數(shù)，長方體有幾組棱，一共有幾條棱？

生₅：有3組棱，一共有12條棱。

（使用多媒體讓長方體的棱變亮，且每一組棱的顏色不同）

師：同學(xué)們再數(shù)一數(shù)，長方體有幾個(gè)頂點(diǎn)？

生₆：8個(gè)。

（使用多媒體讓長方體的頂點(diǎn)變亮）

教學(xué)中，學(xué)生通過多媒體課件觀看一張張紙疊成長方體的過程，看到了平面圖形到立體圖形的轉(zhuǎn)變。教師通過多媒體課件引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識長方體的面、棱和頂點(diǎn)等各部分，給予學(xué)生強(qiáng)烈的視覺刺激，這不但調(diào)動了學(xué)生的興趣，激發(fā)了學(xué)生的空間想象力，還促進(jìn)了學(xué)生幾何直觀能力的發(fā)展。

小學(xué)階段是培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀能力的關(guān)鍵時(shí)期。隨著課程改革的不斷深入，數(shù)學(xué)課堂會出現(xiàn)大量的直觀圖形，也會穿插很多剪一剪、拼一拼的操作活動，其目的就是要不斷發(fā)展學(xué)生的幾何直觀能力。教師要轉(zhuǎn)變教學(xué)觀念，以教學(xué)內(nèi)容為載體，用幾何直觀架構(gòu)一座連通具象與抽象的“橋梁”，引導(dǎo)學(xué)生借助直觀的圖形分析和解決問題，不斷提升學(xué)生的幾何直觀能力。

［ 參 考 文 獻(xiàn) ］

[1] 徐曉慶.小學(xué)數(shù)學(xué)幾何直觀教學(xué)的策略[J].江西教育，2021（9）：43-44.

[2] 符明.借助幾何直觀? ?理解數(shù)的運(yùn)算[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2021（6）：12-13.

[3] 王燕.建構(gòu)“直觀思維”：幾何直觀教學(xué)的重要使命[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2020（31）：28-29.

[4] 周波，牟天偉.聚焦幾何直觀，培養(yǎng)核心素養(yǎng)：小學(xué)五年級“畫圖策略”例談[J].教育科學(xué)論壇，2020（28）：39-43.

（責(zé)編 黃 露）