顏壽春

［摘 ?要］ “發(fā)展思維”是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)的根本要求。六年級(jí)上冊(cè)第五單元“圓”內(nèi)涵豐富，承載著深厚的文化元素。通過這個(gè)單元的學(xué)習(xí)，能有效促進(jìn)學(xué)生“直觀想象、邏輯推理、抽象、建模、運(yùn)算”等思維能力的培養(yǎng)。然而從后測(cè)可知，學(xué)生對(duì)這一單元的掌握普遍不理想，究其原因是“思想方法”和“求聯(lián)思維”沒有很好地落實(shí)。文章試從“整體設(shè)計(jì)，分散難點(diǎn)”“品味文化，感悟思想”“共性規(guī)整，模型求聯(lián)”“梳理融匯，提升能力”四個(gè)方面，探尋學(xué)生思維能力的培養(yǎng)，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展。

［關(guān)鍵詞］ 單元整體；數(shù)學(xué)文化；思想方法；思維發(fā)展

六年級(jí)上冊(cè)第五單元“圓”內(nèi)涵豐富，承載著深厚的文化元素，通過這個(gè)單元的學(xué)習(xí)，不僅能加深學(xué)生對(duì)周圍事物的理解，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，也為后續(xù)研究圓柱、圓錐相關(guān)知識(shí)奠定了基礎(chǔ)。探究圓的知識(shí)，還要用到“轉(zhuǎn)化、極限”等思想方法，能有效促進(jìn)學(xué)生“直觀想象、邏輯推理、抽象、建模、運(yùn)算”等能力的發(fā)展［１］。

一、整體設(shè)計(jì)、分散難點(diǎn)

由于“圓”是小學(xué)數(shù)學(xué)平面圖形中唯一一個(gè)曲線圖形，從直線圖形到曲線圖形，學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)進(jìn)入了一個(gè)新的領(lǐng)域，研究問題的方式需要進(jìn)行遷移與創(chuàng)新，再加上本單元概念多、公式雜、題目靈活多變，教師需從學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)和規(guī)律出發(fā)，“整體設(shè)計(jì)單元教學(xué)，穩(wěn)扎穩(wěn)打有序推進(jìn)”，以下便是本單元調(diào)整補(bǔ)充后的整體設(shè)計(jì)（表1）。

二、品味文化，感悟思想

在“數(shù)學(xué)文化”的大背景中進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)，能讓學(xué)生在追根溯源中明白知識(shí)的來龍去脈［２］。

本單元有三處承載了數(shù)學(xué)文化，一是《墨經(jīng)》中記載的“圓，一中同長(zhǎng)也”，二是《周髀算經(jīng)》中的“圓出于方”和“周三徑一”，三是劉徽的割圓術(shù)。從文化的高度研究數(shù)學(xué)課堂，對(duì)這些數(shù)學(xué)史料進(jìn)行再加工、再創(chuàng)造，還原知識(shí)形成的過程，把知識(shí)的科學(xué)性和文化性有機(jī)融合，可以讓數(shù)學(xué)與學(xué)生更加緊密聯(lián)結(jié)。

1. 對(duì)比操作，理解“一中同長(zhǎng)”

在認(rèn)識(shí)圓的特征時(shí)，按照概念形成的4個(gè)階段：“認(rèn)識(shí)階段、分析階段、構(gòu)建階段、應(yīng)用階段”設(shè)計(jì)教學(xué)過程，能讓學(xué)生充分理解概念的本質(zhì)［2］。認(rèn)識(shí)階段：從六千年前人類制造的史上第一個(gè)圓形輪子，引出“為何輪子都是圓的”？學(xué)生交流之后驗(yàn)證，嘗試用直尺、線繩、圓規(guī)3種不同的方式畫圓，找到共同點(diǎn)。教師順勢(shì)引出2000多年前墨子的“圓，一中同長(zhǎng)也”。分析階段：“一中”指一個(gè)中心，“同長(zhǎng)”指圓上每一個(gè)點(diǎn)到中心的距離相等。構(gòu)建階段：結(jié)合圓的各部分名稱和特點(diǎn)，讓學(xué)生體會(huì)“一中同長(zhǎng)”，再與正三角形、正方形、正五邊形等正多邊形比較，進(jìn)一步理解“一中同長(zhǎng)”，得出“邊的數(shù)量越多，中心點(diǎn)到頂點(diǎn)和邊的距離越來越接近，但始終不相等，直至變成一個(gè)圓，才有與中心點(diǎn)等距”的特征。應(yīng)用階段： 學(xué)生運(yùn)用圓的特征解釋本課開始時(shí)提出的“輪子為什么是圓形的”，再討論“窖井蓋為什么是圓的”。

2. 猜想驗(yàn)證，推理“周三徑一”

在教學(xué)圓的周長(zhǎng)時(shí)，教師讓學(xué)生自由猜想怎樣得到圓周長(zhǎng)，圓周長(zhǎng)怎樣計(jì)算，然后出示正方形里一個(gè)最大的圓，圓內(nèi)再畫一個(gè)正六邊形，讓學(xué)生直觀感受到“C正六邊形

3. 引導(dǎo)遷移，探究“化曲為直”

圓的面積公式推導(dǎo)中，“化曲為直”的思想是核心。首先，學(xué)生借助經(jīng)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)“數(shù)方格”這一方法的不足，進(jìn)而提出“怎樣將圓轉(zhuǎn)化成學(xué)過的圖形”。在對(duì)平行四邊形等平面圖形推導(dǎo)過程的回憶后，學(xué)生領(lǐng)悟到用“新知轉(zhuǎn)化成舊知”的方法去遷移學(xué)習(xí)新知。圓和哪個(gè)熟悉圖形可以建立聯(lián)系？將目標(biāo)聚焦到正方形上，接著引導(dǎo)學(xué)生猜想面積的倍數(shù)關(guān)系。第三環(huán)節(jié)是驗(yàn)證猜想，通過小組合作，在剪一剪、拼一拼的動(dòng)手操作中，把圓不斷地平均分，轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形來思考，學(xué)生親歷“轉(zhuǎn)化”的過程，進(jìn)一步內(nèi)化了“化曲為直”的思想方法。

4. 精準(zhǔn)演繹，支撐“極限思想”

圓的面積推導(dǎo)過程中，學(xué)生對(duì)于“平均分的份數(shù)（偶數(shù)份）越多，拼成的圖形越接近長(zhǎng)方形”這樣的表述理解有困難，此時(shí)，教師要借圖形軟件助力精準(zhǔn)演繹，為學(xué)生提供強(qiáng)有力的視覺支持，讓學(xué)生清楚地看到：把圓動(dòng)態(tài)平均分成4份、8份、16份、32份……拼成的圖形就越接近平行四邊形。并將這個(gè)過程用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行精準(zhǔn)表達(dá)，如：因?yàn)殚L(zhǎng)方形的長(zhǎng)是圓周長(zhǎng)的一半，即πr，長(zhǎng)方形的寬是圓的半徑，即r，長(zhǎng)方形的面積等于長(zhǎng)×寬=πr×r，所以，圓的面積=πr×r=πr2。這時(shí)教師要適時(shí)板書，幫助學(xué)生更清楚地理解轉(zhuǎn)化過程。

三、共性歸整，模型求聯(lián)

數(shù)學(xué)上的求聯(lián)，是對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的諸多元素，通過主動(dòng)建構(gòu)聯(lián)系，由已知熟悉的概念聯(lián)想到相關(guān)的概念，并根據(jù)一定的維度關(guān)系進(jìn)行組合與排列，構(gòu)成一個(gè)穩(wěn)定的模塊儲(chǔ)存于學(xué)習(xí)者的認(rèn)知庫里。本單元基于求聯(lián)的學(xué)習(xí)方式，能有效減輕學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，促使“四基”整體提升。

1. 去偽存真，情境求聯(lián)

教師要設(shè)計(jì)題組讓學(xué)生在解決實(shí)際問題的分析、比較中更進(jìn)一步加深對(duì)知識(shí)的理解。例如：“在一個(gè)半徑為5米的圓形花圃，圍一條寬為3米的環(huán)形石子路。這條環(huán)形路的面積是多少平方米？”“一個(gè)半圓形水池半徑是8米，直徑增加2米，水池面積增加了多少平方米？”“分針走一圈與時(shí)針走一圈，針尖掃過的面積相差多少平方厘米？”［3］把這3個(gè)實(shí)際的場(chǎng)景抽象之后，其實(shí)就是同一個(gè)數(shù)學(xué)模型——環(huán)形，只需要運(yùn)用求環(huán)形面積的知識(shí)來解決這個(gè)問題就可以了。教師還可以布置課后作業(yè)，讓學(xué)生自己設(shè)計(jì)同一模型下的不同情境題目，提高對(duì)題目結(jié)構(gòu)化的把握和分析歸納能力。

2. 等價(jià)轉(zhuǎn)換，相似求聯(lián)

相似求聯(lián)，是指當(dāng)遇到一個(gè)不熟悉的問題時(shí)，會(huì)通過聯(lián)想將它變成一個(gè)自己熟悉的的問題，繼而使問題得到解決。這對(duì)學(xué)生來說是有一定難度的，因?yàn)橄嗨魄舐?lián)并沒有固定的策略與方法，它需要通過對(duì)具體問題的具體分析、深入剖析，精準(zhǔn)提取已有知識(shí)體系中的相對(duì)應(yīng)概念，才能實(shí)現(xiàn)由陌生到熟悉的相似轉(zhuǎn)換。教師要設(shè)計(jì)相似題組對(duì)比練習(xí)，讓學(xué)習(xí)者看到此類圖形會(huì)自然進(jìn)行聯(lián)想。

如圖1、圖2，外面圓的周長(zhǎng)與里面小圓的周長(zhǎng)之和相比較，哪一個(gè)長(zhǎng)？

如圖3，從點(diǎn)A到點(diǎn)B，沿著大圓走和沿著中、小圓走的路程相同嗎？

如圖4，比較大圓周長(zhǎng)、小圓周長(zhǎng)之和、長(zhǎng)方形周長(zhǎng)的大小。

以上3例其實(shí)是等價(jià)題組，都是外圓周長(zhǎng)等于直徑上所有相切圓周長(zhǎng)之和。再如下圖（圖5）所示，在相同的正方形內(nèi)畫圓，每個(gè)正方形內(nèi)的圓形面積總和都是相等的。教師精心設(shè)計(jì)題組對(duì)比練習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生通過猜測(cè)、驗(yàn)證，得出相等結(jié)論，有利于培養(yǎng)等價(jià)聯(lián)想能力。

3. 旋轉(zhuǎn)平移，構(gòu)圖求聯(lián)

構(gòu)圖求聯(lián)，意指在分解組合圖形時(shí)，看清由哪幾個(gè)基本圖形組合起來的，或是從哪一個(gè)基本圖形里去掉哪一個(gè)或幾個(gè)基本圖形得到的，或借助旋轉(zhuǎn)、翻轉(zhuǎn)、平移、分割、拼補(bǔ)、添輔助線等方法化難為易，從而找出解答的方法。

如圖6：已知圖中陰影部分面積，求圓環(huán)面積。

如圖7，大圓半徑為小圓的直徑，已知圖中陰影部分面積為S1，空白部分面積為S2，那么這兩個(gè)部分的面積之比是多少？

如圖8，3個(gè)圓的半徑都是10cm，3個(gè)圓兩兩相交于圓心，求陰影部分的面積和。

4. 對(duì)比想象，動(dòng)態(tài)求聯(lián)

動(dòng)態(tài)求聯(lián)，意指讓靜態(tài)的圖形通過想象、畫圖等方式聯(lián)系起來，形成習(xí)題模塊，尋求解法上的共通點(diǎn)，形成同一解決策略，感受習(xí)題模塊“萬變不離其宗”的內(nèi)在魅力，同時(shí)在變化中，發(fā)展空間觀念，感受數(shù)學(xué)之美［４］。如以下3例通過化靜為動(dòng)的想象和對(duì)比，就能發(fā)現(xiàn)屬于同一模塊的知識(shí)，都是以系繩處為定點(diǎn)圓心，小動(dòng)物活動(dòng)的范圍就是以定點(diǎn)到小動(dòng)物之間的距離為半徑的數(shù)個(gè)面積之和，同時(shí)注意有序思考，不遺漏不重復(fù)。

例1 ?草場(chǎng)上有一個(gè)長(zhǎng)20米，寬10米的關(guān)閉著的牛圈，圈的一角用長(zhǎng)30米的繩子拴著一只牛，這只牛的活動(dòng)范圍有多大？

例2 ?一只小狗被拴在一個(gè)邊長(zhǎng)為3米的等邊三角形建筑物的墻角上，繩子長(zhǎng)是4米，求小狗所能到的地方的總面積。

例3 ?一個(gè)邊長(zhǎng)為4米的正五邊形的建筑物的一個(gè)頂點(diǎn)處拴著一只小狗，四周都是空地。繩長(zhǎng)剛好夠小狗走到建筑物外墻邊的任一位置。小狗的活動(dòng)范圍是多少平方米？

四、梳理融匯，提升能力

在對(duì)圓形特征、圓周長(zhǎng)與面積的探究中，學(xué)生頭腦中已初步形成了新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)網(wǎng)，這個(gè)認(rèn)知網(wǎng)絡(luò)初具雛形，但它還不夠合理、準(zhǔn)確、牢固，如果要讓學(xué)生在面臨各種情況時(shí)，準(zhǔn)確地從認(rèn)知網(wǎng)中提取出想要的信息和策略并順利解決這些問題，還需要教師的引導(dǎo)與幫助，形成提綱挈領(lǐng)的思維鏈，讓學(xué)生領(lǐng)悟到解決某一類問題的基本方法和基本策略， 從而真正意義上實(shí)現(xiàn)減負(fù)提質(zhì)，高效學(xué)習(xí)。

1. 順逆互推，打造邏輯力

逆向思維的培養(yǎng)能激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣，這個(gè)單元的逆向思維的運(yùn)用主要體現(xiàn)在對(duì)計(jì)算公式的逆向運(yùn)用上。例如，已知圓的周長(zhǎng)，求圓的面積，必先求出圓的半徑，就需要逆向使用計(jì)算公式C=2πr。再如，已知半圓的周長(zhǎng)，求半圓的面積，對(duì)逆向思維能力的要求就更高了。此時(shí)，列方程解答，可以減小逆向思維的難度，順利解出這類逆向思維的題。對(duì)于逆向思維能力較強(qiáng)的人，可以直接由計(jì)算公式C=2πr，得到r=C÷2π或r=C÷（2×π），根據(jù)半圓周長(zhǎng)=πr+2r，得到r=半圓周長(zhǎng)÷（2+π）。

2. 深挖關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)習(xí)力

圓周長(zhǎng)、面積的變化規(guī)律，就是因?yàn)榘霃竭@一要素引發(fā)的，教師還要提醒學(xué)生注意，判斷面積的變化時(shí)，要關(guān)注半徑的平方。而圓形與其他圖形的關(guān)系，關(guān)鍵是要找半徑與其他圖形長(zhǎng)、寬或高、底的聯(lián)系，通過轉(zhuǎn)化將兩個(gè)或三個(gè)圖形打通，計(jì)算出面積或周長(zhǎng)，同時(shí)鼓勵(lì)學(xué)生嘗試將關(guān)系網(wǎng)進(jìn)行梳理整合，形成思維導(dǎo)圖或大綱、表格（表2），最后全班交流，形成規(guī)范合理、科學(xué)有序的關(guān)系網(wǎng)，逐漸培養(yǎng)學(xué)生的整理能力，提升自主學(xué)習(xí)能力。

3. 提綱挈領(lǐng)，形成思維鏈

與上面提到的關(guān)系推理一樣，本單元公式眾多，若不加以及時(shí)整理，學(xué)習(xí)效率會(huì)大打折扣。

此時(shí)，教師可以布置任務(wù)：本單元用到了哪些公式？你能將這些公式分類整理成表格嗎？（表3）值得注意的是，當(dāng)下思維導(dǎo)圖非常盛行，但是對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)科的整理，表格有其先天的優(yōu)勢(shì)，它便于橫向比較、縱向遞進(jìn)，有利于進(jìn)一步理解和掌握知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系與特征。

4. 找尋訣竅，提高運(yùn)算力

有研究表明，近十幾年來，中小學(xué)生的計(jì)算能力較之以往的同齡學(xué)生大為下滑，原因主要是由于新課程對(duì)于計(jì)算技能要求降低了，由此帶來的問題就是在“圓”單元的計(jì)算中，尤其是計(jì)算面積時(shí)，學(xué)生耗時(shí)耗力且錯(cuò)誤頻發(fā)。例如學(xué)生在完成關(guān)于圓環(huán)的作業(yè)時(shí)，時(shí)間花費(fèi)是以往同量作業(yè)的至少兩倍，且計(jì)算無差錯(cuò)的屈指可數(shù)。此時(shí)，教師是選擇較簡(jiǎn)單的數(shù)據(jù)降低計(jì)算難度還是惡補(bǔ)計(jì)算以提高正確率？顯然都不是最佳選擇。教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生分析問題、發(fā)現(xiàn)問題并解決問題，即記住常用π值結(jié)果：1π到9π、16π、25π、36π、64π、96π，以及常用平方數(shù)結(jié)果：11到19的平方數(shù)，這樣就能減輕計(jì)算量，提升計(jì)算正確率。

借助“圓”單元的整體教學(xué)實(shí)踐，筆者深感數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)不應(yīng)拘泥于一課一題，應(yīng)以“發(fā)展思維”為目的，以培養(yǎng)“核心素養(yǎng)”為終極目標(biāo)，盡力挖掘數(shù)學(xué)本身承載的“文化元素”“思想方法”，基于學(xué)生立場(chǎng)大視域、高角度地對(duì)教材、教學(xué)方式進(jìn)行調(diào)整與變革，在每一節(jié)“求聯(lián)求通”的課堂教學(xué)中，讓學(xué)生實(shí)現(xiàn)知識(shí)體系的自主建構(gòu)，在充滿人文關(guān)懷的探索中，提升自身的核心素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)：

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［２］ ?董毅. 數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)文化［Ｍ］. 合肥：安徽大學(xué)出版社，２０１２.

［３］ ?潘旭東. 思維發(fā)展：數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)的基點(diǎn)［Ｊ］. 小學(xué)數(shù)學(xué)教育，２０１７（Ｚ１）：９－１１.

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