袁春紅 韓祥臨

［摘? 要］ 從動機(jī)激發(fā)、數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)提升出發(fā)，將“完全平方公式”的歷史演變、思想方法與課堂教學(xué)內(nèi)容結(jié)合，在數(shù)學(xué)史視角下設(shè)計(jì)了“三線六環(huán)”教學(xué)模式，以“三線”扣“六環(huán)”，使學(xué)生在公式學(xué)習(xí)中智慧與情感共存，能力與素養(yǎng)并進(jìn).

［關(guān)鍵詞］ 完全平方公式；數(shù)學(xué)史；教學(xué)設(shè)計(jì)

引言

透過數(shù)學(xué)史，人們可以窺見數(shù)學(xué)思想以及數(shù)學(xué)文化的發(fā)展脈絡(luò). 無論是義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，還是普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，都強(qiáng)調(diào)要將數(shù)學(xué)文化滲透到課程內(nèi)容之中，這種滲透不是簡單將其穿插在教學(xué)活動中，而是利用數(shù)學(xué)史上的歷史事件和數(shù)學(xué)方法，達(dá)到激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)動機(jī)、拓展數(shù)學(xué)思維、提升數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)的目的. 在初中數(shù)學(xué)教材（浙教版）中，完全平方公式作為前面章節(jié)知識的延伸，它有助于學(xué)生對整式乘法的再理解；作為工具性內(nèi)容，它又為后續(xù)因式分解等知識的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)，在整體上起著承上啟下的作用. 可是，筆者經(jīng)過仔細(xì)研讀后發(fā)現(xiàn)，教材開篇直接由面積關(guān)系得到（a+b）2=a2+2ab+b2，再用多項(xiàng)式乘法進(jìn)行驗(yàn)證，至于為什么用這個公式、公式產(chǎn)生的必要性似乎并未解釋清楚，而且完全平方差公式的得出是基于完全平方和公式的推理，這樣做淡化了完全平方差公式的圖形表征. 如果借助完全平方公式的歷史演化過程，這兩個問題都能迎刃而解.

基于上述思考，筆者從HPM視角，采用了“三線六環(huán)”的教學(xué)設(shè)計(jì)，其中“三條線索”包括：有史可循、有理可依和有地可用；“六個基本環(huán)節(jié)”包括：情境引入、公式探究、推理驗(yàn)證、學(xué)用結(jié)合、首尾呼應(yīng)和課堂小結(jié)（見圖1）.

首先，借助完全平方公式的歷史演化過程把握公式的形成過程，使教學(xué)有史可循. 具體來說，可通過重構(gòu)求平方根的歷史導(dǎo)入課題，讓學(xué)生在情境中獲得學(xué)習(xí)的內(nèi)在動力；通過《幾何原本》的內(nèi)容，驗(yàn)證公式真?zhèn)?；通過婆什迦羅的平方算法，體會公式的實(shí)用性；通過劉徽在《九章算術(shù)注》中給出的算法，去解決引入中未完待續(xù)的問題，使前有交代，后有照應(yīng).

其次，完全平方公式的驗(yàn)證依靠的是幾何圖形和代數(shù)推導(dǎo)兩方結(jié)論的一致性. 因此，通過“數(shù)形結(jié)合”的推理過程，能夠使公式更具說服力，做到有理可依.

最后，所謂英雄無用武之地乃廢材也，數(shù)學(xué)公式亦然. 弗賴登塔爾曾說：“數(shù)學(xué)來源于現(xiàn)實(shí)，存在于現(xiàn)實(shí)，并且應(yīng)用于現(xiàn)實(shí).［1］”因此，筆者從完全平方公式實(shí)際應(yīng)用出發(fā)，設(shè)計(jì)了一系列習(xí)題，讓學(xué)生在參與做題的過程中感受公式的實(shí)用價值. 通過這樣的方式，以“三條線索”貫穿“六個環(huán)節(jié)”，使教學(xué)內(nèi)容更加豐富，教學(xué)情節(jié)更加完整，讓學(xué)生感受到公式應(yīng)從何處來，又會用在何處.

教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施

（一）歷史溯源

在符號代數(shù)誕生前，完全平方公式的產(chǎn)生源于求某個數(shù)的平方、平方根以及解一元二次方程的需要，表征形式主要包括圖形和文字［2］. 下面，筆者就這三種來源進(jìn)行簡要的總結(jié)梳理.

（二） 教學(xué)過程

1. 研究之需，情境引入

問題組：

問題1. 如果一個正方形的面積是16，那么它的邊長是多少？

問題2. 如果一個正方形的面積是25，那么它的邊長是多少？

問題3. 如果一個正方形的面積是20，那么它的邊長是多少？

設(shè)計(jì)意圖 學(xué)生面對完全平方公式這一結(jié)論性知識時，不可避免地會對公式的“起”和“源”產(chǎn)生困惑，教學(xué)要破除困惑，可以從其歷史發(fā)展中尋找答案. 完全平方公式的產(chǎn)生源于平方根的估算. 可是，劉徽在《九章算術(shù)注》中給出的的被開方數(shù)比較大，如果一開始就給學(xué)生呈現(xiàn)這道題，學(xué)生接受起來比較困難. 這里，筆者作了改編，以問題組的形式出示以上3個題，讓學(xué)生求已知正方形的邊長，編排上由淺入深，直到問題3，學(xué)生馬上能夠回答出大致范圍在4和5之間. 對于更精確的估算值學(xué)生卻不知從何入手，這種認(rèn)知沖突恰好是學(xué)生感受為什么要學(xué)習(xí)完全平方公式的最好載體. 此時，筆者假設(shè)其邊長比4大x或者比5小x，再引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)正方形的面積公式列出方程（4+x）2=20或者（5-x）2=20. 而要進(jìn)一步確定x的值，就得先弄明白方程左邊的代數(shù)式究竟是什么，這樣一來，就使得學(xué)生要探究的問題在創(chuàng)設(shè)的情境中徐徐展開.

2. 公式探究，發(fā)現(xiàn)規(guī)律

活動1. 發(fā)現(xiàn)結(jié)構(gòu)特征

利用多項(xiàng)式乘法計(jì)算：

（1）（2+x）2=（2+x）（2+x）=______.

（2）（m+1）2=______.

（3）（p-5）2=______.

問題組：

問題1. 觀察算式左右兩邊，有什么規(guī)律？

問題2. 等號左邊有什么特點(diǎn)？等號右邊有什么特點(diǎn)？

問題3. 你能用字母將你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律表示出來嗎？

問題4. 你能用自己的語言描述這兩個公式嗎？

活動2. 歸納結(jié)構(gòu)特征

符號語言：（a+b）2=a2+2ab+b2

（a-b）2=a2-2ab+b2

文字語言： 兩數(shù)和（差）的平方 等于 這兩個數(shù)的平方和 ，加上（減去） 兩數(shù)乘積的兩倍. （順口溜：首平方，尾平方，乘積的兩倍中間放，乘積的符號看前方）

設(shè)計(jì)意圖 此環(huán)節(jié)要完成三個任務(wù)：一是借助多項(xiàng)式乘法，從特殊例子中發(fā)現(xiàn)完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征；二是引導(dǎo)學(xué)生將結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行提煉和歸納，再分別用符號語言和文字語言予以描述［3］；三是將文字語言再提煉成順口溜的形式，強(qiáng)化記憶. 在此環(huán)節(jié)中，學(xué)生經(jīng)歷了從特殊到一般的公式探究過程以及數(shù)學(xué)語言“表述—修改—表述”的完善過程. 此環(huán)節(jié)能夠培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力以及數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力，同時加深其對公式結(jié)構(gòu)特征的理解.

3. 推理驗(yàn)證，數(shù)形結(jié)合

活動1. 幾何法驗(yàn)證（a+b）2=a2+2ab+b2（小組合作）

問題組：

問題1.觀察式子（a+b）2=a2+2ab+b2，看到（a+b）2，a2，b2，你能聯(lián)想到什么？

問題2. 圖5是三個邊長不等的正方形，從左往右，邊長依次為a，a+b，b，思考該如何移動這三個正方形，證明（a+b）2=a2+2ab+b2.

數(shù)學(xué)史片段引入：古希臘的歐幾里得在《幾何原本》中也用幾何圖形演示了完全平方公式的論證過程，其過程正好是圖6中大家想出來的拼湊方法. 書中描述“若任意兩分一個線段，則整線段上的正方形等于兩分段上的正方形加上這兩個分段構(gòu)成的矩形的兩倍”［4］.

活動2. 代數(shù)法驗(yàn)證（a+b）2=a2+2ab+b2（獨(dú)立完成）

問題：將（a+b）2展開，需要用到什么方法？結(jié)果是多少？

活動3. 驗(yàn)證（a-b）2=a2-2ab+b2（小組合作）

問題：類比完全平方和公式的驗(yàn)證過程，你能從代數(shù)和幾何上解釋完全平方差公式的推理過程嗎？（結(jié)果見圖7）

設(shè)計(jì)意圖 數(shù)學(xué)之美在于簡約嚴(yán)謹(jǐn)，僅憑猜測歸納出完全平方公式還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，教師必須對公式的正確性給出理性回答. 在這里，筆者從數(shù)形兩個角度思考：一是從“形”的視角來看，符號代數(shù)誕生前，古人就是憑借圖形認(rèn)識的完全平方公式. 因此，在幾何法驗(yàn)證公式時，教師可以再次融入數(shù)學(xué)史，先讓學(xué)生通過拼圖活動獲得完全平方和公式的幾何圖形，然后借助《幾何原本》（卷二）命題4中給出的圖形表征對公式進(jìn)行補(bǔ)充；二是從“數(shù)”的視角來看，考慮到學(xué)生剛學(xué)習(xí)了多項(xiàng)式乘法，因此，用代數(shù)法驗(yàn)證公式的正確性對學(xué)生來說并不復(fù)雜，學(xué)生完全有能力獨(dú)立完成；而且通過活動2的嘗試驗(yàn)證，學(xué)生還能從過程中體驗(yàn)成功的喜悅感，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的自信心. 活動3是在前兩個活動的基礎(chǔ)上，去驗(yàn)證完全平方差公式，目的是讓學(xué)生感受兩個公式在驗(yàn)證手法上的“異曲同工”. 此外，一些看似尋常的提問，實(shí)則也耐人尋味. 比如，活動前教師有意讓學(xué)生從（a+b）2，a2，b2處進(jìn)行聯(lián)想，激起發(fā)散思維，使學(xué)生很快與黑板上三個正方形的面積建立聯(lián)系，迅速拼出符合要求的圖形. 這樣，借助圖形的直觀性，能巧妙地讓學(xué)生意識到（a+b）2和a2+b2的聯(lián)系，可謂一箭雙雕，既牽動整個思維的聯(lián)想，又為突破2ab這個易錯點(diǎn)做了一個過渡.

凡事預(yù)則立，不預(yù)則廢. 教師在策劃教學(xué)活動時，理應(yīng)預(yù)想到學(xué)生可能有的教學(xué)行為. 比如，圖6中，筆者期待學(xué)生可以拼出左邊圖形，然后順勢引出《幾何原本》相關(guān)內(nèi)容. 但是，實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生很有可能還會想到第二種拼法，既能想到古人想到的方法，還能想出其他拼法，這對學(xué)生而言無疑是一種激勵. 比如，代數(shù)法驗(yàn)證（a-b）2=a2-2ab+b2時，學(xué)生可能又會給出不同的想法，有的會利用多項(xiàng)式乘法去推導(dǎo)，有的會在完全平方和的基礎(chǔ)上再思考，認(rèn)為：（a-b）2=a2+2a·（-b）+（-b）2，此算法蘊(yùn)含了初中數(shù)學(xué)中的換元思想，教師可瞄準(zhǔn)時機(jī)，恰逢其時地讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想，積累活動經(jīng)驗(yàn).

4. 學(xué)用結(jié)合，以學(xué)論教

練習(xí)1：

（1）若（x+2y）2看作兩個數(shù)的和的平方，則a，b各指代什么？補(bǔ)充下面書寫.

[（x+2y）2=（? ）2+2·（? ）·（? ）+（? ）2][（a+b）2 =? a2 +? ?2ab? ?+? ? b2]

（2）若（2m-3n）2看作兩個數(shù)的差的平方，則a，b各指代什么？補(bǔ)充下面書寫.

[（2m-3n）2=（? ）2-2·（? ）·（? ）+（? ）2][（a-b）2 =? a2? -? ? ?2ab? ? + b2]

（3）若（2m-3n）2看作兩個數(shù)的和的平方，則a，b各指代什么？補(bǔ)充下面書寫.

練習(xí)2 ：計(jì)算

①（3x+y）2； ②

x-

；

③（-m+5）2；④（-3a+4b）2.

練習(xí)3：計(jì)算

①1032； ②8.982.

數(shù)學(xué)史片段引入：作為工具性內(nèi)容，完全平方公式也可用作求解某個數(shù)的平方. 12世紀(jì)，印度數(shù)學(xué)家婆什迦羅在《莉拉沃蒂》這本書中，記載了兩種求平方的算法，其中一種就是利用完全平方公式，先將一個數(shù)拆成兩個數(shù)的和，然后再平方.

設(shè)計(jì)意圖 學(xué)生剛學(xué)習(xí)完兩個公式，筆者趁熱打鐵，以練習(xí)題的形式對所教內(nèi)容加以檢驗(yàn)、強(qiáng)化和鞏固.于是，筆者設(shè)計(jì)了以上3道題：練習(xí)1是為了讓學(xué)生準(zhǔn)確識別出公式中的a，b在具體式子中分別指代什么以及如何利用完全平方公式展開式子；練習(xí)2是為了將練習(xí)1中獲得的解題經(jīng)驗(yàn)進(jìn)一步通過同化和順應(yīng)兩種機(jī)制內(nèi)化到學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去. 同時，讓學(xué)生通過親自參與做題，體會公式中字母a，b的含義，它可以表示數(shù)、字母、單項(xiàng)式、多項(xiàng)式，加深學(xué)生對公式的理解，突破難點(diǎn)；練習(xí)3是為了讓學(xué)生感受用完全平方公式可以簡化運(yùn)算，體會公式的實(shí)用價值. 在練習(xí)中，筆者會在學(xué)生最近發(fā)展區(qū)內(nèi)搭建思維的階梯，嘗試再度引入數(shù)學(xué)史，告知學(xué)生數(shù)學(xué)的來源與思想，讓學(xué)生先理清算理，再去探究算法.

5. 首尾呼應(yīng)，回歸問題

問題：你能估算出的值嗎（結(jié)果保留兩位小數(shù)）？

分析 由前面討論的結(jié)果，筆者將問題轉(zhuǎn)化為了（4+x）2=20；接著，利用完全平方公式把（4+x）2展開，得到16+8x+x2=20；顯然2x<1，又因?yàn)?×0.4<1≤2×0.5，所以可以確定十分位是4，即圖8中黃乙正方形的邊長；假設(shè)（4.4+y）2=20，用同樣的方法求解，可以確定百分位是7，即圖8中黃丙正方形的邊長.

數(shù)學(xué)史片段引入：在韋達(dá)符號代數(shù)建立以前，人們常以文字或者圖形的形式來描述完全平方公式［5］. 比如，劉徽在《九章算術(shù)注》中就是用圖形去解釋的怎么求平方根，而劉徽的做法本質(zhì)就是我們求時的解法. 下面，我們給出《九章算術(shù)》中的一道問題，作為課后思考題，看看你們能否用今天學(xué)習(xí)的知識完成.

思考題：今有積（正方形的面積）五萬五千二百二十五（平方）步. 問：為方（正方形的邊長）幾何？

設(shè)計(jì)意圖 此環(huán)節(jié)旨在回歸原始問題，用新學(xué)習(xí)的完全平方公式解決引入中暫被擱置的問題，即估算的值，照應(yīng)開頭，從而達(dá)到內(nèi)容完整、有始有終的效果. 為了使學(xué)生進(jìn)一步熟悉開平方的過程，筆者又以《九章算術(shù)》中的原題作為思考題，讓學(xué)生課后完成. 原始問題的解決讓學(xué)生豁然開朗，劉徽的算法讓學(xué)生感嘆古人的智慧，增強(qiáng)了文化自信. 《九章算術(shù)》中的數(shù)學(xué)題讓學(xué)生躍躍欲試，使教學(xué)給學(xué)生以一種“余音繞梁，三日不絕于耳”之感.

6. 課堂小結(jié)，溫故知新

問題組：

問題1. 我們是如何獲得完全平方公式的？它能做什么？

問題2. 完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b2的結(jié)構(gòu)特征和本質(zhì)特征是什么？

問題3. 完全平方公式和平方差公式在結(jié)構(gòu)和本質(zhì)上又有什么區(qū)別和聯(lián)系？

問題4. 完全平方公式與多項(xiàng)式乘法二者在計(jì)算原理上有聯(lián)系嗎？（注意：完全平方公式具有承接和輔助的雙重性任務(wù)，見圖9）

設(shè)計(jì)意圖 該環(huán)節(jié)通過師生對話、生生交流，讓學(xué)生回顧整節(jié)課的學(xué)習(xí)過程，并將幾個關(guān)鍵問題反拋給學(xué)生，激起學(xué)生的反思意識.問題1強(qiáng)調(diào)對公式學(xué)習(xí)過程中起點(diǎn)和終點(diǎn)的認(rèn)識；問題2從外部結(jié)構(gòu)和內(nèi)在本質(zhì)出發(fā)對學(xué)生公式理解程度進(jìn)行檢驗(yàn)；問題3關(guān)注學(xué)生是否掌握了平方差公式和完全平方公式的“變與不變”，包括結(jié)構(gòu)上的可變“前者的結(jié)果是2項(xiàng)，后者的結(jié)果是3項(xiàng)”以及本質(zhì)上的不變“公式中的字母都可以表示數(shù)、字母、單項(xiàng)式、多項(xiàng)式”等知識；問題4強(qiáng)調(diào)學(xué)生對知識結(jié)構(gòu)的整體性認(rèn)識，感受公式外延上的聯(lián)系.

教學(xué)反思

基于HPM視角的“三線六環(huán)”教學(xué)，讓學(xué)生在學(xué)、思、行中獲得了對公式的完整認(rèn)知，并將數(shù)形結(jié)合、換元、特殊與一般等隱性數(shù)學(xué)思想方法以數(shù)學(xué)知識為載體傳遞給學(xué)生，在潛移默化中促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展，又在潤物無聲中提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). 比如，學(xué)生從特殊的多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的算法中歸納概括出一般結(jié)論，形成數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)；從圖形面積的割補(bǔ)中給出完全平方公式的幾何解釋，形成直觀想象素養(yǎng)；從公式的運(yùn)用中，形成數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)等. 此外，本節(jié)課也為數(shù)學(xué)教學(xué)由高速發(fā)展走向高質(zhì)量發(fā)展提供了參考. 以往教學(xué)實(shí)踐表明，直接將公式和盤托出、片面追求速度的“快餐式教學(xué)”已經(jīng)落伍，教師必須重新審視公式課“如何教”的問題，不能讓公式成為學(xué)生頭腦中的“過客”，而應(yīng)當(dāng)使教學(xué)帶給學(xué)生“學(xué)有所思、思中解惑”的學(xué)習(xí)體驗(yàn).

參考文獻(xiàn)：

［1］ 張奠宙，宋乃慶. 數(shù)學(xué)教育概論［M］. 北京：高等教育出版社，2004.

［2］ 栗小妮，沈中宇. “完全平方公式”：從歷史中找動因、看形式［J］. 教育研究與評論（中學(xué)教育教學(xué)），2018（03）：46-51.

［3］ 徐強(qiáng). 學(xué)材再建構(gòu)，從教程走向?qū)W程——以“完全平方公式（第一課時）”學(xué)程設(shè)計(jì)為例［J］. 數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2017（05）：28-29.

［4］ 歐幾里得. 幾何原本［M］. 魏平譯. 西安：陜西人民出版社，2010.

［5］ 張亞琦，汪曉勤. 乘法公式：從歷史到課堂［J］. 中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2018（04）：48-51.