吳靜 王震 惠小健 章培軍 任水利

摘?要：《計(jì)算方法》課程的教學(xué)在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)值計(jì)算、數(shù)值方法的核心素質(zhì)和運(yùn)用計(jì)算機(jī)解決實(shí)際問(wèn)題能力方面起著舉足輕重的作用。針對(duì)當(dāng)前該課程的教學(xué)中存在的問(wèn)題，探討OBE理念下基于案例教學(xué)的《計(jì)算方法》課程教學(xué)改革與實(shí)踐研究。

關(guān)鍵詞：計(jì)算方法;OBE理念;案例教學(xué);改革實(shí)踐

一、緒論

OBE教育理念，被稱(chēng)為成果導(dǎo)向教育和能力導(dǎo)向教育。概括來(lái)講，有三個(gè)本質(zhì)特征，分別是以學(xué)生為中心，以成果為導(dǎo)向，以持續(xù)改進(jìn)為目的，代表的是先進(jìn)的教育理念。

在OBE教育理念的倡導(dǎo)下，我校確定了機(jī)械設(shè)計(jì)制造及其自動(dòng)化、土木工程、電子信息工程三個(gè)專(zhuān)業(yè)為工程教育認(rèn)證專(zhuān)業(yè)。工程教育專(zhuān)業(yè)認(rèn)證與成果為導(dǎo)向的應(yīng)用型人才培養(yǎng)目標(biāo)具有一致性，本質(zhì)上以學(xué)生為中心，圍繞培養(yǎng)目標(biāo)和畢業(yè)的達(dá)成度進(jìn)行教學(xué)安排和資源配置，核心以學(xué)生的學(xué)習(xí)成果為導(dǎo)向，評(píng)價(jià)專(zhuān)業(yè)教育的有效性，關(guān)鍵在于建立有效的質(zhì)量監(jiān)控和持續(xù)改進(jìn)機(jī)制。為了實(shí)現(xiàn)以成果為導(dǎo)向工程認(rèn)證教育的要求，需要與之相適應(yīng)的教學(xué)方法，這種方法就是案例教學(xué)法。

案例教學(xué)是一種基于實(shí)際問(wèn)題背景，利用案例分析進(jìn)行啟發(fā)式教學(xué)的新型教學(xué)方法，具有開(kāi)放性、互動(dòng)性和參與性的特點(diǎn)。《計(jì)算方法》課程為工程應(yīng)用和科學(xué)研究提供強(qiáng)有力的數(shù)值分析和數(shù)值實(shí)驗(yàn)支撐，對(duì)培養(yǎng)理工類(lèi)大學(xué)生的科學(xué)計(jì)算能力、原始創(chuàng)新能力和綜合素養(yǎng)非常重要。對(duì)于這門(mén)課程，采用案例教學(xué)是以成果為導(dǎo)向的工程教育認(rèn)證的必然要求，也是實(shí)現(xiàn)教學(xué)質(zhì)量提升的必由之路。它可以使學(xué)生從煩瑣的公式中解脫出來(lái)，將有限的時(shí)間和精力放在對(duì)課程宏觀的理解、對(duì)知識(shí)內(nèi)容之間有機(jī)聯(lián)系的認(rèn)識(shí)和提高動(dòng)手動(dòng)腦實(shí)踐能力等方面。

二、教學(xué)實(shí)際中存在的問(wèn)題

（一）教學(xué)內(nèi)容量大，有一定挑戰(zhàn)度，但教學(xué)課時(shí)非常少

《計(jì)算方法》課程的教學(xué)內(nèi)容非常豐富，前修課程是高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)等基礎(chǔ)類(lèi)數(shù)學(xué)課程，一般都將開(kāi)設(shè)本課程的時(shí)間選擇在本科階段的第三學(xué)期。實(shí)際上，本課程涵蓋眾多的數(shù)值方法和原理，內(nèi)容豐富，講解全部課程內(nèi)容約需80學(xué)時(shí)，而由于專(zhuān)業(yè)總學(xué)時(shí)和課程結(jié)構(gòu)的限制，目前教學(xué)學(xué)時(shí)只有32學(xué)時(shí)，其中理論課24學(xué)時(shí)，實(shí)驗(yàn)課8學(xué)時(shí)。囿于課時(shí)所限，實(shí)際教學(xué)中，部分重要的算法只講基本的思想，無(wú)暇展開(kāi)講解細(xì)節(jié)。

（二）教學(xué)內(nèi)容編排傳統(tǒng)，更新落伍，缺乏精彩案例

一方面，隨著人工智能、大數(shù)據(jù)等新興產(chǎn)業(yè)的興起，傳統(tǒng)經(jīng)典的數(shù)值分析方法已不能滿足新工科的需要，應(yīng)該對(duì)現(xiàn)有的教學(xué)內(nèi)容優(yōu)化重組，特別是要更新補(bǔ)充近年來(lái)在工程實(shí)踐中運(yùn)用和發(fā)展起來(lái)的重要的數(shù)值計(jì)算方法。另一方面現(xiàn)有教學(xué)內(nèi)容大多是由定義—定理—證明—例題的方式，缺乏貼近生產(chǎn)生活實(shí)際的教學(xué)案例，學(xué)生很難深刻理解計(jì)算方法的內(nèi)涵和要義。所以需要重點(diǎn)開(kāi)發(fā)設(shè)計(jì)有代表性、新穎性和鮮活的工程背景的教學(xué)案例，通過(guò)精彩的案例來(lái)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和動(dòng)力，激活課堂教學(xué)的活力。

（三）教學(xué)方法和手段因循守舊，傳統(tǒng)講授仍是主流

我們處在信息社會(huì)的潮流之中，在教學(xué)手段科技化、教育傳播信息化、教學(xué)方式現(xiàn)代化的今天，還有部分教師只采用傳統(tǒng)的單向講授式教學(xué)方法。這樣的教學(xué)方式和手段已不能適應(yīng)教育教學(xué)發(fā)展的需要，產(chǎn)生的教學(xué)效果也非常有限，無(wú)法實(shí)現(xiàn)工程教育認(rèn)證的考核目標(biāo)和要求。

（四）教學(xué)理念重理論，輕實(shí)踐

《計(jì)算方法》是對(duì)學(xué)生的實(shí)踐能力和要求很強(qiáng)的一門(mén)課程，以往的課程教學(xué)強(qiáng)調(diào)算法和原理的證明與推導(dǎo)，而對(duì)概念的實(shí)踐背景、算法設(shè)計(jì)的思想、算法如何落地實(shí)現(xiàn)并沒(méi)有真正去改革落實(shí)。實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生上機(jī)實(shí)踐操作很少，只能被動(dòng)地機(jī)械記憶一些公式和算法流程圖，很難深入理解和掌握重要數(shù)值方法的思想和算法精髓。學(xué)生的學(xué)習(xí)體驗(yàn)感和獲得感不強(qiáng)，對(duì)課程的內(nèi)容和知識(shí)點(diǎn)理解不深刻，分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力沒(méi)有得到提高，與課程的教學(xué)目標(biāo)和大綱要求有一定的差距，與工程認(rèn)證教育更是有較大的差距。

總之，目前我?！队?jì)算方法》課程教學(xué)存在的問(wèn)題比較嚴(yán)峻，所以進(jìn)行《計(jì)算方法》課程的改革與實(shí)踐顯得尤為迫切且意義重大。

三、教學(xué)改革的主要思路

（一）按照課程的內(nèi)容與對(duì)應(yīng)的指標(biāo)點(diǎn)來(lái)進(jìn)行教學(xué)內(nèi)容的優(yōu)化重組

以成果為導(dǎo)向的工程認(rèn)證教育，對(duì)學(xué)生的學(xué)業(yè)能力與水平都有明確的要求，同時(shí)對(duì)畢業(yè)要求進(jìn)行達(dá)成度評(píng)價(jià)，將每項(xiàng)畢業(yè)要求分解成若干可考核的指標(biāo)點(diǎn)，指標(biāo)點(diǎn)具有一定的關(guān)聯(lián)性和科學(xué)性，以便分析評(píng)價(jià)該項(xiàng)畢業(yè)要求的達(dá)成情況。通過(guò)對(duì)指標(biāo)點(diǎn)的分析和整理，合理減少指標(biāo)點(diǎn)之外的教學(xué)內(nèi)容，而適當(dāng)增加新穎的教學(xué)案例和最新的數(shù)值計(jì)算方法成果，對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行重新編排、優(yōu)化組合，形成數(shù)值代數(shù)、數(shù)值逼近、數(shù)值積分、微分方程的數(shù)值解等相對(duì)獨(dú)立的知識(shí)模塊。這樣可以有效化解課時(shí)少、教學(xué)任務(wù)繁重的矛盾，提高學(xué)生的達(dá)成度水平，實(shí)際上有效地提升了畢業(yè)生的能力水平。

（二）根據(jù)教學(xué)模塊化的安排，突出模塊的綜合性與思想性進(jìn)行案例設(shè)計(jì)

對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行優(yōu)化重組，教學(xué)模塊化是課程設(shè)計(jì)的內(nèi)在要求，也是進(jìn)行案例設(shè)計(jì)的重要前提。對(duì)每一個(gè)模塊開(kāi)發(fā)設(shè)計(jì)并選擇最優(yōu)的案例作為本模塊的教學(xué)案例，在設(shè)計(jì)案例時(shí)要突出本模塊的數(shù)值方法的綜合性和思想性，即一個(gè)教學(xué)案例中要有若干種相關(guān)的計(jì)算方法，解決的問(wèn)題要用幾種不同的數(shù)值方法，突出的數(shù)學(xué)思想是非常鮮明的，但都緊緊圍繞一個(gè)案例來(lái)展開(kāi)。

（三）根據(jù)大綱要求確定的指標(biāo)點(diǎn)，將教學(xué)案例通過(guò)Matlab軟件平臺(tái)實(shí)踐化

在《計(jì)算方法》課程案例教學(xué)法的實(shí)施過(guò)程中，教學(xué)案例進(jìn)行數(shù)學(xué)模型化以后，進(jìn)行數(shù)據(jù)分析與采集，設(shè)計(jì)算法，用Matlab編寫(xiě)程序，并對(duì)程序的收斂速度進(jìn)行分析，對(duì)結(jié)果進(jìn)行分析和整理，作為案例的補(bǔ)充和完善。當(dāng)然在這個(gè)過(guò)程中會(huì)遇到各種問(wèn)題，比如算法的設(shè)計(jì)是否能合理反映和解決問(wèn)題，程序的編寫(xiě)是否正確合理，代碼運(yùn)行能否通過(guò)，運(yùn)行的結(jié)果是否合理并滿足對(duì)精度的要求，等等。正是這些問(wèn)題的出現(xiàn)，給《計(jì)算方法》課程帶來(lái)了足夠的吸引力和與眾不同之處，因?yàn)槌霈F(xiàn)問(wèn)題就伴隨著解決問(wèn)題的過(guò)程，在這個(gè)過(guò)程中學(xué)生的分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力會(huì)真正提高。

四、教學(xué)改革的著力點(diǎn)與主要抓手

（一）將案例教學(xué)作為主導(dǎo)思想，貫穿整個(gè)教學(xué)過(guò)程

案例教學(xué)是一種科學(xué)有效的教學(xué)方法，是以成果為導(dǎo)向的工程認(rèn)證教育的必然要求，也是實(shí)現(xiàn)教學(xué)改革的主要抓手。主要從以下三個(gè)方面來(lái)進(jìn)行說(shuō)明：

一是案例教學(xué)的設(shè)計(jì)思路。案例教學(xué)中，教師是組織與引導(dǎo)者，學(xué)生是參與者。學(xué)生在教師的積極引導(dǎo)下，對(duì)案例進(jìn)行思考與分析，通過(guò)小組討論與交流，開(kāi)展自主探索研究，解決實(shí)際問(wèn)題。實(shí)際上，案例教學(xué)與設(shè)計(jì)，由四個(gè)階段有機(jī)進(jìn)行：其一，準(zhǔn)備階段。教師將案例與教學(xué)目標(biāo)相結(jié)合，并根據(jù)實(shí)際情況適當(dāng)調(diào)整內(nèi)容與觀察點(diǎn)。其二，分析階段。教師深入細(xì)致對(duì)案例進(jìn)行分析，編寫(xiě)對(duì)應(yīng)的教學(xué)設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)。第三，課堂實(shí)踐。教師課堂講解案例的背景、內(nèi)容和目的要求，通過(guò)設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)中的任務(wù)與觀測(cè)點(diǎn)，啟發(fā)學(xué)生動(dòng)腦思考，展開(kāi)小組討論，交流分享，集思廣益，形成解決方案。第四，評(píng)價(jià)階段。由課程實(shí)踐的實(shí)施過(guò)程，根據(jù)學(xué)生的實(shí)際表現(xiàn)，形成過(guò)程性評(píng)價(jià)。

二是案例教學(xué)庫(kù)的開(kāi)發(fā)建設(shè)。教學(xué)案例的開(kāi)發(fā)應(yīng)該遵循三個(gè)原則。第一，案例要緊密聯(lián)系教材知識(shí)點(diǎn);第二，案例要與學(xué)生專(zhuān)業(yè)背景相結(jié)合;第三，案例要有代表性。根據(jù)知識(shí)點(diǎn)的分布，將數(shù)值分析教學(xué)內(nèi)容模塊化，選擇若干具有典型代表的教學(xué)案例，具體如下表所示。

三是案例教學(xué)的實(shí)施步驟與過(guò)程。我校數(shù)值分析課程總學(xué)時(shí)只有32學(xué)時(shí)，其中理論課時(shí)24學(xué)時(shí)，實(shí)驗(yàn)課時(shí)8學(xué)時(shí)，但教學(xué)內(nèi)容卻包含6個(gè)章節(jié)，顯然在有限的時(shí)間內(nèi)講授過(guò)多的內(nèi)容給教學(xué)帶來(lái)一定的挑戰(zhàn)。為此，依托我校一師一優(yōu)課教學(xué)資源，借助中國(guó)大學(xué)慕課網(wǎng)、學(xué)堂云等網(wǎng)絡(luò)資源開(kāi)展線上線下混合式案例教學(xué)。具體實(shí)施過(guò)程為：教師首先發(fā)布線上學(xué)習(xí)清單，然后學(xué)生進(jìn)行線上自主學(xué)習(xí)，進(jìn)一步地進(jìn)行單元作業(yè)與測(cè)驗(yàn)。隨后，教師在課堂進(jìn)行案例教學(xué)。教師根據(jù)學(xué)生學(xué)習(xí)和測(cè)驗(yàn)情況，將案例細(xì)化，分解成若干個(gè)小問(wèn)題，然后組織學(xué)生以小組的形式對(duì)這些問(wèn)題進(jìn)行討論。在討論期間，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思想碰撞和自主探索。最后，學(xué)生通過(guò)學(xué)堂云或雨課堂等媒介將答案拍照上傳，每個(gè)小組將本組討論的結(jié)果通過(guò)實(shí)驗(yàn)報(bào)告的方式上交給任課教師。

（二）優(yōu)化重組教學(xué)內(nèi)容，更新補(bǔ)充最新數(shù)值計(jì)算方法

一方面將課程內(nèi)容進(jìn)行優(yōu)化重組，本課程教學(xué)內(nèi)容可分為數(shù)值代數(shù)、數(shù)值逼近、數(shù)值積分、常微分方程的數(shù)值解、Matlab軟件等主要部分。按照主體內(nèi)容分塊的思想，可合理地編排重組知識(shí)板塊，突出每一板塊的主要數(shù)學(xué)思想和方法原理，并著重講解不同板塊之間的聯(lián)系與區(qū)別，用能力與目標(biāo)這條主線將不同板塊穿起來(lái)，在教學(xué)中讓學(xué)生緊緊抓住這條線，理清重點(diǎn)與難點(diǎn)，剖析板塊中重要的思想方法。另一方面教師應(yīng)將圖像處理、人工智能等領(lǐng)域的重要數(shù)值算法和教師本人的學(xué)術(shù)成果融入教學(xué)中，在潛移默化中培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。例如，非負(fù)正交矩陣分解的交替方向乘子算法、特征值反問(wèn)題在振動(dòng)梁等工程領(lǐng)域中的應(yīng)用等。通過(guò)補(bǔ)充和優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容，對(duì)開(kāi)闊學(xué)生的學(xué)術(shù)視野有良好的促進(jìn)作用。

五、教學(xué)改革的過(guò)程與方法

（一）突出專(zhuān)業(yè)背景精選案例

代表性的“案例”是案例教學(xué)法的核心，因此在采用案例教學(xué)時(shí)精心選擇或設(shè)計(jì)案例是非常重要的環(huán)節(jié)。在案例的選取時(shí)，必須要突出所教專(zhuān)業(yè)的特色背景。圍繞所教專(zhuān)業(yè)的背景來(lái)選擇開(kāi)發(fā)案例，這樣能夠加深學(xué)生對(duì)算法和公式的記憶，深刻理解算法原理和解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)思想和方法，讓學(xué)生真正學(xué)會(huì)原理，弄懂方法，也能夠提高學(xué)生的分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。

（二）融入數(shù)學(xué)建模的思想，將案例模型化

《計(jì)算方法》課程與數(shù)學(xué)建模有密切的聯(lián)系。近年來(lái)，全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模題目越來(lái)越接近于生產(chǎn)生活實(shí)際，給定的問(wèn)題越來(lái)越復(fù)雜，并且數(shù)據(jù)量越來(lái)越大，對(duì)學(xué)生與指導(dǎo)教師提出了更高的要求。在建模過(guò)程中，涉及與數(shù)值分析與計(jì)算有關(guān)的環(huán)節(jié)幾乎無(wú)處不在，無(wú)論是模型的建立、求解還是優(yōu)化，都能找到數(shù)值分析的思想方法和相關(guān)算法。鑒于此，在《計(jì)算方法》課程的教學(xué)中應(yīng)該不斷培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的意識(shí)和能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和綜合素質(zhì)。相應(yīng)地在案例的開(kāi)發(fā)設(shè)計(jì)和教學(xué)過(guò)程中融入數(shù)學(xué)建模的思想，緊扣建模的主旨和要領(lǐng)。將案例經(jīng)過(guò)合理的簡(jiǎn)化和假設(shè)，建立數(shù)學(xué)模型，然后進(jìn)行模型的分析和檢驗(yàn)，并通過(guò)實(shí)踐檢驗(yàn)?zāi)Ｐ秃透倪M(jìn)模型，不斷地去逼近工程實(shí)際。

（三）借助Matlab平臺(tái)進(jìn)行案例實(shí)踐教學(xué)

Matlab（Matrix?laboratory）是當(dāng)今最流行、最重要的數(shù)學(xué)軟件之一，具有計(jì)算功能強(qiáng)大、界面友好、語(yǔ)法簡(jiǎn)單、容易編程和數(shù)據(jù)可視化等特點(diǎn)，深受高校師生和科研人員的歡迎。面對(duì)計(jì)算科學(xué)的發(fā)展，《計(jì)算方法》課程改革過(guò)去只面向計(jì)算機(jī)高級(jí)語(yǔ)言的做法，為學(xué)生構(gòu)建一個(gè)先進(jìn)的、面向科學(xué)與工程計(jì)算的平臺(tái)，在這樣一個(gè)平臺(tái)上，利用Matlab強(qiáng)大的數(shù)值計(jì)算功能和圖形處理功能，將抽象復(fù)雜的定義、概念及算法簡(jiǎn)單化、清晰化，使得計(jì)算結(jié)果“可視化”。Matlab軟件強(qiáng)大的計(jì)算能力和良好的交互性，提供了解決復(fù)雜工程實(shí)際問(wèn)題的可能性，可以將計(jì)算過(guò)程包括圖形圖像等動(dòng)態(tài)直觀地展現(xiàn)在學(xué)生們面前，增加學(xué)生的感性認(rèn)識(shí)和學(xué)習(xí)興趣。例如，拉格朗日插值中高次多項(xiàng)式插值呈現(xiàn)出的龍格現(xiàn)象，通過(guò)Matlab軟件平臺(tái)直觀演示后，學(xué)生可以看到插值多項(xiàng)式呈現(xiàn)出的振蕩性，為后續(xù)的分段低次插值埋下了伏筆?？傊?，借助Matlab平臺(tái)進(jìn)行案例實(shí)踐教學(xué)，有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，激發(fā)課堂教學(xué)的活力。

（四）采用多樣化的案例式教學(xué)法

首先，案例式教學(xué)法可以分解一些知識(shí)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，對(duì)有些難于理解的重點(diǎn)和難點(diǎn)，結(jié)合案例進(jìn)行講解更加直觀，有助于學(xué)生理解和掌握。其次，案例教學(xué)法適用分組實(shí)施，通過(guò)設(shè)置一些問(wèn)題，對(duì)學(xué)生就案例設(shè)計(jì)的算法采用各種辯論方式。通常設(shè)定正反兩組辯論，通過(guò)對(duì)各自不同的改進(jìn)算法進(jìn)行辯論，提高學(xué)生興趣，訓(xùn)練學(xué)生表達(dá)能力。再次，案例式教學(xué)可以采用以學(xué)生為主體、分組討論的形式教學(xué)，教師主要是輔導(dǎo)及引導(dǎo)，在學(xué)生在遇到困難時(shí)加以提示，形成良好的互動(dòng)討論模式。

結(jié)語(yǔ)

針對(duì)西京學(xué)院《計(jì)算方法》課程的教學(xué)現(xiàn)狀和客觀存在的問(wèn)題，從以成果導(dǎo)向教育為目的工程教育專(zhuān)業(yè)認(rèn)證的要求入手，以案例教學(xué)為主導(dǎo)思想和抓手，探討OBE理念下本科院?！队?jì)算方法》課程教學(xué)改革，并使用Matlab軟件作為教學(xué)實(shí)踐的重要手段與案例教學(xué)緊密結(jié)合，通過(guò)案例建設(shè)和案例教學(xué)為工程教育認(rèn)證下工科院?！队?jì)算方法》課程的教育教學(xué)方面提供一定的參考，也能夠帶動(dòng)其他理論與實(shí)踐課程的教學(xué)改革。

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基金項(xiàng)目：西京學(xué)院2021年度本科教學(xué)改革研究項(xiàng)目：OBE理念下基于案例教學(xué)的《計(jì)算方法》課程教學(xué)改革與實(shí)踐（JGYB2123）;2020年西京學(xué)院本科一師一優(yōu)課建設(shè)項(xiàng)目;2020年陜西省教育科學(xué)十三五規(guī)劃課題：STEM教育理念下大學(xué)數(shù)學(xué)類(lèi)課程的教學(xué)改革與實(shí)踐研究（SGH?20Y1542）

作者簡(jiǎn)介：吳靜（1982—?），男，陜西延安人，碩士，講師，從事計(jì)算數(shù)學(xué)、矩陣?yán)碚撆c應(yīng)用研究;王震（1981—?），男，陜西合陽(yáng)人，博士，教授，主要從事科學(xué)計(jì)算與控制論研究。