高博豪 吳立寶 郭衎

【摘 要】量感是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)之一，分布在各個(gè)年級(jí)教材內(nèi)容中，整體來看呈現(xiàn)以量感內(nèi)容為明線，以數(shù)學(xué)思維為暗線的安排方式?；趯W(xué)生量感不足的表現(xiàn)，教師應(yīng)把握量感的內(nèi)涵與特征，積極采取借用直觀、巧用經(jīng)驗(yàn)、精用對(duì)照、活用轉(zhuǎn)換與妙用近似的方式促進(jìn)學(xué)生量感的發(fā)展。

【關(guān)鍵詞】量感;直觀;活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

【作者簡(jiǎn)介】高博豪，天津師范大學(xué)教育學(xué)部在讀碩士研究生;吳立寶（通訊作者），天津師范大學(xué)教育學(xué)部教授，博士生導(dǎo)師;郭衎，北京師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院副教授，博士，博士生導(dǎo)師。

【基金項(xiàng)目】天津市教育科學(xué)規(guī)劃重點(diǎn)課題“中小學(xué)生綜合素質(zhì)評(píng)價(jià)研究”（BHE210014）

一、引言

量感是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)之一，旨在培養(yǎng)學(xué)生選用工具進(jìn)行合理測(cè)量，估測(cè)目標(biāo)物理量，理解統(tǒng)一度量單位，以及合理表達(dá)與應(yīng)用量感的能力。數(shù)學(xué)教材具有可教性與易學(xué)性[1]，就量感內(nèi)容而言是以量感知識(shí)為明線，以數(shù)學(xué)思維為暗線。以量感知識(shí)為明線主要體現(xiàn)在兩個(gè)方面。從橫向來看，量感的內(nèi)容在現(xiàn)行人教版小學(xué)1～6年級(jí)的12本數(shù)學(xué)教材中均有體現(xiàn);從縱向來看，量感內(nèi)容的安排呈現(xiàn)出由淺入深，由簡(jiǎn)到繁，由實(shí)物到模型的模式。以數(shù)學(xué)思維為暗線有兩個(gè)表現(xiàn)：其一，小學(xué)一年級(jí)的數(shù)學(xué)知識(shí)以數(shù)量感為主，在學(xué)生對(duì)數(shù)量的本能認(rèn)知基礎(chǔ)上進(jìn)行理性滲透，并采用類比轉(zhuǎn)換思想將教材中量感遷移至其他物理維度;其二，各維度量感內(nèi)容的安排均從學(xué)生的感性體驗(yàn)入手，逐步發(fā)展學(xué)生理性以及辨析的量感。在培養(yǎng)量感時(shí)，有的教師忽視了量感的整體性，將不同維度的量感割裂開來，不利于學(xué)生形成系統(tǒng)、理性、辨析的量感。梁培斌認(rèn)為量感的培養(yǎng)迫切需要從教材的視角進(jìn)行打量、優(yōu)化、挖掘、擴(kuò)展[2]43-45。因此，教師應(yīng)緊貼教材，根據(jù)不同維度量感的共性與特性，結(jié)合學(xué)生量感的表現(xiàn)，合理制訂量感培養(yǎng)策略，促進(jìn)學(xué)生量感由感性到理性再到辨析的整體發(fā)展。

二、學(xué)生量感不足的表現(xiàn)

史寧中認(rèn)為，學(xué)生量感最初的來源是對(duì)數(shù)量以及長(zhǎng)度的本能認(rèn)知[3]。學(xué)生在學(xué)齡前已經(jīng)具備對(duì)客觀世界的認(rèn)知能力，并借助于自身語言系統(tǒng)進(jìn)行表達(dá)[4]，表現(xiàn)為學(xué)生能用籠統(tǒng)的量感語言表達(dá)客觀世界。因此，學(xué)生并非沒有量感意識(shí)，而是缺乏科學(xué)、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)牧扛兴季S與表達(dá)能力。在教學(xué)實(shí)踐中常表現(xiàn)為量感側(cè)重失衡、篇幅失衡、生活失衡，即過度關(guān)注計(jì)算、測(cè)量而忽視估測(cè)、過程的理解以及現(xiàn)實(shí)應(yīng)用[2]43-45。綜上所述，學(xué)生量感不足的表現(xiàn)體現(xiàn)為以下四個(gè)方面。

（一）缺乏理性的量感認(rèn)知能力

學(xué)生早期對(duì)事物的認(rèn)知基于純粹的感性經(jīng)驗(yàn)，因此，學(xué)生并非沒有量感，而是缺乏科學(xué)、標(biāo)準(zhǔn)、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆椒ㄋ伎剂扛袉栴}以及表征量感結(jié)果。例如學(xué)生可以用很快、很大、很重等籠統(tǒng)的感性語言描述速度、體積、重量等物理量，但無法科學(xué)表達(dá)有多快？有多大？有多重？這種感性認(rèn)識(shí)具有個(gè)體差異性與非標(biāo)準(zhǔn)性，難以與他人共享并達(dá)成共識(shí)，進(jìn)而解決具體問題。再者，學(xué)生缺乏測(cè)量意識(shí)、方法，例如難以選擇合理的測(cè)量工具，對(duì)測(cè)量結(jié)果的認(rèn)知不清晰等。就估測(cè)而言，學(xué)生難以量化估測(cè)結(jié)果。測(cè)量是學(xué)生產(chǎn)生理性量感的必要步驟，測(cè)量能力的缺陷將造成學(xué)生理性量感的缺失。

（二）缺乏靈活的量感辨析能力

學(xué)生缺乏靈活的量感辨析能力是指學(xué)生對(duì)客觀規(guī)律的認(rèn)識(shí)是主觀的而非客觀的，是主觀認(rèn)識(shí)與客觀規(guī)律的矛盾體現(xiàn)，具體表現(xiàn)為以下兩個(gè)方面：其一是認(rèn)為看似無關(guān)的物理量就不存在客觀的聯(lián)系，例如難以厘清時(shí)間、距離、速度的關(guān)聯(lián);其二是容易將關(guān)聯(lián)性強(qiáng)的不同量感相混淆，例如求解表面積與體積時(shí)會(huì)造成混淆。在量感的現(xiàn)實(shí)應(yīng)用中，學(xué)生難以靈活判斷、合理應(yīng)用眾多物理?xiàng)l件，是阻礙學(xué)生量感發(fā)展的一大問題。

（三）缺乏熟練的量感運(yùn)算能力

由于估測(cè)運(yùn)算能力不足，使得學(xué)生估測(cè)結(jié)果與真實(shí)結(jié)果差別較大。出現(xiàn)這樣的問題，原因主要有以下兩個(gè)方面：一是學(xué)生對(duì)量的單位轉(zhuǎn)換能力較薄弱，尚未形成單位轉(zhuǎn)化的共性思想，如長(zhǎng)度單位換算能力薄弱的學(xué)生在面積單位、重量單位的換算中依舊存在問題;二是學(xué)生在多條件的應(yīng)用題中，難以快速、準(zhǔn)確識(shí)別對(duì)當(dāng)前情境有意義的條件，從而構(gòu)建求解方法。

（四）缺乏合理的量感應(yīng)用能力

學(xué)生缺乏合理的量感應(yīng)用能力表現(xiàn)在缺乏量感應(yīng)用的意識(shí)、缺乏量感遷移的能力?？陀^來講，教師按照教材教學(xué)在重視學(xué)生數(shù)學(xué)能力發(fā)展的同時(shí)忽略了量感的繼承性與共性，重結(jié)果輕過程，重書本輕應(yīng)用，導(dǎo)致學(xué)生缺乏遷移、應(yīng)用意識(shí)，難以將量感知識(shí)與實(shí)際問題相關(guān)聯(lián)?？陀^實(shí)在性是量感的本質(zhì)，單一模式的書本教學(xué)將量感內(nèi)容局限于用腦算、用筆寫，忽略了《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中對(duì)量感應(yīng)用意識(shí)的要求。

三、學(xué)生量感培養(yǎng)的“五用”策略

量感的培養(yǎng)應(yīng)以課程標(biāo)準(zhǔn)來定向，以教材為依據(jù)，以學(xué)情為基礎(chǔ)。遵循整體性原則，把握教材中量感內(nèi)容的共性;遵循發(fā)展性原則，助力學(xué)生量感動(dòng)態(tài)發(fā)展;遵循實(shí)用性原則，助力學(xué)生量感應(yīng)用意識(shí)的發(fā)展;遵循熟練性原則，引導(dǎo)學(xué)生以量感為直覺，從而快速、近似、準(zhǔn)確地表達(dá)結(jié)果。借用直觀、巧用經(jīng)驗(yàn)、精用參照、活用轉(zhuǎn)換、妙用近似的方式，著力于學(xué)生理性的量感以及辨析的量感形成與發(fā)展，如圖1所示。

（一）以借用直觀為策略之“眼”，增強(qiáng)學(xué)生量感學(xué)習(xí)的趣味性

筆者在調(diào)研中發(fā)現(xiàn)，很多學(xué)生在作業(yè)中涉及填寫單位時(shí)常“語出驚人”;解題過程中結(jié)果與單位的搭配“陰差陽錯(cuò)”等。學(xué)生在由情境記憶向語義記憶過渡時(shí)出現(xiàn)問題是造成上述情形的原因之一。因此，借用直觀是在量感的直觀性基礎(chǔ)上，借助真實(shí)事物或者現(xiàn)代化信息技術(shù)將物理量以外界刺激的方式展示，并納入學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，助力學(xué)生形成量感表象，將量感可視化。以直觀性作為量感培養(yǎng)策略之“眼”，可以有效增強(qiáng)學(xué)生的感知能力。直觀可視化教學(xué)為運(yùn)用一系列教學(xué)策略呈現(xiàn)出隱藏的教學(xué)內(nèi)容，使其清晰可見，化抽象為直觀，利于學(xué)生理解[5]。例如人教版數(shù)學(xué)二年級(jí)“認(rèn)識(shí)長(zhǎng)度單位”單元，目標(biāo)在于培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)識(shí)厘米、米等長(zhǎng)度單位，進(jìn)而合理表達(dá)長(zhǎng)度，即長(zhǎng)度量感從感性向理性發(fā)展。部分學(xué)生在本單元學(xué)習(xí)之后未形成長(zhǎng)度量感的體系觀，表現(xiàn)為在長(zhǎng)度單位轉(zhuǎn)換，計(jì)算應(yīng)用等方面存在缺陷。因此，在本單元起始階段，教師將數(shù)學(xué)元素融入教學(xué)情境可以讓教學(xué)更具生命力[6]。借用直觀的思想可以細(xì)化為以下三個(gè)方面。

1.借用直觀提升興趣

現(xiàn)代化信息技術(shù)對(duì)學(xué)生往往具有較大的吸引力，可將學(xué)生注意力集中于課堂。就內(nèi)容而言，展示的內(nèi)容既有人的身高、貓的身長(zhǎng)等常見實(shí)物，又有跳蚤、星球的大小等不常見情形。在已知與未知，熟悉與陌生的視覺刺激下，學(xué)生將注意力集中于課堂內(nèi)容，達(dá)到借用直觀，提升量感教學(xué)趣味性的目的。

2.借用直觀拓展維度

并非所有的物理量都可以用直觀方式展示，例如重量、溫度、磁場(chǎng)、電流等。針對(duì)上述物理量，教師可借助“從毫米到光年”“從克到噸”“從絕對(duì)零度到10000度”等視頻，借助現(xiàn)代化信息技術(shù)為教師在其他維度量感教學(xué)提供參考模式，助力學(xué)生對(duì)不同維度量感共性的歸納。

3.借用直觀形成體系

未形成量感體系觀念是學(xué)生單位換算、計(jì)算應(yīng)用薄弱的原因之一。因此，教師借用直觀引導(dǎo)學(xué)生形成長(zhǎng)度體系觀念尤為重要?，F(xiàn)代化信息技術(shù)可以不受具體事物大小、輕重、多少以及存在場(chǎng)合等影響，將這些實(shí)物根據(jù)需要放在同一個(gè)平臺(tái)上展示，助力學(xué)生把握本質(zhì)，逐步形成量感體系的觀念。

（二）以巧用經(jīng)驗(yàn)為策略之“手”，重視學(xué)生量感形成的基礎(chǔ)性

在調(diào)研中我們發(fā)現(xiàn)，很多學(xué)生雖然善于用自身經(jīng)驗(yàn)解決問題，但缺少關(guān)聯(lián)意識(shí)，如教師問學(xué)生：“你的一條胳膊有多長(zhǎng)？”很多學(xué)生回答不到一米，如若教師問學(xué)生一個(gè)和胳膊長(zhǎng)度相似的物體的長(zhǎng)度時(shí)，有的學(xué)生便回答不出來。人類最初的想象均源于客觀實(shí)物[7]。學(xué)生量感發(fā)展的過程應(yīng)該與人類對(duì)度量單位認(rèn)知的過程相一致，即以經(jīng)驗(yàn)入手，因此，將學(xué)生經(jīng)驗(yàn)作為量感培養(yǎng)策略之“手”，強(qiáng)調(diào)可操作性，可巧妙構(gòu)建理性量感與感性經(jīng)驗(yàn)的聯(lián)系。例如人教版數(shù)學(xué)三年級(jí)“測(cè)量”單元，教學(xué)目標(biāo)是強(qiáng)調(diào)發(fā)展學(xué)生測(cè)量能力、估測(cè)能力以及單位轉(zhuǎn)換能力。教師以學(xué)生“身體尺”為起點(diǎn)，在教學(xué)中巧妙構(gòu)建“目標(biāo)物體—身體比較—結(jié)果表征”的問題解決模式。教師引導(dǎo)學(xué)生用長(zhǎng)度單位來近似表達(dá)自身胳膊的長(zhǎng)度，形成自身一只胳膊的長(zhǎng)度大約是0.8米的判斷，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生用胳膊去測(cè)量目標(biāo)物體的長(zhǎng)度，增強(qiáng)學(xué)生關(guān)聯(lián)意識(shí)?！吧眢w尺”的使用不僅依靠教師的講授，更多借助于學(xué)生自身的操作經(jīng)驗(yàn)與生活感悟，這是十分重要的[8]。巧用經(jīng)驗(yàn)的思想可以細(xì)化為以下兩個(gè)方面。

1.精巧選用度量工具

精巧選用度量工具主要體現(xiàn)在以下兩個(gè)方面。一是巧選度量部位。教師引導(dǎo)學(xué)生定位所要測(cè)量或估測(cè)的物理量維度，引導(dǎo)學(xué)生選用與目標(biāo)物體物理量大小相近的身體部位作為參照物，通過大小相近快速表征量感結(jié)果，如引導(dǎo)學(xué)生測(cè)量書桌的長(zhǎng)度可以選用自己的胳膊作為度量工具等。二是巧妙構(gòu)建經(jīng)驗(yàn)與數(shù)學(xué)知識(shí)的聯(lián)系，例如教師提問學(xué)生手掌面大約多大，書本正面是幾個(gè)手掌面大小等問題時(shí)，此時(shí)，教師可給出一張面積是1平方分米的紙片，引導(dǎo)學(xué)生將手掌放在紙面上，從而幫助學(xué)生構(gòu)建起手掌面與1平方分米的聯(lián)系。

2.靈巧提升應(yīng)用意識(shí)

使用自身身體部位解決問題，可降低難度，增強(qiáng)體驗(yàn)感。因此，教師應(yīng)多將量感問題與學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)結(jié)合，幫助學(xué)生克服畏難情緒，提升量感的應(yīng)用意識(shí)。教師在培養(yǎng)學(xué)生量感的過程中，應(yīng)多利用生活中常見的物體，如教材正面長(zhǎng)大約是20厘米，寬大約是15厘米，書桌的高度大約是1米，一層樓的高度大約是3米，便攜式礦泉水瓶的容積大約是500毫升等。教師通過提問學(xué)生：“這個(gè)物體的重量和什么物體重量類似呢？”引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)未知與已知的聯(lián)系，巧妙提升學(xué)生量感的應(yīng)用意識(shí)。

（三）以精用參照為策略之“腦”，促進(jìn)學(xué)生量感表征的科學(xué)性

筆者在調(diào)研中發(fā)現(xiàn)，部分學(xué)生的量感結(jié)果表征也不盡如人意。例如有的學(xué)生回答一支筆的長(zhǎng)度是15米，天津廣播電視塔的高度是405千米;還有的學(xué)生對(duì)長(zhǎng)方體表面積與體積的概念產(chǎn)生混淆等。運(yùn)用類比的思想，通過參照物的選擇與對(duì)比精準(zhǔn)化學(xué)生量感。將參照性作為量感培養(yǎng)策略之“腦”。精用參照有以下三個(gè)含義：其一，教師引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)知度量單位及標(biāo)準(zhǔn)量;其二，引導(dǎo)學(xué)生理解單位要參與運(yùn)算;其三，引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成與同維度標(biāo)準(zhǔn)量精準(zhǔn)參照的習(xí)慣。例如，（1）在括號(hào)中填入合理的單位。天津廣播電視塔的高度是405（ ）。（2）判斷下列各項(xiàng)敘述是否正確。①一本字典的厚度是40厘米;②小明到奶奶家的距離是15千米，她最好走路去奶奶家。對(duì)此類問題，學(xué)生主要有以下幾種錯(cuò)誤：（1）對(duì)生活不常見的物體估測(cè)能力薄弱，如學(xué)生感知天津廣播電視塔的高度時(shí)無法確認(rèn)“很高”的范圍，即無法確定選用405分米還是405米。（2）對(duì)太大或太小的單位認(rèn)識(shí)不清晰，如1厘米和1毫米對(duì)學(xué)生而言都比較小，學(xué)生認(rèn)為40厘米與40毫米都很小，難以做出精細(xì)判斷;（3）對(duì)稍復(fù)雜的情境感知能力差，如15千米的距離是否適合走路。究其根本，是學(xué)生對(duì)度量單位標(biāo)準(zhǔn)量的感知不精以及參照對(duì)比意識(shí)的使用不精。精用參照的思想可以細(xì)化為以下三個(gè)方面。

1.精準(zhǔn)定位量感維度

仍以上文天津廣播電視塔的高度一題為例。教師首先引導(dǎo)學(xué)生精準(zhǔn)定位此量感維度是長(zhǎng)度，而非面積、重量等。精準(zhǔn)定位量感維度助力學(xué)生排除無關(guān)因素干擾，是借助量感理性解決問題的第一步。教師在教學(xué)中應(yīng)首先明確量感維度，從源頭杜絕單位與實(shí)際意義不匹配的錯(cuò)誤。

2.精細(xì)挑選度量單位

確定量感維度后，教師應(yīng)強(qiáng)調(diào)單位標(biāo)準(zhǔn)量的大小感知，如引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)強(qiáng)化1厘米，1分米，1米以及1千米大小的感知。例如估測(cè)天津廣播電視塔的高度，教師從學(xué)生的錯(cuò)誤點(diǎn)開始提問，如405分米可以換算為多少米？一層樓的高度是3米左右，那40.5米大概是幾層樓高？那天津廣播電視塔和10層樓差不多高嗎？通過問題逐步引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)用405分米描述天津廣播電視塔高度是不合理的，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生感知405米的長(zhǎng)度，相當(dāng)于100層樓的高度，即3個(gè)高層樓房疊加在一起的高度，可以表示天津廣播電視塔的高度。因此，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生借助參照對(duì)比的思想，合理化學(xué)生量感結(jié)果，精細(xì)化度量單位的使用。

3.精確進(jìn)行量感運(yùn)算

精確進(jìn)行量感運(yùn)算有以下兩個(gè)方面：一是借助量感的參照性與數(shù)字的運(yùn)算法，將不易直接感知的過大或過小的物體進(jìn)行合理的感知;二是量綱檢驗(yàn)，即量感結(jié)果的單位要與題目設(shè)問的物理意義相匹配。例如教師在引導(dǎo)學(xué)生感知1千米的長(zhǎng)度時(shí)是借助于1米的長(zhǎng)度而來，將1000米轉(zhuǎn)換為10個(gè)100米。教師引導(dǎo)學(xué)生明確1米的長(zhǎng)度并以此感知100米的長(zhǎng)度，進(jìn)而參照100米的長(zhǎng)度感知10個(gè)100米的長(zhǎng)度，即1000米的長(zhǎng)度。此方法有助于學(xué)生借助參照性精確感知“大”單位千米的意義并形成1千米是多長(zhǎng)的量感。再者，學(xué)生根據(jù)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高進(jìn)行表面積與體積的感知，認(rèn)識(shí)到1立方米與1平方米是無法參照對(duì)比大小的，如若求長(zhǎng)方體表面積，最終的單位結(jié)果應(yīng)該是面積單位，如10平方米，而不能是10立方米。

（四）以活用轉(zhuǎn)換為策略之“魂”，培養(yǎng)學(xué)生量感辨別的靈活性

在教學(xué)中，有的教師在引導(dǎo)學(xué)生得到“1小時(shí)走過的路程是15千米”的結(jié)論時(shí)會(huì)問學(xué)生速度是多少，部分學(xué)生會(huì)反問：“什么是速度？”這是學(xué)生對(duì)量感缺乏合理轉(zhuǎn)換的表現(xiàn)。轉(zhuǎn)換思想是學(xué)生理性量感發(fā)展為辨析量感的主要途徑，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生通過轉(zhuǎn)換思想，用聯(lián)系的眼光看待問題，即以量感的轉(zhuǎn)換性作為量感培養(yǎng)策略之“魂”，增強(qiáng)學(xué)生量感的靈活性。例如采用排水法求不規(guī)則物體體積，關(guān)鍵點(diǎn)在于學(xué)生理解液體體積不受形狀約束，建構(gòu)物體體積—水的體積轉(zhuǎn)化模式。再者，小學(xué)教材中速度的描述采用經(jīng)過多長(zhǎng)的路程需要用多久時(shí)間的方式，本質(zhì)上是將動(dòng)態(tài)的速度通過異類量轉(zhuǎn)換的思想借用路程與時(shí)間的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)換，從而降低學(xué)生認(rèn)知難度，有助于學(xué)生形成速度的量感?；钣棉D(zhuǎn)換的思想可以細(xì)化為以下三個(gè)方面。

1.靈活識(shí)別轉(zhuǎn)換情境

靈活識(shí)別轉(zhuǎn)換情境是使用量感轉(zhuǎn)換性的前提，也是教師在培養(yǎng)學(xué)生量感轉(zhuǎn)換意識(shí)第一步。教師在進(jìn)行轉(zhuǎn)換思維培養(yǎng)的過程中應(yīng)以學(xué)生熟悉的情境與經(jīng)驗(yàn)為起點(diǎn)，通過構(gòu)建學(xué)生經(jīng)驗(yàn)與客觀事實(shí)的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生靈活轉(zhuǎn)換的能力。如學(xué)生借助生活經(jīng)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)把手放進(jìn)盛滿水的水池中，水會(huì)溢出，且手浸入的體積越大，溢出的水也就越多。教師應(yīng)將此情境作為教學(xué)情境，結(jié)合自身語言或引導(dǎo)學(xué)生實(shí)驗(yàn)，以啟發(fā)誘導(dǎo)的方式幫助學(xué)生建立水位上升與溢出的體積之和就是物體浸入水中的體積這個(gè)觀念，對(duì)學(xué)生進(jìn)行轉(zhuǎn)換意識(shí)的培養(yǎng)。

2.靈活抽象轉(zhuǎn)換本質(zhì)

利用量感的轉(zhuǎn)換性解決問題其本質(zhì)在于化繁為簡(jiǎn)，化難為易，將學(xué)生難以理解的量感問題轉(zhuǎn)換為易于理解的量感問題。以排水法求不規(guī)則物體體積為例，其本質(zhì)在于將不規(guī)則的無法計(jì)算的體積轉(zhuǎn)化為能夠計(jì)算的體積，教師引導(dǎo)學(xué)生思考什么樣的物體形狀容易變但是體積卻能保持不變，引導(dǎo)學(xué)生想到水。在這個(gè)基礎(chǔ)上，教師繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生如何將不規(guī)則物體的體積轉(zhuǎn)化為水的體積，使學(xué)生自主建構(gòu)排水法的解決策略，把握轉(zhuǎn)換本質(zhì)，簡(jiǎn)化問題求得結(jié)果。

3.靈活歸納轉(zhuǎn)換模式

靈活歸納轉(zhuǎn)換模式可以概括為：若情境中已知與求解的量感不屬于同一維度，則采用異類量轉(zhuǎn)換的模式，如題目問的是速度，題設(shè)中給出的是路程與時(shí)間，并沒有描述快慢這樣的題設(shè)，此時(shí)教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生從速度的概念入手，即單位時(shí)間內(nèi)物體通過的距離。同時(shí)，教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生嘗試將不同物理量進(jìn)行組合，并在客觀規(guī)律中檢驗(yàn)其量感結(jié)果。若情境中的物理量是較為熟悉但難以求出時(shí)，應(yīng)采用同類量轉(zhuǎn)換的方式，例如學(xué)生無法求不規(guī)則物體的體積，那么教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生思考如何將不規(guī)則的物體轉(zhuǎn)化為等量體積的規(guī)則物體進(jìn)行求解。

（五）以妙用近似為策略之“心”，降低學(xué)生量感使用的難度

用量感的近似性求解問題是一種補(bǔ)償性措施，即通過合理的近似處理降低題目的難度以及解決問題的成本，損失一部分精確性從而提升問題解決的實(shí)效性[9]。因此，有時(shí)量感結(jié)果的表征并不嚴(yán)謹(jǐn)，只要適合當(dāng)下問題解決即可。量感近似性使用的關(guān)鍵在于引導(dǎo)學(xué)生理解近似的度，避免過猶不及。以用尺子測(cè)量物體長(zhǎng)度為例。如圖2所示，學(xué)生需要精確到毫米并在毫米的下一位根據(jù)量感的近似性進(jìn)行估讀，此時(shí)估讀的結(jié)果合理即可。另外，教師還可以引導(dǎo)學(xué)生通過日常生活中的非標(biāo)準(zhǔn)度量單位進(jìn)行量感結(jié)果的近似表征，如用“一拃”（手掌張開拇指尖到食指尖的距離，對(duì)于學(xué)生而言大約是16厘米）來快速近似表達(dá)目標(biāo)物體的長(zhǎng)度。妙用近似的思想可以細(xì)化為以下兩個(gè)方面。

1.巧妙分析近似范圍

近似范圍的確定對(duì)量感結(jié)果的準(zhǔn)確性至關(guān)重要。如圖2所示，學(xué)生發(fā)現(xiàn)目標(biāo)物體長(zhǎng)度測(cè)量結(jié)果不在刻度線上，此時(shí)無法進(jìn)行準(zhǔn)確的讀數(shù)。在此情境中，教師應(yīng)提問學(xué)生：“物體的長(zhǎng)度比多少長(zhǎng)，又比多少短呢？”引導(dǎo)學(xué)生將關(guān)注點(diǎn)集中到近似處理的方向，并感受近似的范圍，即最后量感的輸出結(jié)果應(yīng)該在3.1～3.2cm之間，超出這個(gè)范圍就是錯(cuò)誤的。接下來，教師繼續(xù)發(fā)問：“那么這個(gè)物體在3.1～3.2cm之間的長(zhǎng)度部分到這個(gè)格子的一半了嗎？四分之一呢？”教師此時(shí)關(guān)注如何引導(dǎo)學(xué)生借助二分法的思想使用量感的近似性進(jìn)行合理估計(jì)，如果正好在格子一半的位置，那么下一位估讀為5，即3.15cm，如果在四分之一的位置，那么近似估讀為3.12cm或3.13cm，在四分之三的位置估讀為3.17cm或3.18cm。

2.巧妙采取近似措施

了解量感的近似性包括過程近似及結(jié)果近似，因此，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生合理選擇近似方式，降低表征與解決問題的難度。若量感結(jié)果輸出無法準(zhǔn)確表示或太過復(fù)雜，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用量感的結(jié)果近似進(jìn)行結(jié)果表征，如用3.2cm左右這樣的語言表達(dá)量感的結(jié)果。若問題不是依靠單一操作步驟可以解決，且其中包括對(duì)結(jié)果影響不大，重要性不高，運(yùn)算復(fù)雜或無法運(yùn)算的部分，此時(shí)教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生采用量感的過程近似，忽略煩瑣而非重要的部分，降低問題解決的難度。如估測(cè)一個(gè)礦泉水瓶子的容積，考慮到瓶蓋部分對(duì)整體容器容積的影響不足十分之一，那么此時(shí)可以忽略瓶蓋部分的影響將容器看作標(biāo)準(zhǔn)圓柱體，從而降低問題解決的難度，提高問題解決的效率，在近似準(zhǔn)確的條件下解決問題。

四、結(jié)語

學(xué)生量感的培養(yǎng)并非一蹴而就，教師對(duì)策略的選擇應(yīng)該緊緊圍繞教材，注意量感的整體性與不同維度量感的差異性?？傮w來看，量感培養(yǎng)的“五用”策略并非要完全體現(xiàn)在某一課時(shí)或單元中，而應(yīng)該放眼于義務(wù)教育階段學(xué)生量感統(tǒng)籌培養(yǎng)的過程中，借助“五用”策略將學(xué)生的量感向理性化、辨析化的方向培養(yǎng)。義務(wù)教育階段量感內(nèi)容的安排逐步從具體實(shí)物向抽象圖形過渡，小學(xué)階段更多指向?qū)唧w情境的測(cè)量與估測(cè)，而初中階段更強(qiáng)調(diào)對(duì)抽象圖形的感知與估測(cè)，例如八年級(jí)學(xué)生剛開始接觸全等三角形的概念時(shí)，往往從視覺上借助于量感判斷兩個(gè)三角形是否對(duì)應(yīng)的邊與角均相等，或是用尺子與量角器對(duì)兩個(gè)三角形進(jìn)行測(cè)量，從而進(jìn)行初步的判斷，這種初步的判斷對(duì)學(xué)生在兩個(gè)三角形全等的嚴(yán)謹(jǐn)論證方面提供了認(rèn)知的支撐點(diǎn)。由此可見，量感培養(yǎng)策略的制訂應(yīng)在“五用”策略的基礎(chǔ)上，結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展與學(xué)情進(jìn)行合理地演繹，更有針對(duì)性地促進(jìn)學(xué)生量感的發(fā)展。

參考文獻(xiàn)：

[1]吳立寶，寇晨紅，王建波.中小學(xué)數(shù)學(xué)教材的屬性與功能[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2021（10）：16-20，37.

[2]梁培斌.科學(xué)利用數(shù)學(xué)教材培養(yǎng)學(xué)生量感[J].教學(xué)與管理，2017（2）：43-45.

[3]娜仁格日樂，史寧中.度量單位的本質(zhì)及小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2018（6）：13-16.

[4]王莉.3-5歲兒童空間維度詞“大/小”的認(rèn)知研究[D].上海：上海師范大學(xué)，2009.

[5]梁培斌.小學(xué)數(shù)學(xué)量感可視化教學(xué)探索[J].教學(xué)與管理，2019（29）：40-42.

[6]張定強(qiáng)，張?jiān)拢跬?數(shù)學(xué)情境教學(xué)：理解現(xiàn)狀與增潤(rùn)課堂[J].中小學(xué)教師培訓(xùn)，2017（5）：58-61.

[7]史寧中.試論教育的本原[J].教育研究，2009（8）：3-10.

[8]史寧中.注重“過程”中的教育：《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》修訂的若干思考[J].人民教育，2012（7）：32-37.

[9]孔海燕，孫雨，宋廣文.小學(xué)生近似數(shù)量表征系統(tǒng)和工作記憶與數(shù)學(xué)成績(jī)的關(guān)系[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2017（2）：14-18.

（責(zé)任編輯：陸順演）