■安徽省霍邱縣第一中學(xué) 陳仿云 余其權(quán)(特級(jí)教師)

一、結(jié)構(gòu)統(tǒng)一,構(gòu)造函數(shù)

例1(2022屆深圳市實(shí)驗(yàn)學(xué)校月考)已知函數(shù)f(x)=,g(x)=alnx。

(1)若曲線y=f(x)-g(x)在x=2處的切線與直線x+3y-7=0垂直,求實(shí)數(shù)a的值;

(2)設(shè)h(x)=f(x)+g(x),若對(duì)任意兩個(gè)不等的正數(shù)x1,x2,都有＞2恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

解析:(1)由y=f(x)-g(x)=-alnx,得y＇=x-。

(2)h(x)=f(x)+g(x)=+alnx。

因?yàn)閷?duì)任意兩個(gè)不等的正數(shù)x1,x2,都有＞2 恒成立,設(shè)x1＞x2,則h(x1)-h(x2)＞2(x1-x2),即h(x1)-2x1＞h(x2)-2x2恒成立。

令F(x)=h(x)-2x,則問(wèn)題等價(jià)于函數(shù)F(x)=+alnx-2x在(0,+∞)上為增函數(shù),所以F＇(x)=x+-2≥0在(0,+∞)上恒成立,即a≥2x-x2在(0,+∞)上恒成立,即a≥(2x-x2)max=1。

故實(shí)數(shù)a的取值范圍為[1,+∞)。

二、尋找關(guān)系,變量化一

例2(2022屆陽(yáng)春市第一中學(xué)月考)已知函數(shù)f(x)=x2+ax+2lnx(a為常數(shù))。

(1)當(dāng)a≤4時(shí),討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;

(2)若f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2,且|x1-x2|≤,證明:|f(x1)-f(x2)|≤-4ln 2。

解析:(1)因?yàn)閒(x)=x2+ax+2lnx,x∈(0,+∞),所以f＇(x)=2x+a+。

設(shè)g(x)=2x2+ax+2,x∈(0,+∞)。

當(dāng)-4≤a≤4時(shí),Δ≤0,2x2+ax+2≥0成立,則有f＇(x)＞0,所以函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增。

(2)由(1)知函數(shù)f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2滿足2x2+ax+2=0,所以x1·x2=1,x1+x2=。

不妨設(shè)0＜x1＜1＜x2,則f(x)在(x1,x2)上是減函數(shù),故f(x1)＞f(x2)。

評(píng)注:本題的關(guān)鍵點(diǎn)為利用函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)求得x1,x2的關(guān)系,利用函數(shù)的單調(diào)性求得|f(x1)-f(x2)|=f(x1)-f(x2),代入解析式替換掉x1后得到僅含有一個(gè)變量x2的解析式,然后構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo),利用單調(diào)性解決問(wèn)題。

三、差的代換,變量化一

例3(2021 屆湛江市高三第一次模擬)已知函數(shù)f(x)=ex,g(x)=2ax+1。

(1)若f(x)≥g(x)恒成立,求a的取值集合;

(2)若a＞0,且方程f(x)-g(x)=0有兩個(gè)不同的根x1,x2,證明:＜ln (2a)。

解析:(1)令u(x)=f(x)-g(x)=ex-2ax-1,則u＇(x)=ex-2a。

若a≤0,則u＇(x)＞0恒成立,u(x)在R上單調(diào)遞增,又因?yàn)閡(0)=0,當(dāng)x＜0 時(shí),u(x)＜0,不合題意,故舍去。

若a＞0,令u＇(x)=0,得x=ln(2a),故當(dāng)x＜ln(2a)時(shí),u＇(x)＜0,u(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x＞ln(2a)時(shí),u＇(x)＞0,u(x)單調(diào)遞增。故u(x)max=u(ln(2a))=2a-2aln(2a)-1≥0。

令h(x)=x-xlnx-1,所以h＇(x)=-lnx,令h＇(x)=0,得x=1,故h(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減,故h(x)≤h(1)=0,即h(x)=x-xlnx-1≤0,即2a-2aln(2a)-1≤0,故2a=1,即a=。

綜上可得,a的取值集合為。

(2)方程f(x)-g(x)=0有兩個(gè)不同的根x1,x2,不妨令x1＜x2。

令t=＞0,即證e2t-1＞2tet,令g(t)=e2t-1-2tet,則g＇(t)=2et(et-t-1)。

因?yàn)閑t＞t+1,所以g＇(t)＞0,故g(t)單調(diào)遞增,g(t)＞g(0)=0,命題得證。

四、商的代換,變量化一

例4(2022屆皖西七校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=2lnx-ax2-bx(a,b∈R),g(x)=-lnx。

(1)當(dāng)a=-2時(shí),f(x)與g(x)在定義域上的單調(diào)性相反,求b的取值范圍;

(2)設(shè)x1,x2是函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn),且x1＜x2,求證:＜a(x1+x2)+b。

解析:(1)因?yàn)閍=-2,所以f(x)=2lnx+2x2-bx,由題意可知,f(x)與g(x)的定義域均為(0,+∞)。

又當(dāng)a=-2時(shí),f(x)與g(x)在定義域上的單調(diào)性相反,所以f(x)=2lnx+2x2-bx在(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以f＇(x)=+4x-b≥0對(duì)x∈(0,+∞)恒成立,即b≤+4x對(duì)x∈(0,+∞)恒成立,所以只需。

總之,證明或求解雙變量函數(shù)或不等式的基本思想是將二元函數(shù)或不等式轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)或不等式,可以合理利用雙變量之間的關(guān)系直接代入消元,也可以分散雙變量后直接構(gòu)造函數(shù),還可以變換不等式使兩個(gè)變?cè)蔀橐粋€(gè)整體即重組雙變量后換元成單變量的函數(shù),掌握這些常用的方法,則這類函數(shù)問(wèn)題就能迎刃而解。