■江蘇省宿豫中學 羅偉

導數(shù)是高考命題的熱點和難點之一,可以利用導數(shù)來證明不等式、求參數(shù)的取值范圍、探究函數(shù)的零點等問題,命制的題目具有結果獨特、綜合性強等特點,而構造函數(shù)是解決導數(shù)問題的基本方法,如何合理地構造函數(shù)是解題的關鍵,下面舉例談談構造函數(shù)的一些常用方法。

題型一、構造可導的積的形式函數(shù)

例1已知函數(shù)y=f(x)的圖像關于y軸對稱,且當x∈(-∞,0)時,f(x)+xf＇(x)＜0 成立,a=20.2·f(20.2),b=logπ3·f(logπ3),c=log39·f(log39),則a,b,c的大小關系為()。

A.a＞b＞cB.a＞c＞b

C.c＞b＞aD.b＞a＞c

解析:因為函數(shù)y=f(x)關于y軸對稱,所以函數(shù)y=xf(x)為奇函數(shù)。因為[xf(x)]＇=f(x)+xf＇(x),所以當x∈(-∞,0)時,[xf(x)]＇=f(x)+xf＇(x)＜0,函數(shù)y=xf(x)單調(diào)遞減;當x∈(0,+∞)時,函數(shù)y=xf(x)單調(diào)遞增。因為1＜20.2＜2,0＜logπ3＜1,log39=2,所以0＜logπ3＜20.2＜log39,所以b＞a＞c。故選D。

點評:如果題設條件滿足結構f＇(x)g(x)+f(x)g＇(x),可以構造函數(shù)h(x)=f(x)g(x)。例如:(1)對于f＇(x)+f(x)＞0(＜0),可構造函數(shù)h(x)=ex·f(x);(2)對于xf＇(x)+f(x)＞0(＜0),可構造函數(shù)h(x)=x·f(x);(3)對于xf＇(x)+nf(x)＞0(＜0),可構造函數(shù)h(x)=xn·f(x)等。

題型二、構造可導的商的形式函數(shù)

例2已知定義在R 上的可導函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f＇(x),若對于任意實數(shù)x,有f(x)＞f＇(x),且y=f(x)-1為奇函數(shù),則不等式f(x)＜ex的解集為()。

A.(-∞,0)B.(0,+∞)

C.(-∞,e4)D.(e4,+∞)

解析:因為y=f(x)-1為奇函數(shù),且定義域為R,所以f(0)-1=0,得f(0)=1。設h(x)=,則h＇(x)=,因為f(x)＞f＇(x),所以h＇(x)＜0,所以h(x)是R 上的減函數(shù),所以不等式f(x)＜ex等價于,所以x＞0。故選B。

題型三、對局部進行構造函數(shù)

例3已知函數(shù)f(x)=,若x0＜1,設直線y=g(x)為函數(shù)f(x)的圖像在x=x0處的切線,求證:f(x)≤g(x)。

證明:函數(shù)f(x)的圖像在x=x0處的切線方程為y=g(x)=f＇(x0)(x-x0)+f(x0)。

令h(x)=f(x)-g(x)=f(x)-f＇(x0)(x-x0)+f(x0),x∈R,則h＇(x)=f＇(x)-f＇(x0)=。

設φ(x)=-(1-x0)ex,x∈R,則φ＇(x)=-(1-x0)ex。

因為x0＜1,所以φ＇(x)＜0,所以φ(x)在R 上單調(diào)遞減。

因為φ(x0)=0,所以當x＜x0時,φ(x)＞0,h＇(x)＞0;當x＞x0時,φ(x)＜0,h＇(x)＜0。

所以h(x)在區(qū)間(-∞,x0)上為增函數(shù),在區(qū)間(x0,+∞)上為減函數(shù),故x∈R時,h(x)≤h(x0)=0,故f(x)≤g(x)。

點評:對于一類不等式的證明或求參數(shù)問題,若直接構造函數(shù)無法解決,則我們可以將問題轉(zhuǎn)化為構造函數(shù)h(x)=f(x)·g(x)或,其中f(x)與g(x)某一個函數(shù)可明顯判斷出與零的大小關系,則另外一個函數(shù)即為構造對象,可以簡化解題過程,順利解決問題。

題型四、先放縮再構造函數(shù)

例4設函數(shù)f(x)=ln(x+1)++ax+b(a,b∈R,a,b為常數(shù)),曲線y=f(x)與直線y=在點(0,0)處相切。

(1)求a,b的值;

(2)求證:當0＜x＜2時,f(x)＜。

解析:(1)a=0,b=-1。(過程略)

(2)當x＞0 時,由均值不等式得＜x+2,故+1。

所以f(x)=ln(x+1)+-1＜ln(x+1)+。

當0＜x＜2時,h＇(x)＜0,所以h(x)在(0,2)內(nèi)是減函數(shù)。

點評:若待求的函數(shù)式較為復雜時,可利用函數(shù)的單調(diào)性、基本不等式、已成立的不等式等將函數(shù)式的一部分進行放縮,然后再構造函數(shù),這樣可以獲得事半功倍的效果。例如:要證f(x)＜g(x)?f(x)＜h(x)(新構造的函數(shù))＜g(x);或f(x)＞g(x)?f(x)＞h(x)(新構造的函數(shù))＞g(x)。

題型五、變形后再構造函數(shù)

例5已知函數(shù)f(x)=kx,g(x)=,若不等式f(x)≥g(x)在區(qū)間(0,+∞)上恒成立,求實數(shù)k的取值范圍。

解析:f(x)≥g(x)在區(qū)間(0,+∞)上恒成立,即kx2-lnx≥0在區(qū)間(0,+∞)上恒成立,令h(x)=kx2-lnx(x＞0),則h＇(x)=。

(1)若k≤0,顯然h(x)≥0不恒成立。

點評:對于一類指數(shù)式的不等式,可以先對不等式兩邊取對數(shù),進行等價轉(zhuǎn)化,使函數(shù)式得以化簡,再構造函數(shù);或者對主元的結構形式進行換元,將分式化為整式進行換元,這樣可以簡化構造的函數(shù)。例如:本題如果直接構造函數(shù)h(x)=kx-,極值點不能具體求出,需要整體代換,過程相對復雜,沒有上述方法簡潔易行。