譚業(yè)靜

【摘要】近幾年來，我國各地高考始終堅持綜合能力題的立意，全面深入考查學(xué)生的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識，培養(yǎng)數(shù)學(xué)多維思想，積極探索試題的綜合創(chuàng)新思維設(shè)計.創(chuàng)新型高考試題主要是以被動問題探索為探究核心，以問題探究為發(fā)現(xiàn)途徑，以主動發(fā)現(xiàn)問題為探究目的，綜合考查考生自主創(chuàng)新活動意識和綜合創(chuàng)新能力，充分體現(xiàn)了高考的綜合考查主體作用和選拔性的功能.

【關(guān)鍵詞】高考數(shù)學(xué);創(chuàng)新型;題型評析

引 言

相較于一些傳統(tǒng)綜合試題來說，有著鮮明特點的創(chuàng)新型綜合試題要求應(yīng)試考生具備細致觀察、認真分析、合理結(jié)構(gòu)類比、準(zhǔn)確推理歸納的綜合能力.創(chuàng)新型高考試題的類型主要有：類比、歸納研究型，開放探索型，實用型，合情推理型，趣味邏輯型等.

一、高考數(shù)學(xué)通過運用創(chuàng)新型試題考查考生的自主創(chuàng)新能力

高考理科數(shù)學(xué)創(chuàng)新型試題主要是綜合測量檢查考生的自身發(fā)展性綜合學(xué)習(xí)能力.高考理科數(shù)學(xué)考試十分重視對學(xué)生的創(chuàng)新思維意識的綜合考查.考生的數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維意識主要表現(xiàn)在以下方面：對新穎的數(shù)學(xué)信息﹑復(fù)雜情境，能主動選擇有效的理論方法和科學(xué)手段進行分析、設(shè)問并處理，綜合且靈活地應(yīng)用自己所學(xué)的有關(guān)數(shù)學(xué)知識、思想和教學(xué)方法進行獨立的問題思考﹑理論探索和問題研究，提出各種解決實際問題的具體思路方案﹐并能有創(chuàng)造性地通過分析和設(shè)計解決實際問題.從近幾年的全國考題情況來看，創(chuàng)新型高考試題已逐漸成為當(dāng)前全國各個重點高考院校命題組努力追求的一個理想考試目標(biāo)之一.

二、高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新型試題的類型及其特點

（一）類比、歸納研究型

在學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，培養(yǎng)學(xué)生掌握解題思想的啟發(fā)性研究方法，對學(xué)生今后的學(xué)習(xí)與工作都會有很大的促進作用.類比數(shù)學(xué)研究中的題型相較于傳統(tǒng)信息化的遷移研究題型來得更直接，它在題目中會直接給出明確的命題方向，學(xué)生將學(xué)過的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識進行類比、歸納和應(yīng)用就會得到更一般的數(shù)學(xué)結(jié)論.近些年，全國高考明顯地加強了對廣大高考生掌握歸納與發(fā)現(xiàn)類比知識能力的綜合考查，即由考生通過猜想掌握類比知識到歸納發(fā)現(xiàn)科學(xué)新知，滲透了從局部到整體、從特殊到一般的多種思維表達方法.

（二）開放探索型

開放探索型數(shù)學(xué)題符合越來越開放的高中教育發(fā)展理念，從考查學(xué)生思維方面而言，它其實是為了提升高中學(xué)生敢于大膽嘗試與自由猜想的思維能力.學(xué)生大膽演繹，自由聯(lián)想，嘗試探索并驗證，將多種不同思維表達方式進行整合，尋求無固定解法的解題途徑.開放探索題的解法別致、多樣，進一步培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)造意識與思維，這是新的教育理念的具體體現(xiàn).

（三）實用型

把數(shù)學(xué)帶入學(xué)生切身體會的生活中去，是目前教學(xué)課程很關(guān)注的一個新理念.實用型數(shù)學(xué)試題是以社會生態(tài)環(huán)保、健康心理教育、經(jīng)濟社會發(fā)展等各種社會經(jīng)濟背景知識為主要載體而設(shè)立的社會相關(guān)綜合數(shù)學(xué)試題，考查的是學(xué)生能否把握對現(xiàn)實社會問題的有效處理轉(zhuǎn)化與有效運用的綜合能力，能夠提升學(xué)生的數(shù)學(xué)分析能力及理解能力.綜合知識型高考試題類型主要包括高考學(xué)科內(nèi)各章節(jié)知識、學(xué)科知識綜合交匯及其他學(xué)科知識，考生要更快速地解答這一類考試題目，就得從題中構(gòu)造數(shù)學(xué)模型著手，利用數(shù)學(xué)知識框架將與其相關(guān)的比如函數(shù)、數(shù)列、數(shù)軸、概率等知識點進行整合.高考綜合考試教學(xué)模式正在日益深入改革創(chuàng)新中，教師在針對高三年級學(xué)生重點復(fù)習(xí)高中數(shù)學(xué)知識點的過程中，要指導(dǎo)學(xué)生去重視對數(shù)學(xué)知識中所蘊藏的思想進行探索，提升解題技巧.

例1 （2018年全國Ⅱ卷理科第8題）我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果.哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和”，如30=7+23.在不超過30的素數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)，其和等于30的概率是（? ）.

A.112?? B.114?? C.115?? D.118

評析 該題充分弘揚我國中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，可以不斷增強學(xué)生的文化自覺和文化自信，引導(dǎo)學(xué)生形成獨立的世界觀.在講解試題之前，教師可以讓學(xué)生先發(fā)表對于該題的意見和解題思路并進行總結(jié)，寫到黑板上，如果有錯誤，教師及時指出，這樣能夠讓學(xué)生更加明確地了解習(xí)題中所運用到的知識，幫助學(xué)生鞏固知識點.

（四）合情推理型

合情推理是根據(jù)已有的某種數(shù)學(xué)理論事實推理結(jié)論，或根據(jù)個人已有數(shù)學(xué)實踐經(jīng)驗（包括數(shù)學(xué)理論實驗或物理實踐）和某種數(shù)學(xué)直觀現(xiàn)象進行數(shù)學(xué)推測而直接得到某些數(shù)學(xué)結(jié)果的一種數(shù)學(xué)推理.我們通過觀察現(xiàn)象，運用實驗、歸納、類比等多種方法直接可以獲得某種新的數(shù)學(xué)推理結(jié)論.從發(fā)現(xiàn)和掌握數(shù)學(xué)新知的角度來說﹐合情推理命題顯得特別重要.因此，高考數(shù)學(xué)命題非常重視通過考查各個學(xué)生的合情理論推理思維能力水平來達到提高學(xué)生創(chuàng)新思維意識的基本目的.

例2 古希臘時期，人們認為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是5-125-12≈0.618，稱為黃金分割比例，著名的“斷臂維納斯”便是如此.此外，最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是5-12.若某人滿足上述兩個黃金分割比例，且腿長為105 cm，頭頂至脖子下端的長度為26 cm，則其身高可能是（? ）.

A.165 cm? B.175 cm? C.185 cm? D.190 cm

評析 該題一出，引起社會各界的關(guān)注，更是有許多網(wǎng)友運用五花八門的方式進行解答.由此可以看出，重視演繹推理在古代是非常了不起的，因為古人往往處于一種需要努力維系生存的狀態(tài)，因此需要考慮實際問題.比如羅馬需要通過進攻維持帝國的強盛并且對征服的地區(qū)開展統(tǒng)治，因此高度重視軍事武器的改良、法律的完善，而輕視那些似乎不著邊際、沒有實用性的純數(shù)學(xué)理論.

（五）趣味邏輯型

邏輯學(xué)試題的研究對象主要是現(xiàn)代人們的邏輯思維活動形式及邏輯規(guī)律，在現(xiàn)代邏輯思維科學(xué)中，主要類型有形式邏輯﹑辯證主義邏輯和數(shù)理邏輯.其中趣味形式邏輯命題是一種形式邏輯，它從基本概念理解﹑邏輯命題、推理、邏輯數(shù)學(xué)基本規(guī)律等幾個方面，通過通俗而有趣的經(jīng)典故事形式介紹趣味邏輯學(xué)的基本知識及其實際應(yīng)用.趣味邏輯命題展現(xiàn)了新的邏輯數(shù)學(xué)魅力，

可以培養(yǎng)廣大學(xué)生的邏輯創(chuàng)新思維意識，提高廣大學(xué)生快速學(xué)習(xí)趣味邏輯數(shù)學(xué)的興趣，幫助廣大學(xué)生快速打開掌握邏輯數(shù)學(xué)知識的智慧寶庫，培養(yǎng)學(xué)生掌握駕馭各種邏輯數(shù)學(xué)工具的技巧.趣味邏輯型數(shù)學(xué)試題主要是教育部考試中心近年來新開發(fā)的一種創(chuàng)新型數(shù)學(xué)試題，其主要特點之一是新穎有趣，突出了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的邏輯思辨性﹑科學(xué)邏輯性和科學(xué)創(chuàng)新性.教師在教學(xué)過程中應(yīng)讓學(xué)生成為課堂的“主演”，在講解習(xí)題前，可以先讓學(xué)生陳述自己的解題思路，然后總結(jié)幾種解題思路寫到黑板上.如果只講解正確的解題思路，那么教師就先來用學(xué)生的解題思路，再把自己的解題思路講解給學(xué)生;如果學(xué)生的解題思路是錯誤的，那么教師應(yīng)該告訴學(xué)生解題思路錯誤的點與原因.這樣學(xué)生就能夠了解習(xí)題的題干、題眼，思考這道題用到哪些知識，從而鞏固學(xué)過的知識點.

三、針對創(chuàng)新題型的學(xué)習(xí)啟示

（一）復(fù)習(xí)鞏固數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識

學(xué)生在考前基礎(chǔ)學(xué)習(xí)和考后復(fù)習(xí)中要不斷探索鞏固所學(xué)基礎(chǔ)知識，注重基礎(chǔ)知識之間的相互聯(lián)系，對這些基礎(chǔ)知識需要有一個系統(tǒng)的知識認知體系結(jié)構(gòu)，同時，學(xué)生對學(xué)習(xí)過程中可能出現(xiàn)的一些錯誤點也要加以重視，找出學(xué)習(xí)過程中所犯的錯誤并及時對其進行糾正.總之，學(xué)生應(yīng)全面復(fù)習(xí)鞏固數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，以不斷提高分析數(shù)學(xué)問題和掌握解決實際問題的基本能力，并為不斷提高綜合數(shù)學(xué)能力水平打好堅實的基礎(chǔ).

基礎(chǔ)知識是非常重要的，一些同學(xué)在做題的過程中由于對公式運用不熟練導(dǎo)致解題思路不清晰，最終出現(xiàn)錯誤，所以應(yīng)當(dāng)在日常的練習(xí)中熟悉解題技巧，這樣才能確保得到基本分.邏輯思維能力固然重要，但是公式是基礎(chǔ)，要學(xué)會變通并熟練掌握，可通過反復(fù)練習(xí)不斷鞏固.當(dāng)前學(xué)生存在的主要問題：第一，不會解題.一些學(xué)生因為想不到這個考點運用的是哪些知識點，分不清楚需要運用的公式，加上受到思維定式的影響，最終導(dǎo)致不會解題.第二，解題速度慢.解題速度慢的主要原因是對于公式和基礎(chǔ)的解題思路不夠熟練，對知識點的記憶較為模糊.第三，部分學(xué)生在做題的過程中不夠細心，容易落入試題當(dāng)中的陷阱，又或者是由于馬虎出現(xiàn)錯誤，比如忘了加符號，忘了結(jié)果取整等.因此學(xué)生要在日常的練習(xí)過程中對重點公式反復(fù)記憶，掌握最基本的推理能力.

（二）注重探索，提高理論綜合應(yīng)用能力

在平常的教學(xué)過程中，教師要培養(yǎng)學(xué)生樹立靈活的綜合應(yīng)用思維意識和自主創(chuàng)新實踐意識，使他們在課間學(xué)習(xí)和集中復(fù)習(xí)時善于理性化地發(fā)散數(shù)學(xué)思維，將傳統(tǒng)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)思想和方法合理有效地運用到日常數(shù)學(xué)理論學(xué)習(xí)中去，提高自己分析并解決數(shù)學(xué)問題的綜合應(yīng)用能力.

例如，教師在講解立體幾何知識時，如果只讓學(xué)生通過想象就練習(xí)，難度會很大.因此，教師可以利用多媒體教學(xué)設(shè)備幫助學(xué)生建立直觀印象.例如，利用視頻課件和PPT動畫效果向?qū)W生展示幾何變換，這樣就會讓學(xué)生對立體圖形有更加系統(tǒng)的認識，能讓學(xué)生更加有效地了解抽象的知識.雖然多媒體設(shè)備的使用課堂已經(jīng)有較長的歷史，但是如果在高中課堂當(dāng)中不經(jīng)常使用，就失去了多媒體設(shè)備教學(xué)的意義.教師不僅需要充分、正確地運用自己的知識多樣性向?qū)W生解釋抽象的數(shù)學(xué)知識，還需要不斷增強學(xué)生在學(xué)習(xí)中的自信，這是教師在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的途徑.

（三）結(jié)合生活創(chuàng)新數(shù)學(xué)試題

教師在教學(xué)中應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生對知識的運用能力，使得學(xué)生能夠更加深入地理解知識，并且能夠運用所學(xué)知識解決實際生活中的問題.比如，2021年數(shù)學(xué)試卷以“五育并舉”教育方針為指引，通過情境創(chuàng)設(shè)引導(dǎo)考生關(guān)注生活，關(guān)注社會，關(guān)注勞動.第6題以北京冬奧會為背景宣傳志愿者服務(wù)，第17題以芯片生產(chǎn)中的刻蝕速率為原型，設(shè)計了概率統(tǒng)計的應(yīng)用問題，考查了考生對平均數(shù)、方差等知識的理解和應(yīng)用，考查學(xué)生的運算能力，同時還讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)在實際生產(chǎn)生活中的學(xué)科價值.結(jié)合學(xué)生的生活設(shè)置數(shù)學(xué)問題已經(jīng)較為常見，這類數(shù)學(xué)問題旨在對學(xué)生知識運用能力的考查，其源于學(xué)生的日常生活，卻又高于學(xué)生的日常生活，能夠有效地吸引學(xué)生的注意力，引導(dǎo)學(xué)生進入試題所創(chuàng)設(shè)的問題情境之中，引導(dǎo)學(xué)生的想象，增強學(xué)生對數(shù)學(xué)的親切感，從而使得學(xué)生主動地將問題的思考與實際生活結(jié)合起來.

例如，某公司的班車在7：00，8：00，8：30發(fā)車，小明在7：50至8：30之間到達發(fā)車站乘坐班車，且到達發(fā)車站的時刻是隨機的，則他等車時間不超過十分鐘的概率是（? ）.

A.13?? B.12?? C.23?? D.34

在解答此題時，教師要引導(dǎo)學(xué)生探究問題背后所蘊含的生活，代入幾何概型概率計算公式，最終得到答案12.這樣不僅對學(xué)生的知識運用能力進行了考查，也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)源于生活的理念.

（四）模型法解題

萬變不離其宗，學(xué)生在解題過程中要注重將多個知識點進行綜合，了解題目中滲透的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法.因此，教師要教會學(xué)生注意認真審題，了解命題人的意圖.針對創(chuàng)新型的高考試題，我們只要在科學(xué)方法的引導(dǎo)下，就一定會有很大程度的提高，所以提出了利用模型法解決此類問題.

創(chuàng)新型的題目雖然看起來較為新穎，但是最終的思想也是考查最基本的高中知識，所以我們解題的過程中需要熟悉題型，找到清晰的思路，然后將這個題目進行歸類，最終把它歸結(jié)為某一類考試題型.例如，將某一創(chuàng)新題型歸結(jié)為考查圓錐曲線的知識點，掌握這一模型就知道圓錐曲線的考點，如求焦點問題等，有了一定的解題思路，解答題目時就不會出錯.準(zhǔn)確答題的關(guān)鍵就是仔細審題并進行深入思考和分析，謹防疏漏，要注意題型的變化，最終，利用模型法順利解開謎題.

結(jié)束語

創(chuàng)新型試題已經(jīng)成為高考一種重要的題型，在對于人才的選拔、立德樹人理念的發(fā)展以及教學(xué)引領(lǐng)等各個方面都將起到積極的推動作用.因此，我們始終堅持在未來高考命題中研究和開發(fā)多種不同類型的創(chuàng)新型試題，對考生的綜合素質(zhì)和創(chuàng)新意識進行考查，這樣可以有效地幫助廣大考生積極備戰(zhàn)自己的高考，以便順利地考上理想的大學(xué).

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