鄭前前，楊文杰

（許昌學(xué)院數(shù)理學(xué)院，河南 許昌 461000）

1 古典概型理論構(gòu)建

本文通過概率論相關(guān)知識加深學(xué)生對測度相關(guān)知識的理解，進(jìn)而利用測度解決一些概率問題。概率論發(fā)展初期主要的研究對象為古典概型，具有樣本空間有限性及發(fā)生等可能性特點(diǎn)，下面我們討論測度論在古典概型中的應(yīng)用。

同理，隨機(jī)事件B發(fā)生的概率為：

根據(jù)以上理論，同樣可以得到

總結(jié)可得

進(jìn)而此方法也可以推廣到有限交、有限并、條件概率等情況。

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此外，我們考慮更特殊的有限集、可數(shù)集及不可數(shù)集之間的概率問題，不妨設(shè)全集為實(shí)數(shù)集和為實(shí)數(shù)集R的子集且根據(jù)勒貝格測度可知這里假設(shè)的高階無窮小，那么事件在實(shí)數(shù)集R的概率為

例如，一盒子里裝有4 個小球，其中有3 個是白色小球，1 個黑色小球。從其中取球2 次，每次任取1 個。設(shè)事件A為“第1 次取到的是白球”，事件B為“第2 次取到的是黑球”。（1）作放回抽樣情況下，求事件A,B的概率，事件A,B同時發(fā)生的概率。（2）作不放回抽樣情況下求 。

解：（1）易知此題為古典概率問題，將球進(jìn)行編號，1,2,3為白球。4 為黑球。

以上就是理論測度論解決古典概率的一般方法展示。

通過以上理論構(gòu)造，我們發(fā)現(xiàn)在經(jīng)典概率問題中，一些概率運(yùn)算可以通過本文提出的理論進(jìn)行簡單運(yùn)算，當(dāng)然可能會使計算過程更為復(fù)雜，但本文的主要落腳點(diǎn)在于如何簡化或者更容易使學(xué)生理解測度的定義及意義。古典概型問題的樣本空間都是有限的，故其測度均為零。但零測度并不意味著集合為空，即概率為零時，事件并不一定不會發(fā)生或者存在。如此就可以把古典概型問題和其測度統(tǒng)一，兩者相輔相成，從而克服實(shí)變函數(shù)教學(xué)中的困難。加深學(xué)生對所學(xué)知識的理解。同時我們規(guī)定

這也說明了在有限集、可數(shù)集、不可數(shù)集之間鴻溝的不可跨越性，即有限個有限集的并還是有限集，可數(shù)個可數(shù)集的并集還是可數(shù)集，不可數(shù)個不可數(shù)集的并還是不可數(shù)集。另外隨機(jī)變量及其分布也可按照以上規(guī)則進(jìn)行定義。

2 幾何概型理論建立

幾何概型的概率問題主要體現(xiàn)在測度的大小，同時測度往往不為零，其概率問題可以歸結(jié)為簡單函數(shù)的勒貝格積分，即一個隨機(jī)事件可以表示為

下面考慮非負(fù)簡單函數(shù) 勒貝格積分原理為

以上方法的引入也是幾何概型理論的推廣，黎曼積分無法積分的狄利克雷函數(shù)。在概率論中也是如此，所以幾何概型的積分也可以進(jìn)一步推廣到勒貝格積分上。因?yàn)槔肇惛穹e分都可以轉(zhuǎn)化為簡單函數(shù)的積分，以下我們就以簡單函數(shù)為例說明勒貝格積分在概率中的應(yīng)用。

令

通過以上例子可知勒貝格積分在幾何概型分布函數(shù)理論中也可以得到廣泛的應(yīng)用，利用勒貝格積分函數(shù)和簡單函數(shù)之間的關(guān)系，然后通過簡單函數(shù)得到積分面積及其概率，總之在概率論中一些常見的概率問題都可以通過勒貝格積分進(jìn)行解決，甚至更為簡單、方便。

3 總結(jié)

實(shí)變函數(shù)作為數(shù)學(xué)分析的后續(xù)拓展課程，其理論同樣適用于數(shù)學(xué)分析理論的應(yīng)用領(lǐng)域。如概率論中幾何概型的概率、期望及方差的計算。都可以使用勒貝格積分進(jìn)行計算。以上理論的建立為實(shí)變函數(shù)論的教學(xué)方式形象化提供了理論依據(jù)。同時也是勒貝格積分廣泛應(yīng)用的一個經(jīng)典案例，為學(xué)生進(jìn)一步深度理解實(shí)變函數(shù)提供了可能。