王庭婷

[摘 ?要] 幾何直觀是形成數(shù)學(xué)概念的基本手段，是得出數(shù)學(xué)規(guī)律的一種基本能力，是直觀理解數(shù)學(xué)的有效依托，因此如何培養(yǎng)幾何直觀就成了新課程改革推進(jìn)下的又一熱點(diǎn)問題。為了讓小學(xué)生的幾何直觀素養(yǎng)落地，筆者從幾何直觀的內(nèi)涵角度總結(jié)出了以下三大策略：指導(dǎo)學(xué)生畫圖，建立解題直觀的感知;建立畫圖慣性，形成直觀描述的本能;展示語言溝通，促成幾何思維的發(fā)展。

[關(guān)鍵詞] 幾何直觀;畫圖;語言溝通;策略

新課改風(fēng)向標(biāo)下，幾何直觀、運(yùn)算素養(yǎng)、創(chuàng)新意識等作為核心詞語，被增列進(jìn)小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)之中，這表示數(shù)學(xué)教學(xué)研究有了新的關(guān)注點(diǎn)，使培養(yǎng)小學(xué)生的幾何直觀素養(yǎng)成了熱點(diǎn)問題。從本質(zhì)上來說，直觀作為一種直覺思維的表現(xiàn)形式，它是形成數(shù)學(xué)概念的基本手段，是得出數(shù)學(xué)規(guī)律的一種基本能力，是理解數(shù)學(xué)概念的可靠依托。那么，如何使小學(xué)生的幾何直觀素養(yǎng)落地呢？筆者結(jié)合自身的認(rèn)識，從幾何直觀的內(nèi)涵角度總結(jié)出了以下三大策略。

[?] 一、指導(dǎo)學(xué)生畫圖，建立解題直觀的感知

美國數(shù)學(xué)家斯蒂恩曾說：若把一個(gè)特定問題轉(zhuǎn)化成一幅圖，那么這個(gè)問題作為一個(gè)整體就能被思維把握，不僅可以表達(dá)出問題的“意圖”，還能提升學(xué)生的數(shù)學(xué)水平?？梢姡莆找欢ǖ漠媹D技巧對于直觀解題是十分重要的。小學(xué)生的思維大多以形象思維為主，尤其是低年級的學(xué)生，實(shí)物或?qū)嵨锬Ｐ偷木唧w形象可以讓學(xué)生產(chǎn)生更深刻的認(rèn)知。因此，教師不妨從幫助學(xué)生樹立畫圖的意識和指導(dǎo)學(xué)生畫圖兩方面入手，幫助學(xué)生建立解題直觀的感知，積累幾何直觀的經(jīng)驗(yàn)。進(jìn)一步地，學(xué)生反復(fù)操作則可以逐步明晰到，畫圖是解決問題的一種重要策略，圖畫得越簡潔，越能深入幾何特征，越能清楚呈現(xiàn)數(shù)量關(guān)系。為此教師需要從教學(xué)內(nèi)容出發(fā)，有意識地統(tǒng)籌規(guī)劃畫圖的指導(dǎo)工作，將畫圖技能教給學(xué)生，最終讓學(xué)生形成用圖說話、用圖推理、用圖解題的良好習(xí)慣。

案例1 ?求比一個(gè)數(shù)多（少）幾的數(shù)

問題1：就數(shù)我最會畫！

①畫○比△多2個(gè);

②畫○比△少2個(gè);

③畫☆比△多4個(gè)。

設(shè)計(jì)意圖：提出要求讓學(xué)生動(dòng)手去畫，使其初步形成畫圖的意識，為進(jìn)一步畫圖思考奠基。

問題2：本周二年級各班級進(jìn)行了校園衛(wèi)生評比，大家看，評比結(jié)果已經(jīng)粘貼出來了，你們覺得如何擺或者畫就可以在最短時(shí)間內(nèi)看出二班得到了多少面紅旗呢？（教師出示圖1，學(xué)生陷入思考，片刻后就有了答案）

生1：想要清楚看到一班和二班紅旗的數(shù)量，通過畫出圖2，這樣上下一一對應(yīng)就可以很快發(fā)現(xiàn)多或少的面數(shù)。

師：很好，“一一對應(yīng)”在畫圖中非常重要。但老師覺得畫紅旗有些煩瑣，如果用線段圖來表示，應(yīng)該可以更快，但是該如何表示呢？

（經(jīng)過教師的點(diǎn)撥，學(xué)生開始嘗試，由于是初次嘗試，學(xué)生的腦海中沒有參考模仿的畫法，自然畫得粗糙而雜亂。但由于親歷了從物品到圖形再到線段圖的抽象過程，學(xué)生實(shí)現(xiàn)了實(shí)物表征向著圖形表征的轉(zhuǎn)變，感受到了線段圖表示數(shù)量關(guān)系的簡潔、直觀。）

小學(xué)數(shù)學(xué)中的解決問題都伴隨著數(shù)量關(guān)系的分析，而隨著學(xué)生們學(xué)會了畫圖技巧，這些難以分析的數(shù)量關(guān)系都變得“一目了然”了。以上案例說明，教師從具體問題出發(fā)，挖掘問題的內(nèi)涵，指導(dǎo)并教會學(xué)生畫圖的方法，是提升學(xué)生幾何直觀素養(yǎng)的前提。

[?] 二、建立畫圖慣性，形成直觀描述的本能

做好畫圖示范和教會學(xué)生畫圖是形成幾何直觀的前提，而幫助學(xué)生建立畫圖慣性是培養(yǎng)幾何直觀的必要條件。這需要教師通過多種方法讓學(xué)生體會到畫圖對探求解題思路和理解知識帶來的好處，讓學(xué)生充分理解畫圖的作用和意義，使學(xué)生在畫圖實(shí)踐中逐步形成直觀描述的本能。因此，幾何直觀素養(yǎng)的培養(yǎng)，不能停留在學(xué)生會畫圖和接受指令畫圖的層面上，而應(yīng)從“幫扶”逐步向“放手”過渡，讓學(xué)生由于長期經(jīng)歷圖形描述與問題分析相溝通的過程，促成畫圖的本能，這樣，學(xué)生的幾何直觀方能在親歷中逐步發(fā)展起來。

案例2 ?植樹問題

問題情境：某村打算在長為20米的村路的一邊每隔5米栽一棵樹（兩端都需栽上），問一共需要樹苗多少棵？

師：大家計(jì)算一下需要準(zhǔn)備多少棵樹苗呢？

生1：根據(jù)棵樹=總長÷間隔長，可以得出20÷5=4（棵）。

生2：根據(jù)棵樹=總長÷間隔長+1，可以得出20÷5+1=5（棵）。

師：剛才兩位同學(xué)給出了不同的結(jié)果，你是如何想的？覺得誰的結(jié)果正確呢？請自己想辦法進(jìn)行驗(yàn)證。（由于學(xué)生已經(jīng)具備了一定的畫圖經(jīng)驗(yàn)，而此處復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系又令學(xué)生不得不進(jìn)入畫圖的狀態(tài)。很快，大部分學(xué)生已經(jīng)埋頭畫出了線段圖）

師：大家都不約而同地選擇畫線段圖，那誰能描述一下你所畫的呢？

生3：先用一根線段表示該村20米長的村路，然后5米栽1棵樹……就這樣剛好把這根線段分成了4段。

師：4段哪里來的？

生3：20里面有4個(gè)5，所以這里有4個(gè)間隔。

師：從中可以得出一個(gè)什么數(shù)量關(guān)系式？

生4：間隔數(shù)=總長÷間隔長。

師：很好，還能繼續(xù)分析嗎？

生3：1個(gè)間隔栽1棵樹，再加上起點(diǎn)的1棵，一共就是5棵樹。

師：清晰而準(zhǔn)確的分析，非常好！現(xiàn)在，大家腦海中是不是已經(jīng)形成了一個(gè)新的數(shù)量關(guān)系式？

生6：當(dāng)兩端都栽時(shí)，棵樹=間隔數(shù)+1。

……

可見線段圖的直觀為圖形與數(shù)學(xué)符號間的轉(zhuǎn)換提供了便利。參考以上案例，教師需要給學(xué)生畫圖思路的產(chǎn)生提供足夠的時(shí)間，使學(xué)生以形象的圖形讓復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題直觀化，在探索解題思路的過程中積累數(shù)學(xué)解題經(jīng)驗(yàn)，從而提升學(xué)生的幾何直觀素養(yǎng)。

[?] 三、展示語言溝通，促成幾何思維的發(fā)展

直觀可以給予感官直接的感知，可以讓學(xué)生“借形似數(shù)”。而教師如果能為學(xué)生提供用圖形描述數(shù)量的過程，并且以形的直觀來挖掘數(shù)與形間的聯(lián)系，就可以充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考。而這樣的思考過程卻是隱性的，需要通過顯性的方式展現(xiàn)出來。因此，教師需要讓學(xué)生互相溝通圖形的構(gòu)思與語言的表達(dá)，通過有效的互動(dòng)讓學(xué)生大膽描述數(shù)形結(jié)合的過程，從而實(shí)現(xiàn)幾何思維的發(fā)展。當(dāng)然，由于小學(xué)生的思維尚處于初級階段，可能還存在很多片面、幼稚的想法，因此高效的互動(dòng)交流可以讓學(xué)生相互啟迪，充分感受數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過程，從而真正且直觀地理解數(shù)學(xué)。

案例3 ?圓的面積

探究1：每個(gè)小組取出事先準(zhǔn)備好的圓形紙片，以分割、拼組等方式，將其轉(zhuǎn)化成一個(gè)曾經(jīng)學(xué)過的圖形。（學(xué)生投入操作活動(dòng)中，課堂氛圍火熱，大部分小組將其轉(zhuǎn)化成了一個(gè)近似長方形的圖形，也有個(gè)別小組將其轉(zhuǎn)化成了一個(gè)近似平行四邊形的圖形）

探究2：觀察轉(zhuǎn)化而得的圖形，組內(nèi)每個(gè)人都說一說它與之前的圓有何關(guān)系，之后請小組分別展示。（筆者關(guān)注到學(xué)生的表述過程，學(xué)生經(jīng)過動(dòng)手操作和深入思考，可以清楚地說出：①近似長方形的圖形的長和圓的周長間的關(guān)系;②近似長方形的圖形的寬與圓的半徑間的關(guān)系;③圓的面積計(jì)算公式的推導(dǎo)過程）

就這樣，通過完美溝通圖形與語言，學(xué)生充分理清了思路，實(shí)現(xiàn)了對圓認(rèn)知結(jié)構(gòu)的有效內(nèi)化，同時(shí)其思維在學(xué)習(xí)過程中逐步清晰，保證了推導(dǎo)過程的準(zhǔn)確性?？梢钥隙ǖ氖?，在這樣的教學(xué)過程中，幾何思維實(shí)實(shí)在在地得到了發(fā)展。

總之，幾何直觀利于思維的啟迪和數(shù)學(xué)知識的理解。然而培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀素養(yǎng)并非是一蹴而就的，這需要教師加強(qiáng)學(xué)生對其內(nèi)涵的理解，并在教學(xué)實(shí)踐中一以貫之、常抓不懈。學(xué)生一旦掌握了畫圖的技能，形成了畫圖慣性，并能完美溝通圖形與語言，那么他們分析和解決問題的能力自然可以得到提升，他們的幾何直觀素養(yǎng)也自然能落到實(shí)處。