胡波濤

[摘 ?要] 圖式理論視野下的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，遵循了學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的建構(gòu)模式。圖式有助于學(xué)生理解本質(zhì)，有助于學(xué)生把握結(jié)構(gòu)，有助于學(xué)生建立數(shù)感。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要激活學(xué)生的原有圖式，建構(gòu)學(xué)生的目標(biāo)圖式，遷移應(yīng)用學(xué)生的新圖式。通過圖式喚醒、激活、遷移、應(yīng)用，發(fā)展學(xué)生的圖式素養(yǎng)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效能。

[關(guān)鍵詞] 圖式;學(xué)習(xí)效能;小學(xué)數(shù)學(xué)

圖式理論是一種認(rèn)知理論。認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為，學(xué)生學(xué)習(xí)的過程是學(xué)生借助已有圖式去建構(gòu)、內(nèi)化新圖式的過程。所謂“圖式”，是指個(gè)體獲得的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)并在頭腦中儲(chǔ)存的一種方式。德國思想家康德認(rèn)為，圖式是一種潛藏在人類心靈深處的技術(shù)、技巧。而瑞士認(rèn)知心理學(xué)家皮亞杰則認(rèn)為，圖式是一個(gè)有組織的、可重復(fù)的行為或思維模式?；趫D式對學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要性，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要激活學(xué)生原有的經(jīng)驗(yàn)圖式，引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)新圖式、運(yùn)用新圖式。

[?] 一、建構(gòu)數(shù)學(xué)圖式的意義和價(jià)值

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，經(jīng)驗(yàn)、表征以及符號(hào)學(xué)習(xí)、抽象性學(xué)習(xí)等都會(huì)在學(xué)生的大腦皮層上留下印跡。圖式既是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的載體、媒介，又是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種活動(dòng)方式。圖式的建構(gòu)過程，也是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自我建構(gòu)過程?？梢赃@樣說，圖式貫穿學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的始終。

1. 圖式有助于理解本質(zhì)

數(shù)學(xué)圖式是以一種直觀化、具體化的方式存在于學(xué)生頭腦之中的，是解釋知識(shí)性質(zhì)的重要工具。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用圖式，能讓學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)，能幫助學(xué)生理解算理、建構(gòu)算法、理解數(shù)學(xué)規(guī)律等。概言之，圖式能幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)。比如在“長方形的周長”一課的教學(xué)中，教師為了讓學(xué)生建立“周長”概念，理解周長本質(zhì)，通常會(huì)出示許多變式性的圖形，諸如有的是不封閉的圖形，有的表示的是圖形的面積而不是圖形的周長，等等。通過圖形，引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，建立起學(xué)生對自身體驗(yàn)與外物體驗(yàn)的對應(yīng)關(guān)系，從而深化學(xué)生對概念和性質(zhì)的理解。

2. 圖式有助于把握結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)知識(shí)是高度結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化、形式化的，教師借助圖式能幫助學(xué)生更好地把握數(shù)學(xué)知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)、結(jié)構(gòu)等。數(shù)學(xué)圖式將相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)串點(diǎn)成線、連線成網(wǎng)，進(jìn)而突出了數(shù)學(xué)知識(shí)的邏輯性、層次性和網(wǎng)絡(luò)性。在建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)的過程中，學(xué)生內(nèi)在的圖式往往要經(jīng)過改變（通過“同化”和“順應(yīng)”兩種方式），最終將舊的認(rèn)知系統(tǒng)納入其中，或者超越舊的認(rèn)知系統(tǒng)，建構(gòu)生成新的圖式系統(tǒng)。比如教學(xué)“圓柱的側(cè)面積”這一部分內(nèi)容之后，筆者引導(dǎo)學(xué)生比較“長方體的側(cè)面積”“正方體的側(cè)面積”等相關(guān)知識(shí)，從而讓學(xué)生把握數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)。同時(shí)，筆者還引導(dǎo)學(xué)生抽象、提煉、概括，建構(gòu)直柱體統(tǒng)一的側(cè)面積計(jì)算新圖式，即V=Sh。總的來說，把握數(shù)學(xué)知識(shí)的圖式，學(xué)生才能在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中“既見樹木又見森林”。

3. 圖式有助于建立數(shù)感

所謂“數(shù)感”，是指對數(shù)學(xué)的一種直覺、直感，是一種對數(shù)學(xué)的敏銳感。這種“直覺”“直感”不同于感性認(rèn)知，而是一種對數(shù)學(xué)本質(zhì)的洞察、對數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的迅捷把握。實(shí)踐表明，擁有良好數(shù)感的人，其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力往往很強(qiáng)，其數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)也往往很好。作為教師，應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生借助圖式對相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行編碼。比如在簡便運(yùn)算的學(xué)習(xí)過程中，有學(xué)生對“0.25與4”“0.125與8”建立了相關(guān)的圖式，并能在計(jì)算過程中看到“0.25”就會(huì)去找“4”，看到“0.125”就會(huì)去找“8”。換言之，“0.25與4”“0.125與8”已經(jīng)作為一種穩(wěn)定的圖式扎根于學(xué)生的心中，從而讓學(xué)生能積極主動(dòng)地探尋簡便算法。通過長期的實(shí)踐，學(xué)生逐步形成了具有導(dǎo)向性、實(shí)效性的數(shù)感。

數(shù)學(xué)圖式的類型很多，主要有動(dòng)作圖式、表象圖式和思維圖式。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生逐步從動(dòng)作圖式過渡到表象圖式，再從表象圖式提升為思維圖式、符號(hào)圖式等。通過學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)圖式逐步走向完善、完整。關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)圖式的有效建構(gòu)、生成與完善，是數(shù)學(xué)教學(xué)的應(yīng)有之義 。

[?] 二、數(shù)學(xué)圖式建構(gòu)的策略與路徑

數(shù)學(xué)是抽象化、公理化、形式化的。作為教師，要將抽象化、公理化、形式化的數(shù)學(xué)進(jìn)行具體化、直觀化。圖式是架設(shè)在抽象的數(shù)學(xué)與學(xué)生天性之間的一座橋梁。教師可以借助圖形、文字、符號(hào)等多樣化的語言，幫助學(xué)生建構(gòu)圖式。而借助圖式，抽象、深?yuàn)W的數(shù)學(xué)能得到具體、形象的詮釋。在這個(gè)過程中，教師要讓舊的圖式得到改造，讓新的圖式得到建立，從而不斷推進(jìn)圖式的豐富與完善。

1. 發(fā)現(xiàn)并激活學(xué)生的原有圖式

學(xué)生的原有圖式是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的根基，包括經(jīng)驗(yàn)圖式、生活圖式、已有知識(shí)圖式等。其中，有的圖式是以語言表征出來的，有的圖式是以圖形、圖片和圖像表征出來的，還有的圖式是以符號(hào)、問題、形式等表征出來的。作為教師，必須了解學(xué)生的具體學(xué)情。只有這樣，才能有效地把握學(xué)生的原有圖式，將教學(xué)切入學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知的“最近發(fā)展區(qū)”。

要想發(fā)現(xiàn)并激活學(xué)生的原有圖式，教師可以采用問題診斷、問卷調(diào)查、任務(wù)診斷、作業(yè)診斷等多種方式。通過這些方式、手段和策略，喚醒并激活學(xué)生的原有圖式，從而讓學(xué)生找到新舊圖式的連接點(diǎn)。比如教學(xué)“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)”（蘇教版三年級(jí)上冊）這一部分知識(shí)時(shí)，筆者借助學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)圖式——“一半”，引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)“分?jǐn)?shù)的意義”。在教學(xué)過程中，筆者引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手操作，將一個(gè)長方形、一個(gè)圓形、一個(gè)正方形進(jìn)行平均分，從而助推學(xué)生建立動(dòng)作表象。在此基礎(chǔ)上，筆者又讓學(xué)生對操作過程進(jìn)行表述，逐步引導(dǎo)學(xué)生將生活化的語言提升為數(shù)學(xué)化的語言，從而幫助學(xué)生建立語言圖式。最后，筆者還引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行抽象和概括，幫助學(xué)生建立對分?jǐn)?shù)的意義的認(rèn)知，從而形成符號(hào)表象。

發(fā)現(xiàn)并激活學(xué)生的原有圖式，有助于引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)知識(shí)的自主建構(gòu)。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，有時(shí)教師還要對學(xué)生的原有圖式進(jìn)行補(bǔ)充、修復(fù)，從而彌合學(xué)生原有認(rèn)知圖式與新知之間的認(rèn)知裂隙。總的來說，喚醒、激活學(xué)生的原有圖式，有助于引導(dǎo)學(xué)生積極參與，深化學(xué)生的思考與探究。

2. 建構(gòu)并內(nèi)化學(xué)生的目標(biāo)圖式

目標(biāo)圖式是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的新圖式，是要達(dá)到的學(xué)習(xí)點(diǎn)。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，當(dāng)學(xué)生的原有認(rèn)知經(jīng)歷同化、順應(yīng)之后，當(dāng)新舊知識(shí)被有機(jī)融通、統(tǒng)整之后，新的圖式就會(huì)建構(gòu)完成。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要豐富圖式、拓展圖式。通過新圖式的建構(gòu)、內(nèi)化，促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知心理從失衡走向新的平衡。

比如教學(xué)“圓柱的體積”，筆者從學(xué)生的已有認(rèn)知圖式——“圓的面積推導(dǎo)過程圖式”出發(fā)，讓學(xué)生操作圓柱的學(xué)具模型。當(dāng)學(xué)生將圓柱通過切拼轉(zhuǎn)化成長方體之后，筆者引導(dǎo)學(xué)生比較圓柱和長方體，從而幫助學(xué)生建構(gòu)圖式。為了進(jìn)一步內(nèi)化、鞏固、拓展、延伸學(xué)生的認(rèn)知圖式，筆者讓學(xué)生以不同的方式去擺放長方體，從而讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)建構(gòu)圓柱體積的不同推導(dǎo)路徑。比如將圓柱正著放，就能推導(dǎo)出“V=πr2h”;將圓柱側(cè)向放置，就能建構(gòu)“V=S側(cè)r”;將圓柱換個(gè)方向側(cè)放，就能推導(dǎo)出“V=hr×”;等等。對目標(biāo)圖式的補(bǔ)充、完善和充實(shí)，盤活了學(xué)生的思維，掀起了學(xué)生的頭腦風(fēng)暴。在這樣的教學(xué)中，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)逐漸走向了更深處。

目標(biāo)圖式是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的原點(diǎn)和歸宿，也是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的靈魂和命脈。把握了目標(biāo)圖式，就能促進(jìn)數(shù)學(xué)知識(shí)的意義建構(gòu)與內(nèi)化，從而真正助推學(xué)生實(shí)現(xiàn)從“知”到“智”的變化。

3. 遷移并應(yīng)用學(xué)生的生成圖式

所謂“遷移”，是指學(xué)生的已有知識(shí)、技能、方法甚至學(xué)習(xí)態(tài)度對新學(xué)習(xí)的影響。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師不僅要引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)圖式、發(fā)展圖式、豐富圖式，還要引導(dǎo)學(xué)生遷移圖式、應(yīng)用圖式。只有通過遷移、應(yīng)用，才能讓圖式具有生命活力。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師需要?jiǎng)?chuàng)設(shè)情境，設(shè)計(jì)相關(guān)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生不斷應(yīng)用圖式，實(shí)現(xiàn)新圖式的遷移、應(yīng)用。

圖式的意義不僅僅在于學(xué)生的理解，而在于靈活應(yīng)用?？梢赃@樣說，靜態(tài)的圖式是“死”的，而動(dòng)態(tài)的“圖式”則是活的。將新圖式、目標(biāo)圖式有效應(yīng)用，能讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)充滿靈性。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要啟發(fā)學(xué)生構(gòu)圖、創(chuàng)圖。正如著名教育家喬納森所說：“當(dāng)學(xué)生嘗試用圖式方法來表征事物時(shí)，其思維往往處于最佳的狀態(tài)。”在數(shù)學(xué)應(yīng)用中，學(xué)生的圖式往往是一個(gè)個(gè)的組塊，等待著學(xué)生的提取、激活、遷移、應(yīng)用。比如教學(xué)了“一一間隔”這一部分內(nèi)容之后，筆者引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用相關(guān)的圖式，如“兩端物體相同，兩端物體個(gè)數(shù)=中間物體個(gè)數(shù)+1”“兩端物體不同，兩種物體的個(gè)數(shù)相等”。在應(yīng)用的過程中，學(xué)生能感受、體驗(yàn)到情境的復(fù)雜性。比如不僅要關(guān)注兩端物體是否相同，而且要關(guān)注是一側(cè)還是兩側(cè)，還要思考是線段還是封閉圖形，等等。在遷移、應(yīng)用圖式的過程中，學(xué)生能逐步領(lǐng)悟到圖式的內(nèi)在本質(zhì)、使用閾限、應(yīng)用策略等。

圖式理論視野下的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，遵循了學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的建構(gòu)模式。應(yīng)用圖式能指導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，能提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效能，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維水平、探究水平的提升。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要以圖式化素養(yǎng)為例，探究學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一般化策略。通過學(xué)生的思維、探究、感悟，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的形成、發(fā)展過程。