文∣陳姍姍

《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》把數(shù)學運算定為六大核心素養(yǎng)之一，數(shù)學運算是解決數(shù)學問題的基本手段。數(shù)學運算是演繹推理，是計算機解決問題的基礎(chǔ)。實際教學中，數(shù)學運算的重要性得到了廣大師生的高度認可，但是落實不夠。盡管師生都知道運算非常重要，但卻不愿意花時間和精力培養(yǎng)運算素養(yǎng)。主要原因不外乎兩方面：一是混淆運算錯誤的歸因，二是忽視從錯誤中得到啟示。數(shù)學運算尤其是三角函數(shù)，涉及公式多，運算量大，學生常把精力放在記憶公式上，忽視對運算的要求。本文以三角函數(shù)習題課為例，探究培養(yǎng)學生運算素養(yǎng)的教學策略。

一、誤的表現(xiàn)及原因

“誤”的歸因有很多，但不少學生習慣把運算錯誤歸為“失誤”，從而降低了對運算的要求。學習本來就是一個不斷出錯的過程，我們總是期待學生不要出錯，這是不可能的。不回避錯誤，善待錯誤才能解決問題，學生的錯誤也是思維的一種體現(xiàn)。

(一)會而不對：運算對象不明確

考試結(jié)束后學生常常感到很懊惱，會而不對；也有學生會輕視這個問題，他們覺得這不是什么大問題，下次注意就行了；還有的學生會把丟失的分加到自己的分數(shù)中，認為自己應(yīng)該考這么多分。這樣的僥幸心理會導(dǎo)致學生在以后的學習中對運算的不重視。學生可以如此，但是教師卻不能，教師應(yīng)該針對學生的每一個錯誤進行剖析，引導(dǎo)其深刻的反思，“會”了什么，“不對”又是怎么造成的。例如已知同角三角函數(shù)sinα,cosα,tanα中的一個值求另外兩個值的問題，該類問題要根據(jù)角的范圍對三角函數(shù)的取值進行判斷。但由于學生對運算對象理解不到位，會因不明確運算對象的具體意義而導(dǎo)致計算錯誤。準確理解運算對象是正確進行數(shù)學運算的必要條件，準確理解運算對象即學生通過閱讀、審題，厘清題目情境、設(shè)問、條件與結(jié)論，正確表征題目的條件與結(jié)論，這是數(shù)學運算的重要環(huán)節(jié)，直接決定著數(shù)學運算質(zhì)量的高低、效果的好壞，學生數(shù)學運算中的錯誤往往都是由此引起的。因此，培養(yǎng)數(shù)學運算的第一步就是明確運算對象。

大黃魚體色按照國際發(fā)光照明委員會CIE（CIE,1976）的規(guī)定測定，L*代表亮度值、a*代表紅色值、b*代表黃色值。使用CR-400型色彩色差計（柯尼卡-美能達，日本）于夜間20:00至24:00進行測定，避免外源性光照對大黃魚體色的影響。每個網(wǎng)箱隨機取5尾魚，在背部和腹部皮膚分別選取2個點測定體色值，盡量保證檢測部位的一致性。

(二)對而不全：運算法則不清晰

“對而不全”的現(xiàn)象比較嚴重，其主要原因是學生對知識一知半解，如概念模糊，公式記不全，定理不理解等。所有這些都會導(dǎo)致運算法則不清晰。

適當提早播種。山地油菜應(yīng)在9月中、下旬播完，爭取冬前長出較大的營養(yǎng)體，使其扎根深、早封行，從而提高抗旱能力。

(三)全而不優(yōu)：運算結(jié)果不嚴謹

二、悟的內(nèi)涵及策略

(一)悟本質(zhì)：追本溯源

理解數(shù)學的本質(zhì)是深度學習的前提，而理解數(shù)學既不能僅靠教師的講解，也不能靠大量地做題，而是學生對數(shù)學對象本質(zhì)的領(lǐng)悟。

按照管理和業(yè)務(wù)職能分開的原則，同時結(jié)合人影業(yè)務(wù)五段式業(yè)務(wù)流程，調(diào)整了市級人影部門內(nèi)部機構(gòu)，市級人影部門分為人工影響天氣管理辦公室和人工影響天氣指揮中心，徹底結(jié)束了既當裁判員又當運動員的模式，完全實現(xiàn)管辦分離，提升了工作效率。市局人影中心分為：綜合保障股、業(yè)務(wù)管理股、預(yù)報與評估股、指揮調(diào)度股、飛機增雨股、飛行觀測股、科研管理股、空域請示股、緊急聯(lián)絡(luò)股等。

講解此類題時，并不是復(fù)述等式的性質(zhì)，而是追問一句：為什么c≠0？從而找到問題的本質(zhì)。

(二)悟方法：一題多解

對于同一道題，不同的學生會選擇不同的方法來解答，每個學生觀察問題的差異和觀察問題的角度不同，而且知識儲備不同。一題多解也恰好反映了不同知識點的魅力所在，實現(xiàn)知識點的融會貫通，實現(xiàn)知識的網(wǎng)絡(luò)化，構(gòu)建有效的知識體系。

(三)悟規(guī)律：變式教學

欣竹走后，思雨就有些后悔，因為他當時想向欣竹要一根頭發(fā)，然后把兩根頭發(fā)放在一起認真地比較一下，看看究竟是不是欣竹的長發(fā)?？僧敃r他沒有張開口。他也的確不知道怎么張口向欣竹要一根頭發(fā)。思雨這么一想，竟然嚇了一跳，如果這根長頭發(fā)真的是欣竹的，那不更加麻煩了？在妻子面前就真的是跳進黃河洗不清了。但剛才看欣竹的頭發(fā)時，又的確覺得那根長發(fā)絲跟欣竹的頭發(fā)一樣。那根長發(fā)絲如果真的是欣竹的，又怎么會沾到自己的毛衣上呢？同欣竹根本就沒有過什么近距離的接觸。他跟欣竹就是上下級的嚴肅關(guān)系，連手都沒碰過。思雨覺得自己是越想越多了，應(yīng)該先把這根頭發(fā)搞清楚是誰的再說。找到了這根長發(fā)絲的主人，其他的事以后再說。

兩天后，他帶著絲縷的愧疚百分的底氣給辛娜打了一個電話，彼時，兩人緩解了冷戰(zhàn)級別，建立了對話平臺，此時，坐在沙發(fā)上百無聊賴的王樹林突然靈感激發(fā)，產(chǎn)生了某種原始的亢奮。他拿起手機，撥通了辛娜的電話，滿腦子是互信共建和共贏，滿肚子是點火掛擋和起步。他太想證明自己有按時下課的能力了。

變式教學是數(shù)學教學中常用的教學方法，能有效培養(yǎng)學生的遷移能力，深受廣大教師的歡迎。但是如果不從變式教學中悟出規(guī)律，是達不到以點帶面效果的。

抗戰(zhàn)開始以后，南京政府摒除社會力量，建立起統(tǒng)一的合作行政體系，將農(nóng)業(yè)合作事業(yè)置于政府控制之下，形成對農(nóng)業(yè)合作事業(yè)的強制性制度推進。在強制性制度安排之下，中國農(nóng)業(yè)合作事業(yè)完全喪失發(fā)展的自主性，無論從發(fā)展模式、發(fā)展速度亦或業(yè)務(wù)經(jīng)營等方面，均服從于政府的行政指令，農(nóng)業(yè)合作組織也被作為政府推行經(jīng)濟政策，維護政治統(tǒng)治的工具之一。在此背景之下，早期農(nóng)業(yè)合作事業(yè)的自助與互助性質(zhì)喪失殆盡。迄今為止，對抗戰(zhàn)以后農(nóng)業(yè)合作事業(yè)及合作金融問題尚缺乏系統(tǒng)性研究，尤其是1946—1949年間的研究基本處于空白。通過探討政府壟斷模式下農(nóng)業(yè)合作金融的興衰變革，透視在強制性制度安排下，中國農(nóng)業(yè)合作事業(yè)的被動發(fā)展歷程。

不少學生苦惱聽得懂課而不會做題，而此問題的根源是學生缺少“悟”。只有經(jīng)過“悟”的過程，數(shù)學知識才能從課本轉(zhuǎn)到自己的大腦，“悟”的過程也就是知識內(nèi)化的過程，對信息加工儲存的過程。教學過程中，教師要給學生“想”的空間，“悟” 的時間，“潤”的氛圍，讓思悟數(shù)學落地生根?！拔颉币绾巫龅?？

變式3：已知sinα+sinβ+sinγ=0和cosα+cosβ+cosγ=0，則cos(α-β)的值是( )。

“不懂就問”是很多家長和教師給學生提的學習建議，但事實真的是這樣嗎？勤學好問是好的，但“問”能否代替“悟”呢？“悟”錯誤就是重組大腦中的信息，對信息再加工的過程。因此，要誤中參悟、誤中頓悟、誤中省悟，以誤促學。

這幾道題均是人教版高中《數(shù)學》必修第一冊中的題目，把教材中的題目以變式教學的形式串講起來，真正做到用教材教，而不是教教材。通過變式的形式讓學生逐漸悟出和差公式逆用的規(guī)律，達到舉一反三的效果。

三、誤到悟的原則及反思

在電解相關(guān)的實際生產(chǎn)中,可以根據(jù)不同生產(chǎn)目標,綜合考慮以上各種情況來設(shè)計電解裝置。所以,遇到電解相關(guān)的實際問題,在分析電解過程中離子遷移情況時要結(jié)合題給信息,進行綜合分析。

(一)誤中參悟：關(guān)注運算對象的整體性

Alice (Bob)需要耗費4比特的經(jīng)典信息將測量結(jié)果告知Bob(Alice)和Charlie,而Charlie需耗費2比特經(jīng)典信息將測量結(jié)果告知Alice 和Bob,故本協(xié)議總的經(jīng)典信息耗費為10比特。

(二)誤中頓悟：尋找數(shù)學知識的聯(lián)系性

數(shù)學是一個龐大的知識體系，所有的知識都不是碎片化的，而是有著千絲萬縷的聯(lián)系，掌握了知識之間的聯(lián)系，才能形成穩(wěn)固的知識網(wǎng)絡(luò)。講題時不能就題講題，要能發(fā)散，也能歸類。

(三)誤中省悟：探究解題方法的共通性

學數(shù)學的本質(zhì)是學數(shù)學思想，數(shù)學知識隨著時間會被遺忘，但是數(shù)學思想則不會，所以數(shù)學教學中要注重數(shù)學思想的滲透。通過不同的錯誤分析，探究不同的數(shù)學思想。常見的數(shù)學思想有分類討論、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸。這些數(shù)學之間并不是獨立的，而是相通的。

總是有學生抱怨考試時間不夠用，其實運算占了很大的原因，學生不習慣對運算對象進行分析，總是希望一看就會，但是往往是一做就錯。“磨刀不誤砍柴工”，學生要舍得在分析運算對象、設(shè)計運算路徑上下功夫，很多題目從條件到結(jié)論之間很難看出它們之間的聯(lián)系，需要嘗試、試錯，然后不斷地調(diào)整，在錯誤中參悟、頓悟和省誤，才能逐漸走出誤區(qū)。