劉洪民（總會(huì)計(jì)師）戰(zhàn)穎（高級(jí)會(huì)計(jì)師）喬運(yùn)鋒（高級(jí)會(huì)計(jì)師）

（1，2中冶北方工程技術(shù)有限公司 遼寧大連 114051 3中冶焦耐工程技術(shù)有限公司 遼寧大連 114031）

一、引言

投資組合問題是現(xiàn)代財(cái)務(wù)學(xué)研究的起源，諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)獲得者M(jìn)arkowitz使用方差度量風(fēng)險(xiǎn)并構(gòu)建均值-方差模型來定量研究資產(chǎn)的優(yōu)化配置，標(biāo)志著現(xiàn)代投資組合理論的誕生。由于方差將收益率向上的有利波動(dòng)也視為風(fēng)險(xiǎn)，顯然是夸大了風(fēng)險(xiǎn)，與實(shí)際不符。對(duì)此，學(xué)術(shù)界提出了其他投資組合模型。

以風(fēng)險(xiǎn)或收益是否給定為標(biāo)準(zhǔn)，可將現(xiàn)有的投資組合模型分為兩大類。

第一類是既定風(fēng)險(xiǎn)下收益最大化或者既定收益下風(fēng)險(xiǎn)最小化的投資組合模型。其中，比較有代表性的是VaR模型，VaR（Value at Risk）主要用于衡量某一資產(chǎn)組合在市場(chǎng)正常波動(dòng)時(shí)所遭受的潛在損失，它是三十國集團(tuán)于1993年正式提出的，被巴塞爾銀行監(jiān)管委員會(huì)于1995年所采納并加以推廣應(yīng)用。但Artzner（1997）證明了VaR不滿足風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度一致性公理中的次可加性，是一種不夠完善的風(fēng)險(xiǎn)度量方法。針對(duì) VaR 的不足，Stanislav（2000）提出 CVaR（Conditional VaR），它是指某一資產(chǎn)組合的損失超過VaR的條件均值，反映了超額損失的平均水平。Stanislav證明了CVaR滿足次可加性，比方差和VaR更能有效地測(cè)度投資組合風(fēng)險(xiǎn)。李鋒剛等（2016）通過實(shí)證檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)我國股票收益率不服從正態(tài)分布，采用改進(jìn)粒子群算法來求解非正態(tài)分布下的均值-CVaR模型。

第二類是基于單位風(fēng)險(xiǎn)收益最大化或者單位收益風(fēng)險(xiǎn)最小化的投資組合模型，主要研究如何對(duì)投資組合的收益與風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行綜合權(quán)衡。其中，武敏婷等（2010）采用均值與VaR的比值測(cè)度單位風(fēng)險(xiǎn)收益，并構(gòu)建了單位風(fēng)險(xiǎn)收益最大化的投資組合優(yōu)化模型。高培旺（2011）使用標(biāo)準(zhǔn)差與均值的比值即變異系數(shù)來度量單位收益風(fēng)險(xiǎn)，并建立了基于變異系數(shù)最小的投資組合模型。由于VaR、標(biāo)準(zhǔn)差（即方差的平方根）均不是完善的風(fēng)險(xiǎn)度量方法，吳雷等（2013）選用CVaR與期望收益率之比來度量投資者為獲得每一個(gè)單位收益所承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)，構(gòu)建了單位收益風(fēng)險(xiǎn)最小化的投資組合模型。

上述模型大多關(guān)注收益的前兩階矩（即均值和方差），往往忽視了收益的三階矩（即偏度）風(fēng)險(xiǎn)。早在1970年，著名經(jīng)濟(jì)學(xué)家Sanuelson就明確提出：如果資產(chǎn)收益率不服從正態(tài)分布，那么高階矩風(fēng)險(xiǎn)特別是三階矩風(fēng)險(xiǎn)就不容忽視。遲國泰等（2009）在均值-方差模型基礎(chǔ)上引入偏度不小于零的約束，并證實(shí)偏度的引入可以降低投資組合風(fēng)險(xiǎn)。吳雷等（2014）在均值-CVaR模型的基礎(chǔ)上引入偏度約束，構(gòu)建了均值與偏度約束下CVaR最小的投資組合模型并予以實(shí)證。蔡小龍等（2017）通過引入偏度約束，構(gòu)建了均值-方差-偏度-正弦熵的投資組合模型，實(shí)證結(jié)果表明偏度約束在控制風(fēng)險(xiǎn)的同時(shí)可實(shí)現(xiàn)更高收益。

上述第一類模型需要投資者事先設(shè)定收益率或風(fēng)險(xiǎn)，存在著較大的主觀性和隨意性，如果投資者將收益率設(shè)定得過高或過低，都可能導(dǎo)致投資者為獲得每一個(gè)單位的收益而承擔(dān)了過高的風(fēng)險(xiǎn)。而第二類模型沒有考慮收益的三階矩（即偏度）風(fēng)險(xiǎn)。綜合考慮上述因素后，本文選用CVaR與期望收益率之比來度量單位收益風(fēng)險(xiǎn)，通過引入偏度大于等于零的約束條件來控制重大投資損失發(fā)生的概率，構(gòu)建了偏度約束下單位收益風(fēng)險(xiǎn)最小的投資組合模型，并對(duì)模型作實(shí)證檢驗(yàn)。

二、模型構(gòu)建

（一）單位收益風(fēng)險(xiǎn)最小原理

現(xiàn)有文獻(xiàn)通常采用期望收益率來度量投資組合的收益，使用方差、VaR、CVaR等度量投資組合的風(fēng)險(xiǎn)。如前文所述，方差高估了風(fēng)險(xiǎn)，VaR不滿足次可加性，兩者均不是完善的風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度方法。現(xiàn)有研究已證實(shí)CVaR滿足次可加性、具有凸性等特性，被認(rèn)為是一種較為完善的風(fēng)險(xiǎn)度量方法。因此，本文選用CVaR測(cè)度投資組合風(fēng)險(xiǎn)。

CVaR是Conditional Value at Risk的縮寫，通常譯為“條件在險(xiǎn)價(jià)值”，是指在一定期間和置信水平下?lián)p失超過VaR的條件均值。現(xiàn)有的CVaR模型大多是給定收益率使風(fēng)險(xiǎn)值CVaR最小，投資者要求的收益率越高，承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)值CVaR也越高。然而，這類模型忽視了另一部分投資者的需求：對(duì)收益率沒有特定的要求，但希望為賺取每一元錢所承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)最小。此外，由于這類模型中的收益率是投資者人為設(shè)定的，存在著較大的主觀性和隨意性，如果投資者將收益率設(shè)定得過高或過低，都可能導(dǎo)致投資者為獲得每一個(gè)單位的收益而承擔(dān)了過高的風(fēng)險(xiǎn)。

表1列示的是三種不同類型的投資組合，其中，“甲”的期望收益率與風(fēng)險(xiǎn)值CVaR均較低，投資者過于“謹(jǐn)慎”，但單位收益風(fēng)險(xiǎn)（CVaR與期望收益率的比值）較高，也就是說，投資者設(shè)定了過低的收益率，可能導(dǎo)致其為獲得每單位的收益而承擔(dān)了較高的風(fēng)險(xiǎn)。相反，“丙”的期望收益率與風(fēng)險(xiǎn)值CVaR均較高，投資者較為“冒險(xiǎn)”，但單位收益風(fēng)險(xiǎn)偏高，換言之，投資者設(shè)定了過高的收益率，可能導(dǎo)致了其為獲得每單位的收益而承擔(dān)了較高的風(fēng)險(xiǎn)?！耙摇钡钠谕找媛屎惋L(fēng)險(xiǎn)值CVaR較為適中，但單位收益風(fēng)險(xiǎn)相對(duì)較低。很顯然，理性投資者應(yīng)選擇“乙”，即選擇單位收益風(fēng)險(xiǎn)最小的投資組合。

表1 不同期望收益率下的投資組合

本文選擇CVaR與期望收益率的比值度量單位收益風(fēng)險(xiǎn)，并構(gòu)建基于單位收益風(fēng)險(xiǎn)最小化的投資組合模型，該模型不需要事先給定收益率就能求解，既滿足了部分投資者對(duì)收益率沒有特定要求但期望賺取每一元錢所承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)最小的需求，又對(duì)投資組合的收益與風(fēng)險(xiǎn)加以綜合考慮，可以避免投資者對(duì)收益率設(shè)定過高或過低所導(dǎo)致的單位收益風(fēng)險(xiǎn)過高，減少了投資者事先對(duì)收益率的盲目估計(jì)行為，提高了投資的效率和合理性。

（二）模型構(gòu)建的思路

本文以CVaR與期望收益率的比值來測(cè)度單位收益風(fēng)險(xiǎn)，通過引入投資組合收益率的偏度大于等于0約束來降低投資損失發(fā)生的概率，構(gòu)建了基于偏度約束下的單位風(fēng)險(xiǎn)最小的投資組合優(yōu)化模型，模型構(gòu)建的具體思路如圖1所示。

圖1 偏度約束下單位收益風(fēng)險(xiǎn)最小的投資組合優(yōu)化模型構(gòu)建思路

（三）目標(biāo)函數(shù)的建立

1.目標(biāo)函數(shù)的表達(dá)式。由上文分析可知，以CVaR與期望收益率的比值來度量單位收益風(fēng)險(xiǎn)，可以有效避免投資者對(duì)收益率設(shè)定過高或過低所導(dǎo)致的單位收益風(fēng)險(xiǎn)偏高。因此，目標(biāo)函數(shù)就是最小化CVaR與期望收益率的比值，即：

2.CVaR的表達(dá)式。根據(jù)CVaR的定義，可以得到：

其中，發(fā)f（x，r）表示投資組合的損失函數(shù)，θ表示置信度。

通過式（2），無法直接求出CVaR，因?yàn)樵撌街泻袃?nèi)生參數(shù)VaR。本文參考Krokhmal（2002）設(shè)計(jì)的方法，對(duì)CVaR的計(jì)算進(jìn)行離散化處理，得到CVaR的近似表達(dá)式：

通過式（3）計(jì)算出的β值就是VaR，由此可見，在求解CVaR的同時(shí)順便得到VaR。

3.目標(biāo)函數(shù)的等價(jià)形式。綜合式（1）和式（3），模型的目標(biāo)函數(shù)可轉(zhuǎn)化為：

（四）約束條件的建立

1.偏度約束。偏度可用于衡量收益率概率分布的偏斜方向以及偏斜程度，其計(jì)算公式為：

其中：n為資產(chǎn)數(shù)量，r為第i項(xiàng)資產(chǎn)收益率，r為期望收益率，σ為收益率的標(biāo)準(zhǔn)差。

如圖2所示，虛曲線M和實(shí)曲線N刻畫的是期望收益率相同但偏度不同的兩個(gè)概率分布，其中，M的偏度小于零，左尾長而右尾短，發(fā)生重大投資損失的風(fēng)險(xiǎn)較高；N的偏度大于零，左尾短而右尾長，發(fā)生重大投資損失的概率較低。顯然，選擇N進(jìn)行投資，則在相同期望收益下，面臨的風(fēng)險(xiǎn)更小，與投資者的期望相符。

圖2 兩個(gè)不同偏度的收益率分布

以偏度大于等于零作為約束條件，可以減少重大投資損失發(fā)生的幾率，同時(shí)保留高收益發(fā)生的概率，進(jìn)而降低投資風(fēng)險(xiǎn)，這正是使用偏度約束進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)控制的基本原理。因此，本文引入了投資組合收益率的偏度為非負(fù)的約束，即：

2.投資比例約束。投資組合中所有資產(chǎn)的投資比例之和應(yīng)等于1，即：

投資組合中每一項(xiàng)資產(chǎn)的投資比例通常不小于0，即：

（五）模型的建立

綜合式（4）—（7），可以建立偏度約束下單位收益風(fēng)險(xiǎn)最小的投資組合優(yōu)化模型，即：

其中：x表示投資比例，是模型最終所要求出的變量。

式（9）得到的模型與式（8）中的模型有相同的最優(yōu)解，式（9）為一般的數(shù)學(xué)規(guī)劃模型，可通過現(xiàn)有的數(shù)學(xué)軟件就能求出最優(yōu)解。

由此可見，對(duì)模型進(jìn)行離散化和線性化處理后，不需要假定收益率是否服從正態(tài)分布就能求解，既降低了模型的求解難度，又提高了模型的實(shí)用性。同時(shí)，在求解CVaR的同時(shí)順便得到VaR，而VaR在風(fēng)險(xiǎn)管理實(shí)踐中使用較為普遍，模型的實(shí)用價(jià)值得到進(jìn)一步提升。

三、實(shí)證研究

（一）數(shù)據(jù)收集與統(tǒng)計(jì)分析

本文從我國滬深股市抽取10只不同行業(yè)的股票進(jìn)行投資，時(shí)間跨度為2020年1月1日至2020年6月30日，以每周三的股票收盤價(jià)為基礎(chǔ)，采用對(duì)數(shù)方法計(jì)算股票周收益率r，其公式如下：

其中，P和P分別表示第i只股票在第t周和第t-1周周三的收盤價(jià)。

通過計(jì)算，得到了每只股票25個(gè)周收益率數(shù)據(jù)，有關(guān)描述性統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表2所示。

表2 10只股票收益率的描述性統(tǒng)計(jì)

由表2可知，10只股票收益率的偏度和峰度均不為0，意味著這10只股票收益率均不服從正態(tài)分布，并且有8只股票收益率的偏度小于0，其收益率概率分布的“左尾”較長，出現(xiàn)低收益率的概率較大，投資風(fēng)險(xiǎn)也較高。其中，航天科技（股票代碼000901）周收益率的偏度為-2.14，峰度高達(dá)6.09，其分布明顯帶有“尖峰厚尾”，且“左尾”較長，出現(xiàn)低收益率的概率較高。

（二）模型求解與分析

將m=25，n=10等數(shù)據(jù)代入式（9）中，置信度θ分別取90%、95%、99%，利用數(shù)學(xué)軟件MATLAB進(jìn)行求解，求解結(jié)果如表3所示。

表3 模型求解結(jié)果

從表3可以看出，在三種不同的置信度下，始終選擇黃山旅游、蘇寧易購、順鑫農(nóng)業(yè)這三只股票進(jìn)行組合投資，投資的股票種類并沒有變化，只是投資的比例有所調(diào)整。當(dāng)置信度θ設(shè)定為90%時(shí)，上述三只股票的投資比例分別為12.36%、28.52%、59.12%，投資者為獲得1.61%的周期望收益率，所承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)值VaR、CVaR和單位收益風(fēng)險(xiǎn)分別為8.96%、9.28%和5.78。也就是說，有90%的概率可以斷定：未來一周內(nèi)，上述三只股票組合因市場(chǎng)正常波動(dòng)所導(dǎo)致的損失不超過8.96%，因市場(chǎng)正常波動(dòng)所導(dǎo)致的極端損失不超過9.28%，為獲得1%的收益所承擔(dān)的極端損失不超過5.78%。

當(dāng)置信度θ設(shè)定為99%時(shí)，上述三只股票的投資比例分別為7.19%、19.76%和73.05%，投資者為獲得2.02%的周期望收益率，所承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)值VaR、CVaR和單位收益風(fēng)險(xiǎn)分別為11.97%、12.13%和6.01。也就是說，有99%的概率可以斷定：未來一周內(nèi)，上述三只股票組合因市場(chǎng)正常波動(dòng)所導(dǎo)致的損失不超過11.97%，因市場(chǎng)正常波動(dòng)所導(dǎo)致的極端損失不超過12.13%，為獲得1%的收益所承擔(dān)的極端損失不超過6.01%。

從表3可知，當(dāng)置信度θ從90%增加到99%時(shí)，VaR值從8.96%上升到11.97%，CVaR值從9.28%上升到12.13%，也就是說，VaR值和CVaR值都伴隨著置信度θ的增加而上升，這意味著模型對(duì)投資組合風(fēng)險(xiǎn)的測(cè)度越來越充分，模型求解結(jié)果的可信度也越來越強(qiáng)。

同時(shí)，從表3中不難發(fā)現(xiàn)，在三種置信度下，CVaR值比VaR值都高，這反映出CVaR對(duì)投資組合極端風(fēng)險(xiǎn)的刻畫要比VaR更加充分，也進(jìn)一步證實(shí)風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度方法CVaR比VaR更完善。此外，當(dāng)投資者期望收益率增加時(shí)，投資者承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)值VaR、CVaR和單位收益風(fēng)險(xiǎn)也不斷上升，也印證了“高收益高風(fēng)險(xiǎn)”的投資規(guī)律。

四、結(jié)論

本文以CVaR與期望收益率的比值來度量單位收益風(fēng)險(xiǎn)，通過引入投資組合收益率的偏度大于等于零約束來降低投資損失發(fā)生的概率，構(gòu)建出偏度約束下單位風(fēng)險(xiǎn)最小的投資組合優(yōu)化模型，并利用我國滬深兩市股票數(shù)據(jù)對(duì)模型進(jìn)行了實(shí)證檢驗(yàn)。

與傳統(tǒng)的投資組合模型相比，此模型的主要特色體現(xiàn)在：（1）不需要投資者事先設(shè)定收益率就能求解，既滿足了部分投資者對(duì)收益率沒有特定要求但期望賺取每一元錢所承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)最小的需求，又對(duì)投資組合的收益與風(fēng)險(xiǎn)加以綜合考慮，可以避免投資者對(duì)收益率設(shè)定得過高或過低所導(dǎo)致的單位收益風(fēng)險(xiǎn)偏高，減少了投資者對(duì)收益率的事先盲目估計(jì)行為，提高了投資的效率和合理性。（2）通過引入偏度大于等于零的約束，減少了重大投資損失發(fā)生的幾率，同時(shí)保留了高收益率發(fā)生的概率，降低了投資風(fēng)險(xiǎn)。（3）對(duì)模型作離散化和線性化處理，不需假定收益率是否服從正態(tài)分布就能求解，既簡化了模型的計(jì)算，又拓寬了模型的適用范圍。