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        對(duì)稱分布的矩刻畫(huà)

        2021-05-07 09:24:20廖俊俊劉繼成
        大學(xué)數(shù)學(xué) 2021年2期

        廖俊俊, 劉繼成, 吳 娟

        (華中科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 武漢430074)

        1 引 言

        定義設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f(x),若存在某點(diǎn)c,使得對(duì)任意的x有f(c+x)=f(c-x), 則稱X的分布關(guān)于c對(duì)稱.

        證記E(X)=μ,D(X)=σ2.

        必要性 由β=0, 有

        μ3=E[X-E(X)]3=Cov(X,X2)-2E(X)D(X)=0,

        E(X3)-μ3-3μσ2=0,

        μ3=E[X-E(X)]3=E(X3)-μ3-3μσ2=0,β=0.

        例1說(shuō)明對(duì)稱分布的偏度(若存在)是0. 然而,隨機(jī)變量的偏度只能度量分布的偏斜方向和程度,描述概率密度在左右尾部的相對(duì)拉長(zhǎng)趨勢(shì). 偏度為0,并不足以推出概率分布是對(duì)稱的. 下面的兩個(gè)例子說(shuō)明存在偏度為0的非對(duì)稱分布.

        例2設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為

        X的偏度β為0,且X的分布非對(duì)稱.

        證易知E(X)=E(X3)=0,所以X的偏度是0. 由f(-x)≠f(x)知X的分布非對(duì)稱.

        通過(guò)隨機(jī)抽樣方法得到樣本的偏度為0,而總體的分布可能是對(duì)稱的,也可能是非對(duì)稱的.

        例3設(shè)總體X服從混合高斯分布,概率密度函數(shù)為

        f(x)=ωf1(x)+(1-ω)f2(x),

        (ii) 令ω=0.9,μ1=-μ2=-3,σ1=20,σ2=0.1,產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)10000個(gè),計(jì)算得到樣本的偏度接近于0,由圖1右圖可以看到,X的分布是非對(duì)稱的. 因此,僅憑偏度并不能判定概率分布是否對(duì)稱.

        ω=0.9,μ1=-μ2=-3, σ1=20,σ2=0.1圖1 混合高斯分布的樣本

        既然偏度不足以保證分布的對(duì)稱性,那么給出一個(gè)分布關(guān)于0對(duì)稱的判別是必要的. 本文嘗試基于傅里葉變換的思想,從矩的角度討論對(duì)稱分布的充要條件.

        2 主要結(jié)論

        顯然,隨機(jī)變量X的分布關(guān)于c對(duì)稱等價(jià)于X-c的分布關(guān)于0對(duì)稱. 因此,只需討論概率密度f(wàn)(x)關(guān)于0對(duì)稱的情形,即f(x)是偶函數(shù). 李賢平[1]證明了隨機(jī)變量的分布關(guān)于0對(duì)稱的充要條件是特征函數(shù)是實(shí)的偶函數(shù). 下面定理從隨機(jī)變量原點(diǎn)矩的角度給出X的分布關(guān)于0對(duì)稱的充要條件.

        定理設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)f(x)在上連續(xù),對(duì)任意正整數(shù)k,積分x2k+1f(x)dx絕對(duì)收斂,且f(x)在[-a,a]之外取零,則X的分布關(guān)于0對(duì)稱的充要條件是

        證必要性顯然成立. 下證充分性.

        由題設(shè),?M>0,使得|f(x)|≤M,?x∈(-∞,+∞),且f∈L1(-∞,+∞). 知道

        易知有估計(jì)

        若不要求f(x)有界,則上述定理是X的分布關(guān)于0對(duì)稱的充分條件. Shiryaev[3]給出隨機(jī)變量X的特征函數(shù)φ(t)能展成冪級(jí)數(shù)的必要條件是:若對(duì)任意的n≥1,有E|X|n<∞,且

        但是結(jié)論中t的取值范圍是有限區(qū)間.

        例2(續(xù))雖然X的偏度是0. 但是,E(X5)=64/14553≠0. 由定理,從矩的角度可以判定X的分布是非對(duì)稱的.

        3 結(jié) 論

        一般情形下,隨機(jī)變量的矩不能完全確定概率分布. 特別地,偏度為0不能得到對(duì)稱分布. 本文從隨機(jī)變量矩的角度,給出了分布對(duì)稱的充分必要條件.

        致謝作者非常感謝相關(guān)文獻(xiàn)對(duì)本文的啟發(fā)以及審稿專(zhuān)家提出的寶貴意見(jiàn).

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