陸羿辰 金龔逸 徐張洋 胡江勝 張小華

摘 要：本文以2021年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽A題為背景，對賽題進(jìn)行適當(dāng)改造，得到面向中學(xué)生的有限元點(diǎn)陣生成問題，并運(yùn)用中學(xué)向量知識建立有限元點(diǎn)陣模型，通過二元線性不等式組的知識設(shè)計算法對模型求解，解決了一類在任意凸多邊形中生成有限元點(diǎn)陣的問題。這一從本科生數(shù)學(xué)建模競賽中提取素材、適當(dāng)改編并使用中學(xué)數(shù)學(xué)知識求解問題的方法，為數(shù)學(xué)建模思想在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透提供一種具有實(shí)踐意義的教學(xué)思路。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模;教學(xué)案例;向量;不等式組;有限元算法

自《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》[1]頒布以來，數(shù)學(xué)建模作為一種重要的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)得到了廣泛的研究。其中，如何將這一核心素養(yǎng)的培養(yǎng)融入中學(xué)教學(xué)成為一個重要的教學(xué)課題[2]。在之前的工作中，研究者已對數(shù)學(xué)建模的內(nèi)涵與課堂實(shí)踐進(jìn)行了深入探討。譬如，劉丹[3]從“北京市機(jī)動車保有量情況”這一現(xiàn)實(shí)問題出發(fā)，結(jié)合中學(xué)“函數(shù)的應(yīng)用”知識在中學(xué)課堂中進(jìn)行數(shù)學(xué)建模的教學(xué)，這也是大部分中學(xué)教師采用的教學(xué)方式。特別是，王志俊等[4]提出數(shù)學(xué)建模素材可以從大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽中提取的觀點(diǎn)，這開辟了建模素材研究的新途徑。但值得注意的是，大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽賽題的知識背景遠(yuǎn)超過中學(xué)生的認(rèn)知水平。譬如，中學(xué)生雖然已經(jīng)學(xué)習(xí)過函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識，但是未接觸過微分方程的相關(guān)知識。類似地，中學(xué)生學(xué)習(xí)過簡單的線性規(guī)劃，但是對于整數(shù)規(guī)劃等較為復(fù)雜的規(guī)劃問題卻未曾接觸?？梢?，照搬競賽賽題無益于提高中學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力，但是筆者認(rèn)為如果對賽題加以改造，這將對中學(xué)生建模能力的培養(yǎng)大有裨益。在本文中筆者以2021年的全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽A題的部分題目為例，通過適當(dāng)改造賽題，得到一類在中學(xué)知識背景下切實(shí)可行的建立與求解數(shù)學(xué)模型的方法，旨在為數(shù)學(xué)建模思想在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透提供一種思路。

1 問題的背景與提出

2021年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽A題為“FAST”主動反射面的形狀調(diào)節(jié)，圖1為“FAST”索網(wǎng)的反射面板及其連接示意圖，其中主索網(wǎng)由柔性主索按照短程三角網(wǎng)格方式構(gòu)成，每個三角網(wǎng)格上安裝一塊反射面板，與索網(wǎng)形狀一致為三角形。

在賽題的問題3中，提出饋源艙有效接受比的概念，即饋源艙有效區(qū)域接收到的反射信號與300米口徑內(nèi)反射面的反射信號之比。由于反射面板、饋源艙接收平面、信號之間不存在共面、共線的幾何關(guān)系，因此直接將空間幾何圖形視為主體來計算信號傳輸與反射情況較為復(fù)雜。相對簡單的方案是，以有限元算法的視角，將光線在整個面板上的反射抽象為在光線在面板上有限個點(diǎn)的反射，并以饋源艙接收到反射信號的反射點(diǎn)個數(shù)與300米口徑內(nèi)反射點(diǎn)個數(shù)的比代替原先定義的有效接受比。根據(jù)有限元理論，點(diǎn)間的距離越短，點(diǎn)的劃分越細(xì)密，以有限元估計的有效接受比與實(shí)際的接受比將越接近。

根據(jù)上述背景，提出以下問題：（1）假設(shè)已知空間中一塊三角形反射面板各頂點(diǎn)的坐標(biāo)，建立數(shù)學(xué)模型描述三角形面板上不同區(qū)域的坐標(biāo);（2）提供一種算法，要求算法能夠由三角形的頂點(diǎn)坐標(biāo)為已知量，生成三角形面板上一部分點(diǎn)的坐標(biāo)，并且生成的點(diǎn)在三角形平面上是均勻的。

2.3 模型的求解

觀察式（7）我們可以發(fā)現(xiàn)該限制條件為一組二元一次不等式組。在人教版高中數(shù)學(xué)必修五中，介紹了簡單二元一次不等式組與簡單線性規(guī)劃問題，這里可以將高中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中線性代數(shù)的內(nèi)容和數(shù)學(xué)建模思想結(jié)合起來，設(shè)計一種求解算法。

根據(jù)以上算法，可生成給定精度下，三角形中所有有限元點(diǎn)的坐標(biāo)。

3 總結(jié)與推廣

上文介紹了基于向量與不等式組建立的有限元點(diǎn)陣模型的建立與求解過程。其中，有限元算法是一種在求解時將整個問題區(qū)域進(jìn)行分解，求解每個子區(qū)域的部分問題最終加總求得整個問題區(qū)域近似解的數(shù)值技術(shù)。對于有限元算法，由于還未在高中教材中完整體現(xiàn)，本文希望對中學(xué)生起到興趣培養(yǎng)與啟蒙作用。在解題過程方面，通過初等數(shù)學(xué)知識來建立并求解數(shù)學(xué)模型來解決復(fù)雜現(xiàn)實(shí)問題的思想方法，對教師的教學(xué)以及學(xué)生的學(xué)習(xí)思維方式都起到重要作用，關(guān)鍵在于其背后數(shù)學(xué)建模思想的滲透。例如，通過結(jié)合中學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，對本科生數(shù)學(xué)建模競賽賽題做適當(dāng)修改，能夠幫助教師更好地在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)建模思想，同時，中學(xué)生在思考并解決這類新型數(shù)學(xué)建模問題時，能夠積累起數(shù)學(xué)知識在現(xiàn)實(shí)生活中應(yīng)用的先驗(yàn)知識，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

此外，文章中選取的多邊形為三角形，如果跳出題設(shè)給定的框架，以求解任意凸多邊形的有限元點(diǎn)陣為目標(biāo)，模型是否仍然適用？答案是肯定的，如圖8所示，我們?nèi)匀荒芤远噙呅蔚囊粚︵忂吷衔膊肯嘟拥囊粚ο蛄孔鳛榛蛄?，將其余邊所在直線方程轉(zhuǎn)化為不等式方程作為限制條件，求解多邊形內(nèi)的有限元點(diǎn)陣。由此也說明，模型具有較好的普適性，充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模中“以某一數(shù)學(xué)模型解決一類實(shí)際問題”的思想。

綜上所述，本文以2021年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽A題中的一個問題為出發(fā)點(diǎn)，運(yùn)用中學(xué)向量知識建立有限元點(diǎn)陣模型，并通過二元不等式組知識設(shè)計一種算法用于求解，解決了一類在任意凸多邊形中生成有限元點(diǎn)陣的問題，提供了將復(fù)雜的幾何關(guān)系化為若干簡單問題逐一求解的解題思路，并體現(xiàn)了實(shí)際問題抽象化、一個模型解決一類問題的數(shù)學(xué)建模思想。此外，過程中運(yùn)用了高等數(shù)學(xué)中有限元、線性代數(shù)的思想，對中學(xué)生起到了興趣培養(yǎng)和啟蒙作用，為數(shù)學(xué)建模思想在中學(xué)數(shù)學(xué)教育中的滲透提供一種具有實(shí)踐意義的教學(xué)思路。

參考文獻(xiàn)：

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[5]章建躍.利用幾何圖形建立直觀通過代數(shù)運(yùn)算刻畫規(guī)律——“平面向量及其應(yīng)用”內(nèi)容分析與教學(xué)思考[J].數(shù)學(xué)通報，2020，59（12）：4-13+29.

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基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金（編號：12171206）;江蘇省大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練計劃項(xiàng)目（編號：202111463075Y）;江蘇理工學(xué)院校級教改課題（編號：11611212050）;江蘇省高等教育教改課題（編號：2021JSJG623）

作者簡介：陸羿辰，男，江蘇蘇州人，江蘇理工學(xué)院數(shù)理學(xué)院19級本科生，主要從事量化分析研究工作。

*通訊作者：胡江勝。