顧曉峰

[摘 要]文章以大單元為視角，于知識引入、知識生成、知識升華等環(huán)節(jié)創(chuàng)設問題情境，引導學生開展自主學習活動，挖掘數學內在思想，以更好地培養(yǎng)學生的數學學科核心素養(yǎng)。

[關鍵詞]大單元;對數函數;教學設計

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2022）05-0005-03

一、單元內容與解析

“對數函數”單元的內容包括對數函數的概念、圖像和性質，以及同底指數函數與對數函數之間的關系。

本單元是在冪函數、指數函數以及對數函數概念及其運算的基礎上，進一步研究對數函數的概念、圖像和性質。事實上，在等式[z=xy]中，若將[y]視為常數，[x]視為自變量，[z]視為因變量，就得到冪函數;將[x]視為常數，[y]視為自變量，[z]視為因變量，則得到指數函數;將[x]視為常數，[z]視為自變量，[y]視為因變量，則得到對數函數。

函數的一般概念和性質是對數函數研究的基礎，對數的運算是對數函數概念獲得的基礎。指數函數的圖像和性質的研究方法可遷移到對數函數的圖像和性質的研究中。對數函數的研究為進一步揭示同底指數函數與對數函數之間的關系做好鋪墊。

二、單元目標與解析

（一）目標

（1）了解對數函數的實際意義，理解對數函數的概念。

（2）能用描點法、借助信息技術或者圖像的變換作出具體的對數函數的圖像，探索并理解對數函數的性質，進一步體會研究具體對數函數的一般思路和方法，提升數學學科核心素養(yǎng)。

（3）明確同底指數函數與對數函數之間的關系，了解它們互為反函數。

（二）解析

實現(xiàn)上述目標的標志是：

（1）學生能說出相關量之間的關系式，能從特殊到一般地給出對數函數的一般表達式。

（2）學生能根據指數函數的圖像和性質的學習經歷，自主類比研究過程和方法，得到對數函數的圖像，結合圖像直觀認識函數性質，體會數形結合思想。

（3）對于同底指數函數和對數函數，學生知道指數函數的定義域就是對數函數的值域，指數函數的值域是對數函數的定義域，了解它們互為反函數。

三、單元教學問題分析

本單元中，對數函數概念的建立應立足已有的具體指數函數模型，即碳14衰減的函數模型[y=1215730xx≥0]（其中x是時間，y是碳14的含量），根據指數與對數的關系將其變形為[x=log125730y0<y≤1]。教學中，教師需要引導學生回答兩個問題：①研究[x=log125730y0<y≤1]的動機是什么？②這里的[x]是關于[y]的函數嗎？為什么？根據經驗，學生容易從一般的指數函數[y=ax（a>0， a≠1）]中得到對數函數[x=logay（a>0， a≠1）]，并根據習慣改寫為[y=logax（a>0， a≠1）]，然而在這個改寫的過程中，學生容易混淆[x]與[y]的關系，教師應在此處考慮更自然的過渡方式。

在對數函數的圖像和性質的學習中，大部分學生會依據“具體函數—描點連線—圖像性質”的一般思路進行研究，也有學生會從同底指數函數與對數函數的對應點關系入手進行研究。對于可能出現(xiàn)的不同發(fā)現(xiàn)路徑，教師可利用信息技術工具輔助學生探究。

四、單元教學支持條件分析

在本單元的教學中，概念引入部分可插入介紹“碳14衰減”問題的視頻，通過背景介紹，增強學生的學習動機，使學生感受到對數函數的實際意義。在對數函數的圖像和性質的教學中，教師可借助幾何畫板或者GGB畫出[a]取任意可能值時[y=logax]的圖像，也可通過追蹤點的移動來驗證對數函數和同底指數、對數函數圖像之間的特點。

五、教學過程

（一）知識引入

播放一段關于考古學家發(fā)現(xiàn)一處新石器時代人類生活遺址的視頻。如何確定發(fā)現(xiàn)的生活遺址處于漫長年代中的哪一段呢？考古學家從生活遺址中取樣然后帶回實驗室進行碳14檢測。因為碳14元素每隔5730年衰減為原來的一半，所以可以根據其衰減幅度逆推出動物（植物）死亡的年數。

問題1：同學們，看完這段視頻，你知道考古中可以怎樣推測出生物的死亡年數了嗎？

問題2：如果知道了碳14的含量[p]，怎么得到死亡年數[t]？現(xiàn)有的模型能否用來解決這個問題？

問題3：如果現(xiàn)有模型無法使用，能否建立一個新的數學模型？

評析：引入視頻有兩個用意，一是讓學生直觀體會數學模型的實際應用價值，二是讓學生了解實際考古工作中大多是通過碳14含量來推測生物的死亡年數的。

問題4：[t]是關于[p]的函數嗎？可以怎么理解？

問題5：對于一般的[p=at（a>0， a≠1）]，能否進行推廣？

評析：學生獲得[t]與[p]的關系式后，通過質疑其是否存在函數關系引發(fā)第二次認知沖突。教師引導學生從兩個層面解釋：一是從實際意義出發(fā)，認識到每一個碳14含量[p]都有唯一確定的死亡年數[t]與之對應;二是基于指數函數的單調性，通過作圖發(fā)現(xiàn)每一個函數值[p]對應著唯一確定的自變量[t]。學生從實際背景中獲得感性認識，再利用數學知識理性理解。最后，讓學生對一般的指數函數進行推廣，得到新的函數模型：[t=logap（a>0， a≠1）]。根據習慣，常常用[y]表示因變量，[x]表示自變量，從而抽象出對數函數的概念。

問題6：[y=ax]與[y=logax]有何關系？能否從對應點的角度說明？

評析：因為對數函數的概念來自同底指數函數，所以自然要關心它們之間有何聯(lián)系，這就引發(fā)了學生的第三次認知沖突，需要進一步抽象兩者間的關聯(lián)，而這個問題關乎后面圖像和性質的獲得以及反函數的引入。面對擺脫實際意義的函數表達式[y=ax]與[y=logax]，學生可能會在思考方向上手足無措，于是教師暗示學生從對應點的角度說明：若[y=ax]經過點[（x0， y0）]，則[y0=ax0]，則[x0=logay0]，說明[y=logax]經過點[（y0， x0）];反之，若[y=logax]經過點[（x1， y1）]，則[y=ax]經過點[（y1， x1）]，表明它們的圖像是關于[y=x]對稱的。學生獲得新概念后，教師及時引導他們將新概念與相關概念進行對比，以此加深學生對同底指數函數與對數函數之間的關系的認識，使學生對概念從單一的個體認識上升到關聯(lián)性認識，進一步發(fā)展學生的數學抽象能力。

（二）知識生成

問題7：對于新的函數——對數函數，我們可以研究哪些內容？如何研究？

學生自己設計探究方案，而后以2人為一組探究對數函數的圖像和性質，將結果整理在紙上，并匯報展示。

評析：學生在學習冪函數和指數函數后，已經初步經歷了一個新函數的完整研究過程，具有一定的理論基礎和探究能力。在教學時，教師拋出問題，讓學生全程自己探究，按照具體探究步驟逐步獲得結論，充分發(fā)揮學生的主體性。在研究策略上，學生主要提出兩種方法：類比與化歸。

1.通過類比探究對數函數

指數函數的學習讓學生積累了研究具體函數的完整經驗，所以一部分學生會通過類比進行研究：①類比研究路徑。類比指數函數從特殊出發(fā)進行探究的思路，學生會選擇特殊的對數函數進行列表、描點、連線來畫圖，且一般選擇底數互為倒數的一對（幾對）函數，如[y=log2x]、[y=log12x]，[y=log3x]、[y=log13x]進行探究。②類比研究方法。類比由[y=2x]圖像得到[y=12x]圖像的方法，學生在得到[y=log2x]的圖像后，根據[y=log12x=-log2x]，發(fā)現(xiàn)兩者圖像關于[x]軸對稱，故可以通過對稱性直接獲得[y=log12x]的圖像。讓學生體會到圖像變換也是作圖的一種重要手段。③類比研究內容。在畫出對數函數圖像后，學生類比指數函數的性質，確定研究內容：對數函數的定義域、值域、單調性、奇偶性等。

2. 通過化歸探究對數函數

一部分學生受到問題6的啟發(fā)，利用同底指數函數與對數函數的關系，直接作具體的指數函數關于[y=x]對稱的圖像，得到相應的對數函數圖像再觀察獲得性質。其實，圖像變換是蘊含化歸思想的一種重要手段，它本質上是通過邏輯推理間接獲得新的圖像。一些能力較強的學生，甚至可以不用畫出具體的圖像就能通過邏輯推理直接說出對數函數可能具有的特征。對于這樣的“跳躍”，教師應給予支持與鼓勵。

學生在自主探究后，得到[a>1]與[0<a<1]時的兩類圖像及其性質，教師可利用幾何畫板的拖動功能來改變[a]值并觀察圖像的變化，進一步驗證圖像間的共同點與不同點，加深學生從特殊到一般的體會，使他們更深刻地認識對數函數。

（三）知識升華

問題8：我們利用對數函數的圖像得到了有關性質，這些性質一定正確嗎？是否可以進一步驗證？

設計意圖：對數函數的性質是學生通過觀察、歸納得到的，可以從函數本身進行解釋。如為什么圖像過定點（1，0）？因為[loga1=0];為什么[y=logax]在[a>1]時是單調遞增函數？可以根據單調性定義進行簡要說明。將由“形”得到的結論進一步通過“數”來驗證，這雖然不是教學的重點，但有利于學生形成規(guī)范化思考的理性思維品質，因而在教學中需要有所呈現(xiàn)。

問題9：我們分別畫出了[y=log2x]、[y=log12x]、[y=log3x]、[y=log13x]的圖像，并總結了[y=logax]的圖像及性質，我們還能從這些圖像中發(fā)現(xiàn)什么變化規(guī)律嗎？

問題10：能否從不同角度驗證你的發(fā)現(xiàn)？

設計意圖：將四個特殊的對數函數圖像放在同一個坐標系里，學生能直觀感受到圖像變化與[a]之間的聯(lián)系，讓學生充分表達，教師進行修正與完善。驗證過程則可從兩個角度解釋：一是根據幾何畫板的直觀演示;二是作出直線[y=1]，其與圖像交點的橫坐標即為底數，從數的角度看出[a]與圖像的對應關系。學生在觀察中提出猜想，在驗證中升華理解。

六、教學思考

（一）教材為根，整體把握教學內容

基于大單元設計的視角，“對數函數”部分是在冪函數、指數函數以及對數概念及其運算的基礎上，進一步研究對數函數的概念、圖像和性質的。事實上，在等式[z=xy]中，若將[y]視為常數，[x]視為自變量，[z]視為因變量，就得到冪函數;將[x]視為常數，[y]視為自變量，[z]視為因變量，則得到指數函數;而將[x]視為常數，[z]視為自變量，[y]視為因變量，則得到對數函數。此外，指數函數、對數函數的運算是對數函數概念獲得的基礎，而指數函數的圖像和性質的研究方法可遷移到對數函數的圖像和性質的研究，對數函數的研究又為反函數的引入打下基礎。這表明本節(jié)內容的重要地位，體現(xiàn)了數學知識與方法間的關聯(lián)性和系統(tǒng)性。

（二）學生為本，積累數學活動經驗

在“知識引入”環(huán)節(jié)，從熟悉的碳14衰減的函數模型出發(fā)，讓學生在認知沖突中體會演繹推理與歸納推理的過程。情境中，[t=log125730p（0<p≤1）]是第一次抽象，一般的對數函數[y=logax（x>0， a≠1）]是第二次抽象，[y=ax]與[y=logax]之間的關聯(lián)是第三次抽象。每一次抽象都是對知識的逐步深化，學生在質疑、探索、檢驗、反思中不斷積累數學經驗。在“知識生成”環(huán)節(jié)，基于知識的特點，通過合作、探究、交流的方式，讓學生展現(xiàn)自我，充分暴露思維過程，課堂不再是單向性的師生問答模式，而是變?yōu)樘骄颗c展示的交流場所。

（三）素養(yǎng)為標，形成能力

落實核心素養(yǎng)是數學課程目標的集中體現(xiàn)，其育人價值體現(xiàn)在當學生遇到新問題時，能夠利用已有的數學知識、方法與思維解決問題。本節(jié)課在“知識引入”環(huán)節(jié)，著力發(fā)展學生數學抽象、數學建模、邏輯推理的能力;在“知識生成”環(huán)節(jié)，重在引導學生利用類比、轉化等數學思想自主探究新函數;在“知識升華”環(huán)節(jié)，主要讓學生反思探究結果的嚴密性，讓抽象的“數”與直觀的“形”互相融合，強化學生對數形結合思想本質的進一步認識。學生在深度學習中深刻理解了知識的來龍去脈，同時獲得了研究數學對象的方法與能力，進一步提升了學科核心素養(yǎng)。

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[1]? 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）[M].北京：人民教育出版社，2020：5.

（責任編輯 黃桂堅）