楊牛扣

摘要：《全等三角形》一課，內(nèi)容包括全等三角形的概念和性質(zhì)，比較簡單。教學(xué)中，要把簡單的內(nèi)容“教活”“教深”，就要基于知識的產(chǎn)生與發(fā)展、知識之間的聯(lián)系，突出過程性，強(qiáng)調(diào)探究性。具體地，從生活到數(shù)學(xué)、從一般（圖形）到特殊（三角形）、從整體（概念）到局部（性質(zhì)）、從靜態(tài)到動(dòng)態(tài)、從發(fā)現(xiàn)到應(yīng)用，設(shè)計(jì)豐富的學(xué)習(xí)活動(dòng)，讓學(xué)生在“做數(shù)學(xué)”的過程中充分探究。

關(guān)鍵詞：《全等三角形》;學(xué)習(xí)活動(dòng);“做數(shù)學(xué)”;過程性;探究性

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：“為了幫助學(xué)生真正理解數(shù)學(xué)知識，教師應(yīng)注重?cái)?shù)學(xué)知識與學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)的聯(lián)系、與學(xué)生學(xué)科知識的聯(lián)系，組織學(xué)生開展實(shí)驗(yàn)、操作、嘗試等活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察、分析，抽象概括，運(yùn)用知識進(jìn)行判斷?！雹谥腥A人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012：45，46。由此，學(xué)生也能充分感悟“蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識形成、發(fā)展和應(yīng)用的過程中”②的數(shù)學(xué)思想（研究“套路”）。

蘇科版初中數(shù)學(xué)八年級上冊第1章第2節(jié)《全等三角形》一課內(nèi)容包括全等三角形的概念和性質(zhì)，比較簡單。教學(xué)中，為了幫助學(xué)生真正理解這部分知識，要把簡單的內(nèi)容“教活”“教深”，就要基于知識的產(chǎn)生與發(fā)展、知識之間的聯(lián)系，突出過程性，強(qiáng)調(diào)探究性：不是簡單告訴學(xué)生抽象的定義和結(jié)論，并讓學(xué)生反復(fù)練習(xí)，而是從生活到數(shù)學(xué)、從一般（圖形）到特殊（三角形）、從整體（概念）到局部（性質(zhì)）、從靜態(tài)到動(dòng)態(tài)、從發(fā)現(xiàn)到應(yīng)用，設(shè)計(jì)豐富的學(xué)習(xí)活動(dòng)，讓學(xué)生在“做數(shù)學(xué)”的過程中充分探究。

下面，呈現(xiàn)筆者執(zhí)教這節(jié)課的具體過程與說明，以及進(jìn)一步的反思。

一、教學(xué)過程

（一）從生活到數(shù)學(xué)，復(fù)習(xí)全等圖形的概念

師（多媒體展示圖1—圖3）觀察這些圖片，你能看出形狀、大小完全一樣的圖形嗎？

（學(xué)生舉手發(fā)言，相互補(bǔ)充。）

師生活中存在許多形狀、大小完全一樣的圖形。它們能夠完全重合，因此，是全等圖形。同學(xué)們能再舉出生活中一些類似的例子嗎？

（學(xué)生舉例，教師引導(dǎo)學(xué)生通過定義判斷所舉的例子是不是全等圖形。）

師全等圖形美不美？

生（齊）美。

[說明：引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從生活到數(shù)學(xué)的抽象過程，復(fù)習(xí)前一節(jié)課所學(xué)的全等圖形概念，為本節(jié)課全等三角形的學(xué)習(xí)做好鋪墊。]

（二）從特殊到一般，生成全等三角形的定義

師全等的圖形舉不勝舉。這節(jié)課讓我們聚焦最簡單、最基本的圖形之一——三角形。請同學(xué)們用復(fù)寫紙畫出兩個(gè)三角形，并用剪刀剪下其中一個(gè)三角形，然后觀察比較這兩個(gè)三角形。

（學(xué)生動(dòng)手操作，觀察比較。）

師請用語言歸納這兩個(gè)三角形有怎樣的關(guān)系。

生它們大小相同，形狀一樣。

師為什么？你能驗(yàn)證說明嗎？

生（把兩個(gè)三角形疊放在一起）因?yàn)樗鼈兡軌蛑睾稀?/p>

師僅是重合嗎？再操作看看，用一個(gè)更貼切的詞描述。

生（齊）是完全重合。

師同學(xué)們太棒了！確實(shí)，這兩個(gè)三角形是完全重合。類似于全等圖形的定義，在數(shù)學(xué)中，我們把兩個(gè)能完全重合的三角形叫作全等三角形，并用符號“≌”表示全等。（出示圖4）將同學(xué)們畫出的兩個(gè)三角形分別記作△ABC與△DEF，那么，它們是全等三角形就記作“△ABC≌△DEF”，讀作“△ABC全等于△DEF”。

生老師，能給我們講講符號“≌”的含義嗎？

師好的?！啊铡笔侨确枺啊住北硎拘螤钕嗤?，“=”表示大小相等。

[說明：從一般的圖形到特殊的三角形，沒有讓學(xué)生直接抽象地得出全等的定義，而是跳過生活情境，設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生在畫、剪、觀察比較、操作比較中，感知全等三角形的形狀、大小關(guān)系，歸納全等三角形的定義。在充分的體驗(yàn)與思考中，學(xué)生能夠更好地認(rèn)識全等三角形。]

（三）從整體到局部，明確全等三角形的性質(zhì)

師剛才，我們從整體上認(rèn)識了全等的兩個(gè)三角形的關(guān)系。現(xiàn)在，同學(xué)們再細(xì)心觀察一下，全等的△ABC與△DEF，各個(gè)元素有何對應(yīng)關(guān)系？

（學(xué)生動(dòng)手操作，觀察比較。）

生△ABC與△DEF重合時(shí)，點(diǎn)A與點(diǎn)D、點(diǎn)B與點(diǎn)E、點(diǎn)C與點(diǎn)F也分別重合。

生邊AB與DE、邊BC與EF、邊AC與DF分別重合。

生∠A與∠D、∠B與∠E、∠C與∠F分別重合。

師確實(shí)，兩個(gè)全等的三角形重合時(shí)，各個(gè)元素也對應(yīng)重合。我們把對應(yīng)重合的頂點(diǎn)稱為對應(yīng)頂點(diǎn);對應(yīng)重合的邊稱為對應(yīng)邊;對應(yīng)重合的角稱為對應(yīng)角。在這些元素中，頂點(diǎn)最基本——三角形由三個(gè)頂點(diǎn)的位置決定。為了清晰、準(zhǔn)確地表示頂點(diǎn)的對應(yīng)重合，你認(rèn)為用符號書寫全等三角形的關(guān)系時(shí)，應(yīng)該注意什么？

生將頂點(diǎn)一一對應(yīng)地寫。如，因?yàn)辄c(diǎn)A與點(diǎn)D、點(diǎn)B與點(diǎn)E、點(diǎn)C與點(diǎn)F分別重合，所以寫△ABC≌△DEF。

生不能交錯(cuò)。如，不能寫成△ABC≌△EFD。

師是的，必須把對應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對應(yīng)的位置上。這樣，能直接看出誰和誰對應(yīng)重合。而且，這樣的對應(yīng)關(guān)系是唯一的。實(shí)際上，同學(xué)們應(yīng)該能感覺到，頂點(diǎn)的對應(yīng)重合決定了邊和角的對應(yīng)重合。但是不同于頂點(diǎn)，邊和角有大小。由此，邊和角的對應(yīng)重合還說明了什么？

生說明了邊和角對應(yīng)相等。

師很好！這就是全等三角形的基本性質(zhì)：對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等?，F(xiàn)在，請同學(xué)們用規(guī)范的幾何語言表達(dá)由全等的△ABC與△DEF可以得到什么。

（學(xué)生自由表達(dá)。教師規(guī)范板書，如圖5所示。）

∵△ABC≌△DEF（已知），

∴AB=DE，BC=EF，AC=DF（全等三角形的對應(yīng)邊相等）;

∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F（全等三角形的對應(yīng)角相等）。

[說明：從整體的三角形到局部的元素，引導(dǎo)學(xué)生再次操作比較，觀察發(fā)現(xiàn)頂點(diǎn)、邊、角對應(yīng)重合，從而得出“對應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對應(yīng)的位置上”的書寫規(guī)范以及“對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等”的性質(zhì)。在培養(yǎng)學(xué)生抽象思維和語言表達(dá)能力的同時(shí)，深化學(xué)生對全等三角形的認(rèn)識。]

（四）從靜態(tài)到動(dòng)態(tài)， 強(qiáng)化全等三角形的本質(zhì)

師請同學(xué)們將之前剪下來的三角形與未剪下的三角形疊合在一起，然后分別將剪下來的三角形沿未剪下的三角形的一邊所在直線平移一定的距離、翻折，以及繞未剪下的三角形的一個(gè)頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°。運(yùn)動(dòng)前后的兩個(gè)三角形還全等嗎？

（學(xué)生動(dòng)手操作，觀察比較。）

生都是全等的。

師為什么？

生圖形經(jīng)過平移、翻折、旋轉(zhuǎn)后，位置變了，但形狀、大小不變。

師哦！同學(xué)們用到了之前學(xué)過的圖形運(yùn)動(dòng)的知識。如果要用全等三角形的定義來解釋呢？

生運(yùn)動(dòng)前后的兩個(gè)三角形能完全重合。

師好的。那我們就來說一說怎樣讓它們重合。（出示圖6—圖8）這三張圖給出的是運(yùn)動(dòng)前后的兩個(gè)三角形。對于第一張圖，怎樣改變△ABC的位置，使它與△DEF重合？

生（齊）平移。

師對于第二張圖，怎樣改變△ABC的位置，使它與△DBC重合？

生（齊）翻折。

師對于第三張圖，怎樣改變△ABC的位置，使它與△DEC重合？

生（齊）旋轉(zhuǎn)。

師非常好！同學(xué)們能說出運(yùn)動(dòng)前后的兩個(gè)三角形的對應(yīng)頂點(diǎn)、對應(yīng)邊和對應(yīng)角嗎？

（學(xué)生逐一齊答。）

師由此可見，全等三角形與位置有關(guān)嗎？

生無關(guān)。

師那與什么有關(guān)？

生與形狀、大小有關(guān)。

師對，這決定了它們能不能完全重合。通過這兩個(gè)活動(dòng)，同學(xué)們應(yīng)該能感受到全等三角形變中不變的本質(zhì)特征以及圖形的運(yùn)動(dòng)與圖形的性質(zhì)之間的關(guān)系。

[說明：從靜態(tài)到動(dòng)態(tài)，聯(lián)系圖形的運(yùn)動(dòng)，讓三角形動(dòng)起來，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：三角形平移、翻折、旋轉(zhuǎn)后，位置變了，但形狀、大小不變;而通過同種類型的反方向運(yùn)動(dòng)，三角形可以回到之前的狀態(tài)（與之前的三角形完全重合）。由此，學(xué)生能夠強(qiáng)化對全等三角形本質(zhì)特征的認(rèn)識，發(fā)現(xiàn)兩個(gè)全等的三角形也可以看成一個(gè)三角形在某種運(yùn)動(dòng)過程中的兩個(gè)狀態(tài)。進(jìn)而，學(xué)生能夠提升動(dòng)靜結(jié)合的辯證思維，學(xué)會(huì)從圖形運(yùn)動(dòng)的角度認(rèn)識圖形的關(guān)系。]

（五）從發(fā)現(xiàn)到應(yīng)用，提升對全等三角形的認(rèn)識

師接下來，我們看一看全等三角形能幫助我們解決什么問題？

（教師出示習(xí)題，引導(dǎo)學(xué)生逐一分析、解答。）

1.如圖9，若△OCA≌△OBD，你能找出兩個(gè)三角形對應(yīng)相等的量嗎？這兩個(gè)三角形通過怎樣的運(yùn)動(dòng)可以重合？

2.如圖10，已知△ABN≌△ACM，若BM=10 cm，則CN的長為;若∠B=40°，則∠C的度數(shù)是;若∠B=40°，∠MAC=80°，則∠ANB的度數(shù)是。

3.如圖11，已知△EFG≌△NMH，EG和NH共線。

（1）FG與MH平行嗎？為什么？

（2）EH與NG的大小關(guān)系是什么？說明理由。

[說明：從發(fā)現(xiàn)到應(yīng)用，通過一組練習(xí)，讓學(xué)生初步應(yīng)用全等三角形的概念和性質(zhì)解決問題，發(fā)現(xiàn)準(zhǔn)確識別對應(yīng)頂點(diǎn)、邊、角（基本圖形或基本元素）是關(guān)鍵。多樣的練習(xí)通過變化全等三角形的位置情況，豐富了全等三角形的外延，進(jìn)一步提升了學(xué)生對全等三角形內(nèi)涵和價(jià)值的認(rèn)識。第1題融入了圖形的運(yùn)動(dòng)，重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生的識圖能力。第2題、第3題綜合了等式的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和、平行線的判定等知識，重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生簡單的推理和計(jì)算能力。]

（六）課堂小結(jié)，梳理知識與方法

教師通過如圖12所示的思維導(dǎo)圖，幫助學(xué)生回顧本節(jié)課學(xué)習(xí)的過程與結(jié)果，梳理相應(yīng)的知識與方法，形成系統(tǒng)、整體的認(rèn)知以及良好的知識結(jié)構(gòu)，進(jìn)一步提升學(xué)生對全等三角形知識以及對學(xué)習(xí)（研究）路徑和方法（“套路”）的認(rèn)識。

二、教學(xué)反思

（一）正確理解三維目標(biāo)，突出過程性

教學(xué)的三維目標(biāo)指的是“知識與技能”“過程與方法”“情感態(tài)度與價(jià)值觀”三個(gè)維度的目標(biāo)。對此，可以這樣理解：第一個(gè)維度關(guān)注的是學(xué)習(xí)結(jié)果，第二個(gè)維度關(guān)注的是學(xué)習(xí)過程;前兩個(gè)維度關(guān)注的是智力因素，第三個(gè)維度關(guān)注的是非智力因素。分析三者關(guān)系，可以發(fā)現(xiàn)：過程是結(jié)果的基礎(chǔ)，有了好的過程，才有好的結(jié)果;非智力因素以智力因素為基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)教育主體是智育，非智育是附加于智育上或融合于智育中的增值。所以，三維目標(biāo)應(yīng)以第二個(gè)維度為中心，交融互進(jìn)、相互統(tǒng)一，最終指向人的發(fā)展。所以，本節(jié)課的教學(xué)，筆者突出了全等三角形概念和性質(zhì)的形成、發(fā)展和應(yīng)用過程，讓學(xué)生從過程中掌握知識，領(lǐng)悟方法，培養(yǎng)積極情感。

（二）充分設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)活動(dòng)，強(qiáng)調(diào)探究性

學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教師要充分設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)活動(dòng)，讓學(xué)生經(jīng)歷學(xué)習(xí)過程。學(xué)習(xí)活動(dòng)要具有探究性，讓學(xué)生動(dòng)手、動(dòng)腦、多感官協(xié)調(diào)，自主發(fā)現(xiàn)知識，獲得深度理解。本節(jié)課的教學(xué)，盡管知識不多，也不太難，但是筆者基于知識形成、發(fā)展和應(yīng)用的過程，充分設(shè)計(jì)了從生活具體到數(shù)學(xué)抽象、從一般觀察到特殊操作、從整體定形到局部定量、從靜態(tài)感受到動(dòng)態(tài)體驗(yàn)、從情境發(fā)現(xiàn)到變式應(yīng)用等一系列探究活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生歸納、演繹，發(fā)現(xiàn)知識、解決問題、厘清困惑、提升思維。