謝永

[摘? 要] 在新課改的推動下，數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)已成為數(shù)學(xué)基本教學(xué)目標(biāo)之一，而觀察能力作為一切思維活動的開端自然發(fā)揮著不可估量的作用. 文章結(jié)合具體案例分析了觀察能力在解題中的重要應(yīng)用，并闡述了培養(yǎng)觀察能力的一些注意事項，以期通過培養(yǎng)觀察能力促進學(xué)生提升思維能力和解題能力.

[關(guān)鍵詞] 觀察能力;思維能力;解題能力

現(xiàn)行教學(xué)中，受傳統(tǒng)教學(xué)模式的影響，大多數(shù)學(xué)生習(xí)慣模仿和套用，致使觀察能力薄弱. 為此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中教師要注重學(xué)生觀察能力的培養(yǎng)，尤其在解題教學(xué)時應(yīng)給學(xué)生足夠的時間去觀察和思考，通過觀察全面了解題設(shè)信息，充分挖掘已知和結(jié)論中隱藏的內(nèi)在聯(lián)系，通過聯(lián)想、簡化、類比掌握問題的本質(zhì)，進而調(diào)用已有認知和已有經(jīng)驗處理信息，從而成功解決問題.

當(dāng)前，部分學(xué)生對觀察能力的認識明顯存在不足，認為觀察是一種被動的、消極的、缺乏目的的淺顯認知，然實際上觀察能力在指引學(xué)生主動獲取題設(shè)信息，引導(dǎo)學(xué)生有目的、有選擇地制定解題計劃時發(fā)揮著重要的作用，其是運算能力、思維能力等綜合能力開發(fā)的基礎(chǔ)，是重要的思維活動之一，在提升學(xué)生解題能力、思維能力等方面發(fā)揮著不可替代的作用. 文章以一道高考真題為例，淺談了觀察能力的重要性及培養(yǎng)中應(yīng)注意的一些問題，以期共鑒.

例題 給定兩個長度為1的平面向量和，它們的夾角為120°. 如圖1所示，點C在以O(shè)為圓心的圓弧AB上變動，若=x+y，其中x，y∈R，則x+y的最大值是________.

[?] 整體觀察，統(tǒng)籌全局

解題前應(yīng)先從整體入手，通過觀察題目全貌找到知識模塊間的聯(lián)系，通過全方位觀察認清問題的本質(zhì)，進而找準(zhǔn)解題方向，成功解決問題.

求解本例題：以點O為坐標(biāo)原點，OA所在的直線為x軸，建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，則點A（1，0），B

-，

，=

x-y，y

，又

=1，所以

x-y

+

y

=x2+y2-xy=1.

本例題中的向量猶如架設(shè)于代數(shù)和幾何圖形之間的橋梁，溝通彼此，解題時借助于坐標(biāo)使問題變得形象化、準(zhǔn)確化.

[?] 挖掘隱含的條件，培養(yǎng)觀察的深刻性

解題時要注意觀察題設(shè)的整體結(jié)構(gòu)，挖掘隱含條件，根據(jù)題設(shè)中的某些數(shù)學(xué)特征或結(jié)構(gòu)特征尋找解題的突破口. 學(xué)生在解題時之所以常出現(xiàn)“懂而不會”的現(xiàn)象往往就是缺乏觀察，對題設(shè)的挖掘深度不夠，不能抓住問題的本質(zhì)，因而不能從題設(shè)的數(shù)字特征和結(jié)構(gòu)特征中發(fā)現(xiàn)隱含的條件，然解題思路往往蘊含在隱藏的數(shù)量關(guān)系中，因此培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力應(yīng)注意培養(yǎng)觀察的深度.

對于本例題，觀察題設(shè)中的“給定兩個長度為1的平面向量和，它們的夾角為120°”，得

=

=1，∠AOB=120°;由“點C在以O(shè)為圓心的圓弧AB上變動”，可挖掘隱含條件

=1;又=x+y，容易聯(lián)想到

2=（x+y）2=（x）2+（y）2+2xy=x2+y2-xy=1.

通過觀察與分析得到了x2+y2-xy=1，為求x+y的最大值，需要將已知與結(jié)論建立聯(lián)系，繼續(xù)觀察題目的結(jié)構(gòu)特征. 若將x，y看成單獨的兩個變量，顯然不能將已知與結(jié)論有效串聯(lián);重新觀察題設(shè)結(jié)構(gòu)，由x2+y2，xy，x+y自然可以將x2+y2轉(zhuǎn)化為x+y和xy，即x2+y2-xy=（x+y）2-3xy=1. 至此可以通過均值不等式繼續(xù)求解，即3xy=（x+y）2-1≤，解得x+y≤2.

這樣通過對已知條件的解讀和未知條件的挖掘發(fā)現(xiàn)了“x2+y2-xy=1”這一數(shù)量關(guān)系，使問題逐漸向熟悉的認知轉(zhuǎn)化. 在解題時要善于將題設(shè)的文字信息轉(zhuǎn)化為符號語言或圖形語言，這樣借助于兩者的簡潔性和直觀性等特點更方便學(xué)生理解題意，進而發(fā)現(xiàn)解題方法.

[?] 觀察結(jié)論，尋找新思路

上面通過題設(shè)的結(jié)構(gòu)特征挖掘了隱含條件，一步一步觀察，一步一步聯(lián)想，最終結(jié)合已有經(jīng)驗應(yīng)用均值不等式得到答案. 為了拓展思維，可引導(dǎo)學(xué)生從結(jié)論出發(fā)，借助于解題通法在已知中尋找關(guān)聯(lián)條件，進而找到解題的切入點.

本例題求解的是x+y的最大值，而求最值問題常需要利用函數(shù)的值域或最值，此方法是求最值問題的一個通法，那么轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題則需要尋找一個變量，將結(jié)論轉(zhuǎn)化為含有這個變量的函數(shù). 觀察已知，可以設(shè)∠AOC=α（0°<α<120°），進而將x+y轉(zhuǎn)化為關(guān)于α（0°<α<120°）的函數(shù).

結(jié)論往往是解題中的重要已知，通過結(jié)論進行反向思考和推理往往會獲得意外的驚喜. 另外，從結(jié)論出發(fā)使求解更具目的性，進而使轉(zhuǎn)化過程更有針對性. 為此，解題時應(yīng)認真觀察結(jié)論，沿著結(jié)論的脈搏不斷聯(lián)想和轉(zhuǎn)化，使觀察更具目標(biāo)性，提升轉(zhuǎn)化效率.

[?] 觀察圖形，正向遷移

通過對結(jié)論的觀察和分析，可以利用函數(shù)進行求解，那么如何將結(jié)論與變量建立聯(lián)系呢？為了使幾何問題向代數(shù)問題轉(zhuǎn)化，在解題時可以借助于圖形，通過“數(shù)形結(jié)合”的思路實現(xiàn)這一轉(zhuǎn)化.

對于本例題，將結(jié)論與變量建立等量關(guān)系最直接的手段就是利用三角形. 如圖3所示，過點C作CQ∥OA，CP∥OB，分別交OB，OA于點Q，P.

設(shè)∠AOC=α，又=+=x+y. 在△OCP中，根據(jù)正弦定理可得==，即==. 所以x+y=sinα+sin（120°-α）=sinα+cosα=2sin（α+30°）. 因為0<α<120°，當(dāng)α=60°時，x+y取最大值2.

對于本例題，通過觀察結(jié)論確定了求解方向，觀察圖形并充分利用“平面向量和的夾角為120°”這一特點構(gòu)造了平行四邊形，進而得出∠CPO為60°，再得出△CPO的三個角分別為α，120°-α，60°. 三者的關(guān)系確定后，應(yīng)用正弦定理輕松地實現(xiàn)了問題的轉(zhuǎn)化. “數(shù)”與“形”往往相互結(jié)合、相互轉(zhuǎn)化才能使問題越來越直觀，越來越嚴謹. 因此，要培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維就必須重視數(shù)形結(jié)合思想的培養(yǎng)，在日常教學(xué)中讓學(xué)生多觀察，提升學(xué)生讀圖和識圖的能力，引導(dǎo)學(xué)生能夠根據(jù)圖形特點巧妙地構(gòu)圖，讓直覺思維成為解題的重要武器. 學(xué)生讀圖、識圖、作圖的能力增強了，自然空間想象能力也就提升了，解題的方法也就變多了，思維能力和創(chuàng)新能力也就潛移默化地提升了.

[?] 觀察特值，合情推理

通過對特殊點和特殊值的觀察加上大膽猜測和合情推理往往可以獲得意外的驚喜，該方法常應(yīng)用于選擇題或填空題的解答中，借助于特值可以有效簡化解題步驟，提升解題效率.

對于最值產(chǎn)生的位置往往是圖形中的特殊位置，因此求x+y的最大值，可嘗試利用特殊值進行合情猜測. 本例題中，顯然點C若在端點A或端點B上就是在兩特殊點上：當(dāng)點C在端點A或端點B時，此時x+y=1;當(dāng)∠AOC=α（α<60°），則=x+y中的x>;1，故x+y>1，同時存在另一點D，使∠BOD=120°-α，與點C對應(yīng)，所得的x+y的值相等. 故可以猜測當(dāng)點C在弧AOB的中點E時，恰好=+，此時x+y=2為最大值.

因結(jié)果是合情推理得到的，存在一定的主觀性，不具備說服力，因此得出結(jié)論后應(yīng)進一步進行驗證. 觀察點C的運動規(guī)律可知，當(dāng)點C從點A運動到中點E時，x+y的值從1遞增到2;當(dāng)點C從中點E運動到點B時，x+y的值從2遞減到1，所以x+y=2為最大值.

求解本例題時先從端點出發(fā)，求得x+y=1，接下來根據(jù)中點得到了x+y=2，通過觀察和分析可知x+y的值是先增后減的，故得最值. 數(shù)學(xué)中許多性質(zhì)和結(jié)論的得出都需要經(jīng)歷特值的觀察、猜想和推理，進而從特殊中總結(jié)和歸納出一般的規(guī)律. 觀察最具直接性，因此在數(shù)學(xué)教學(xué)中必須多鼓勵學(xué)生觀察，培養(yǎng)學(xué)生的直覺思維.

觀察能力直接影響著學(xué)生解決問題的能力，因此提升學(xué)生的觀察能力勢在必行. 對觀察能力的培養(yǎng)還需要注意以下幾點：

（1）培養(yǎng)觀察興趣. 在培養(yǎng)學(xué)生觀察興趣時要控制好“量”和“度”，要注重潛移默化的滲透而非機械灌輸. 教學(xué)中可以引導(dǎo)學(xué)生通過類比、對比、實踐等數(shù)學(xué)活動體驗觀察在簡化解題過程、拓展解題思路等方面的重要應(yīng)用，讓學(xué)生認識到觀察能力的重要性，從而使被動觀察向主動觀察過渡，培養(yǎng)學(xué)生的觀察興趣.

（2）指導(dǎo)學(xué)生會觀察.觀察是具有目的性和針對性的，絕非蜻蜓點水的簡單閱讀，要發(fā)揮出思考在觀察中的重要作用，從而使觀察更加全面、更加高效.

（3）引導(dǎo)學(xué)生會總結(jié). 總結(jié)與反思是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要一環(huán)，只有重視總結(jié)和反思才能將經(jīng)驗轉(zhuǎn)化為能力. 在培養(yǎng)學(xué)生觀察能力時也應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)和反思，進而將觀察經(jīng)驗和觀察結(jié)果轉(zhuǎn)化為觀察能力，使之與其他思維能力融會貫通，促進學(xué)生提升解題能力.

總之，觀察能力的培養(yǎng)離不開日常教學(xué)中的滲透，教師在教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生有目的性、針對性地觀察，從而提高觀察能力的準(zhǔn)確性和深刻性，促進學(xué)生提升解題能力.