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        一道三角函數(shù)最值問題的解法、背景及其拓展

        2022-04-01 11:28:14李文東
        數(shù)理化解題研究 2022年7期
        關(guān)鍵詞:奇函數(shù)半圓定義域

        李文東

        (廣東省中山市中山紀(jì)念中學(xué) 528454)

        2018年全國Ⅰ卷理科數(shù)學(xué)第16題以三角函數(shù)為背景,考查三角函數(shù)求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)處理最值問題等知識,考查轉(zhuǎn)化與化歸思想、推理論證能力、運算求解能力、函數(shù)與方程思想,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運算、邏輯推理等核心素養(yǎng),是一道難得的好題,值得我們細(xì)細(xì)研究,下面我們給出本題的幾種典型的解法,然后指出其實際背景,并給出了一個簡單的拓展.

        1 題目呈現(xiàn)

        題目(2018年全國Ⅰ卷16題)求函數(shù)f(x)=2sinx+sin2x的最值.

        2 解法欣賞

        解法1(導(dǎo)數(shù)法) 顯然f(x)為奇函數(shù)且最小正周期為2π,故只需考慮x∈[0,π].

        由于f′(x)=2cosx+2cos2x

        =2(2cos2x+cosx-1)

        =2(2cosx-1)(cosx+1),

        令f′(x)=0,

        列表如下:

        x0,π3[)π3π3,π(]f ′x()+0-fx()↗極大值↘

        點評此題雖然是2018年全國高考的填空壓軸題,難度并不算大,只需要按照導(dǎo)數(shù)求解最值的常規(guī)步驟即可,需要注意的細(xì)節(jié)是抓住f(x)為奇函數(shù)且最小正周期為2π,從而將定義域限制在x∈[0,π],這樣就給單調(diào)性的討論帶來極大的方便.

        解法2(非線性規(guī)劃) 顯然f(x)為奇函數(shù).

        故只需求出f(x)的最大值即可.

        又f(x)=2sinx+sin2x=2sinx(1+cosx),

        記sinx=m,cosx=n,f(x)=t,

        則2m(1+n)=t

        圖1

        設(shè)切點為(m0,n0),則有

        消去n0和t,得

        利用f(x)為奇函數(shù)知

        點評令sinx=m,cosx=n,則m2+n2=1,從而將問題轉(zhuǎn)化為一個條件最值問題.

        解法3(待定系數(shù)法)f(x)=2sinx(1+cosx),引入?yún)?shù)k,根據(jù)柯西不等式和均值不等式有:

        消去k2,得

        cosx+cos2x=sin2x.

        進一步化簡,得

        2cos2x+cosx-1=0.

        解法4(均值不等式)

        因為f(x)=2sinx+sin2x

        =2sinx(1+cosx),

        所以[f(x)]2=4sin2x(1+cosx)2

        =4(1-cosx)(1+cosx)3

        當(dāng)且僅當(dāng)3-3cosx=1+cosx,

        解法5(琴生不等式) 由f(x)為奇函數(shù),我們可以限定在0

        由琴生不等式,若f(x)為凸函數(shù),則

        由于y=sinx為(0,π)上的凸函數(shù),

        于是f(x)=2sinx+sin2x

        =sin(π-x)+sin(π-x)+sin2x

        解法6(構(gòu)造幾何模型)

        因為f(x)=2sinx+sin2x

        =2sinx(1+cosx),

        圖2

        如圖2,設(shè)A(cosx,sinx),點A關(guān)于x軸的對稱點為A′,點B(-1,0),則

        f(x)=2sinx(1+cosx)=2S△AA′B.

        3 背景和拓展

        此題其實也有實際背景,其來源如下:

        已知半圓O的直徑為2,AD為直徑,B,C是半圓上除直徑外的兩點,且BC=CD,則四邊形ABCD面積的最大值為____.

        圖3

        如圖3,連接OB,OC,設(shè)∠BOC=∠DOC=α,

        則SABCD=S△OBC+S△OCD+S△OAB

        進一步,我們可以將此題拓展如下:

        拓展求函數(shù)f(x)=sinx(a+cosx),a∈R的最大值.

        解析顯然f(x)的周期為2π,且有

        f(2π-x)=-f(x) .

        即f(x)關(guān)于點(π,0)對稱.

        為此我們可以限制定義域為[0,π].

        f′(x)=2cos2x+acosx-1,

        令cosx=t,y′=g(t)=2t2+at-1,

        由于Δ=a2+8>0

        g(0)=-1<0.

        函數(shù)g(t)在[-1,1] 內(nèi)有兩個零點t1,t2,

        由于y=cosx在[0,π]上單調(diào)遞減,

        故存在唯一的x1,x2使得

        由y′=g(t)=2t2+at-1<0,解得t1

        即t1

        解得x1

        由此可知f(x)在[0,x1]上單調(diào)遞增,

        在[x1,x2]上單調(diào)遞減,

        在[x2,π]上單調(diào)遞增,

        由此可知fmax(x)=max{f(x1),-f(x2)}.

        代入數(shù)據(jù)計算可得:

        當(dāng)-1

        fmax(x)=-f(x2)=-sinx2(a+cosx2)

        而當(dāng)0≤a<1時,

        fmax(x)=f(x1)=sinx1(a+cosx1)

        (2)當(dāng)a≤-1時,函數(shù)g(t)在[-1,1] 內(nèi)有一個零點t0<0.

        由于y=cosx在[0,π]上單調(diào)遞減,

        故存在唯一的x0使得

        f(x)在[0,x0]上單調(diào)遞減,

        在[x0,π]上單調(diào)遞增,

        由此可知

        fmax(x)=-f(x0)

        (3)當(dāng)a≥1時,同理可得

        綜上:

        做百題不如鉆研一題,通過對一道高考試題的多角度研究,不僅提高了我們的解題能力,而且拓展了我們的思維,使我們從題海中跳出來.

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