周承仕

[摘? 要] 對于解題能力的提升，不同教師有著不同的見解，部分教師認(rèn)為“刷題”是最直接、最高效的方法，然過多“刷題”不僅容易使學(xué)生出現(xiàn)思維定式，而且容易產(chǎn)生消極情緒，這并非最佳方案. 文章指出，解題過程的分析、通性通法的提煉及知識(shí)體系的建構(gòu)才是提升解題能力的捷徑，教師應(yīng)充分發(fā)揮其引導(dǎo)作用，通過干預(yù)和指導(dǎo)來鍛煉學(xué)生的思維，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)能力.

[關(guān)鍵詞] 解題能力;干預(yù);學(xué)習(xí)能力

教師是學(xué)習(xí)的領(lǐng)路人，學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和思維能力的提升離不開教師悉心指導(dǎo)，教學(xué)中教師適度和適當(dāng)?shù)母深A(yù)不僅可以讓學(xué)生少走彎路，而且可以讓學(xué)生“真懂真會(huì)”，從而提升學(xué)習(xí)效率. 筆者經(jīng)過不斷地實(shí)踐研究，獲得了一點(diǎn)成效，分享給同行供參考.

借過程分析，讓思維更嚴(yán)謹(jǐn)

在解題中常出現(xiàn)答案正確、然過程錯(cuò)誤的現(xiàn)象，有部分原因是學(xué)生的書寫過程不夠規(guī)范，于是造成了錯(cuò)誤;然大多數(shù)錯(cuò)誤還是因?yàn)閷W(xué)生的思維不夠嚴(yán)謹(jǐn)造成的，如在解題時(shí)添加或減少了條件，從而出現(xiàn)了“對而不會(huì)”的現(xiàn)象. 因此，教學(xué)中要杜絕“重結(jié)果缺過程”的現(xiàn)象，只有通過對過程的分析和思考才能暴露學(xué)生的思維誤區(qū)，從而對癥下藥，正確求解.

案例1? 如圖1所示，已知有一條長2.5米的木棍AB斜靠在墻上，地面OM與墻ON垂直. 此時(shí)OB的長度為0.7米，AB的中點(diǎn)為P.

（1）若木棍沿墻面逐漸下滑，當(dāng)頂點(diǎn)A下滑0.4米時(shí)，試求點(diǎn)B向右滑動(dòng)了多少米.

（2）在木棍AB下滑的過程中，中點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離是否發(fā)生了變化？請說明理由.

（3）木棍AB下滑到什么位置時(shí)，可以使△AOB的面積最大？此時(shí)的值是多少？

解題分析? 第（1）問主要考查的是勾股定理的應(yīng)用. 根據(jù)題目條件很容易得出OA為2.4米，當(dāng)頂點(diǎn)A下滑0.4米時(shí)可得OA為2米，斜邊AB不變. 根據(jù)勾股定理可以求出點(diǎn)B向右滑行后到點(diǎn)O的距離為1.5米，故可得點(diǎn)B向右滑行了0.8米. 第（2）問看似為復(fù)雜的動(dòng)點(diǎn)問題，然仔細(xì)分析后可知其為直角三角形斜邊中線定理，因?yàn)樾边匒B不變，所以斜邊上的中線OP也不變. 前面兩個(gè)問題大多數(shù)學(xué)生都能解決，并且可以思路清晰地正確求解. 第（3）問是一道考查學(xué)生綜合能力的題目，有一定難度，然從結(jié)果來看，大多數(shù)學(xué)生都得出了正確答案. 為了更好地呈現(xiàn)學(xué)生的思維過程，筆者讓學(xué)生通過口述的形式講述其求解過程.

生1：我認(rèn)為當(dāng)OP⊥AB時(shí)，△AOB的面積最大，所以我是根據(jù)這個(gè)思路求解的.

師：你的理由是什么呢？

生1：這個(gè)我不太能說得清楚，憑借經(jīng)驗(yàn)，這類題目的答案一般都是在特殊的位置，所以我認(rèn)為當(dāng)OP⊥AB時(shí)就是那個(gè)特殊的位置.

師：雖然你的答案是正確的，但缺少對過程的正確理解，有沒有同學(xué)可以幫助他呢？

生2：我們知道對于周長相等的四邊形，正方形的面積大于長方形的面積，按照這個(gè)思路可知，當(dāng)OA=OB時(shí)，△AOB的面積最大. 而當(dāng)OA=OB時(shí)，正好是OP⊥AB. （很多學(xué)生認(rèn)為生2說得很有道理，紛紛點(diǎn)頭）

師：是這樣嗎？（教師表示疑惑，這時(shí)反應(yīng)快的學(xué)生已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了問題）

生3：生2的說法有問題，因?yàn)橹挥兄荛L不變的情況下上面的說法才能成立，而從第（1）問可知OA縮短了0.4米，而OB增加了0.8米，顯然其周長變化了. 另外，可以設(shè)OA=a，OB=b，可得a2+b2=6.25，從這個(gè)等式也可以看出OA+OB是不確定的.

師：分析得很有道理. 如何將a2+b2=6.25變形，使其轉(zhuǎn)化為類似ab這種與三角形面積相關(guān)的式子呢？（教師話音剛落，學(xué)生就開始搶答了）

生4：（a+b）2-2ab=6.25.

生5：（a-b）2+2ab=6.25.

師：很好，現(xiàn)在結(jié)合生2的思路，可以得到什么呢？

生6：當(dāng)ab的值最大時(shí)，△OAB的面積最大. 由（a-b）2+2ab=6.25可知，當(dāng)ab的值最大時(shí)，（a-b）2的值最小，此時(shí)a=b，△OAB為等腰直角三角形，OP⊥AB，S=×2.5×1.25=1.5625.

通過師生和生生的互動(dòng)交流，不僅理清了問題的來龍去脈，而且挖掘出了問題的本質(zhì)，使學(xué)生不僅“懂”而且“會(huì)”. 數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，雖然有時(shí)也應(yīng)用了猜想和假設(shè)，然并非憑空猜想，其需要符合客觀的事實(shí). 在第（3）問的求解過程中，雖然生1和生2的答案是正確的，然其求解過程不夠充分，故出現(xiàn)了“對而不會(huì)”的現(xiàn)象. 因此，在教學(xué)中教師不能僅關(guān)注結(jié)果，更應(yīng)關(guān)注解題過程，只有經(jīng)歷了過程才能知道學(xué)生是否真的“既懂又會(huì)”，從而培養(yǎng)他們嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維.

借多種解題，提煉通性通法

眾所周知，數(shù)學(xué)習(xí)題千變?nèi)f化，不可能做完. 提升解題能力單憑機(jī)械盲目的強(qiáng)化訓(xùn)練往往收獲甚微，而且機(jī)械訓(xùn)練會(huì)占用學(xué)生大量的思考和總結(jié)歸納的時(shí)間，致使學(xué)生因缺乏思考而解題思路單一僵化，因缺乏總結(jié)歸納而無法提煉解題的通性通法，不利于思維的發(fā)展. 沒有好的思維習(xí)慣和好的解題策略，解題能力難以提升，因此教學(xué)中教師要適時(shí)引導(dǎo)，讓學(xué)生重視通用法和基礎(chǔ)法的提煉，從而讓學(xué)生既可夯實(shí)基礎(chǔ)又能提升應(yīng)變能力.

案例2? △ABC的位置如圖2所示，直線l經(jīng)過點(diǎn)（0，1）且與y軸平行，△ABC與△ABC關(guān)于直線l對稱.

（1）畫出△ABC，并寫出其對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo);

（2）若點(diǎn)P在△ABC內(nèi)，坐標(biāo)為（a，b），寫出△ABC中與點(diǎn)P對應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo).

解題分析? 第（1）問是基礎(chǔ)類問題，相對容易，學(xué)生很容易得出答案. 第（2）問的難度略有提高，其主要考查學(xué)生的觀察能力、動(dòng)手能力，以及轉(zhuǎn)化和類比等數(shù)學(xué)思想. 大多數(shù)學(xué)生根據(jù)觀察第（1）問中各對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系猜想P的坐標(biāo)，進(jìn)而得出答案;也有少數(shù)學(xué)生使用了平移方法，然有些學(xué)生對于平移方法表示不理解，于是教師讓采用平移方法的學(xué)生進(jìn)行了講解.

生7：將直線l與△ABC考慮為一個(gè)整體，將直線l向右平移一個(gè)單位，使直線l與y軸重合，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a+1，b），則其關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（-a-1，b），這時(shí)再將（-a-1，b）向左平移一個(gè)單位，即得P的坐標(biāo)為（-a-2，b）.

通過生1的講解，大部分學(xué)生表示理解了，并且會(huì)用平移法求解對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo). 在教學(xué)中要鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行多角度的觀察和思考，通過類比、猜想、歸納等活動(dòng)來發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)特征，從而發(fā)現(xiàn)解題的一般方法. 為了讓學(xué)生的思維再“跳一跳”，教師繼續(xù)追問：你們認(rèn)為哪種方法更好呢？

在追問的引領(lǐng)下，學(xué)生除了關(guān)注結(jié)果是否正確外，開始尋找最優(yōu)的解決策略. 然針對部分學(xué)生仍對平移方法存在疑問，教師引導(dǎo)學(xué)生通過動(dòng)手操作來真實(shí)演繹推理的過程. 首先教師讓學(xué)生在紙上繪畫△ABC并將其裁剪下來，接下來將△ABC向右進(jìn)行平移，將y軸想象成直線l，這時(shí)寫出平移后點(diǎn)P的坐標(biāo)，最后讓學(xué)生將△ABC向左平移至原來的位置，再寫下此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo). 通過動(dòng)手操作，學(xué)生更加直觀地了解了對稱與平移. 為了讓學(xué)生加深理解，教師還可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行變式訓(xùn)練，如將“直線l經(jīng)過點(diǎn)（0，1）且與y軸平行”改為“直線l經(jīng)過點(diǎn)（0，-1）且與x軸平行”. 通過動(dòng)手操作及變式訓(xùn)練的引導(dǎo)，不僅可以發(fā)散學(xué)生的思維，而且有助于學(xué)生從特殊規(guī)律發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律，找到解決問題的通性通法，提升學(xué)生分析和解決問題的能力.

借變式訓(xùn)練，促知識(shí)遷移

數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)鏈接起來猶如一個(gè)大型“蜘蛛網(wǎng)”，它們相互關(guān)聯(lián)、相互依存，然很多學(xué)生在知識(shí)構(gòu)建時(shí)因忽略知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，致使漏洞出現(xiàn). 究其原因，很大程度上與教師的教學(xué)方法有關(guān)：部分教師在教學(xué)時(shí)依然習(xí)慣用“題海戰(zhàn)術(shù)”進(jìn)行強(qiáng)化訓(xùn)練，忽視了例習(xí)題的示范性和典型性，忽略了對例習(xí)題的挖掘，學(xué)生無法領(lǐng)會(huì)例習(xí)題的真正意圖，無法找到知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，從而限制了知識(shí)的遷移和運(yùn)用. 為了改變這一現(xiàn)象，教師要重視例習(xí)題的拓展和引申，潛移默化地讓學(xué)生從一個(gè)知識(shí)點(diǎn)“嫁接”至另一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，從一個(gè)知識(shí)體系“跨越”至另一個(gè)知識(shí)體系，從而實(shí)現(xiàn)知識(shí)的全面系統(tǒng)構(gòu)建，提升解題能力.

案例3? 已知點(diǎn)P（-3，2）關(guān)于y=x對稱，求其對稱點(diǎn)的坐標(biāo).

解題分析? 本題未給出圖形，需要學(xué)生自己進(jìn)行構(gòu)造. 為了尋找點(diǎn)P的對稱點(diǎn)，學(xué)生可以構(gòu)造等腰直角三角形，如圖3所示. 圖形構(gòu)造完成后很容易得出點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，2），由點(diǎn)A的坐標(biāo)可以推導(dǎo)出點(diǎn)Q（點(diǎn)P關(guān)于y=x的對稱點(diǎn)）的坐標(biāo)為（2，-3）.

顯然通過數(shù)形結(jié)合使本題的求解過程更加清晰明了，為了檢驗(yàn)學(xué)生的學(xué)習(xí)成果并讓思維實(shí)現(xiàn)質(zhì)的飛躍，教師設(shè)計(jì)了兩個(gè)分層的變式題目：（1）寫出點(diǎn)P（-3，2）關(guān)于y=-x對稱的點(diǎn)的坐標(biāo);（2）寫出點(diǎn)P（-3，2）關(guān)于y=x+2對稱的點(diǎn)的坐標(biāo). 變式題（1）依然是軸對稱問題，其解題思路和解題方法與原題相同. 變式題（2）在軸對稱的基礎(chǔ)上增加了平移，潛移默化地實(shí)現(xiàn)知識(shí)的遷移，使學(xué)生的思維得到了升華. 在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，各知識(shí)點(diǎn)之間存在著千絲萬縷的聯(lián)系，因此要學(xué)好數(shù)學(xué)必須會(huì)轉(zhuǎn)化，將不熟悉的、不夠直觀的問題根據(jù)已有知識(shí)進(jìn)行遷移和轉(zhuǎn)化，從而提升數(shù)學(xué)的綜合應(yīng)用能力.

總之，教學(xué)中要善于借助于思維過程暴露出的問題，通過適當(dāng)干預(yù)，讓學(xué)生“真懂真會(huì)”，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)能力.