摘? 要：數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)是六大數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)之一，可視化教學(xué)是培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的重要途徑. 以三個教學(xué)案例為例，闡述如何在日常教學(xué)中通過可視化教學(xué)培養(yǎng)高中生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，并探索出通過可視化教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的三條路徑：借助問題串，讓全章內(nèi)容體系可視;巧用流程圖，讓整節(jié)研究思路可視;借用思維導(dǎo)圖，讓思辨思維過程可視.

關(guān)鍵詞：思維可視化;數(shù)學(xué)建模;核心素養(yǎng)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）指出，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的過程中，學(xué)生能發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng). 數(shù)學(xué)建模是對現(xiàn)實問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題，用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng).

數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的培養(yǎng)應(yīng)落實到課堂教學(xué)的各個環(huán)節(jié). 章建躍博士指出，人教版教材關(guān)于數(shù)學(xué)建模活動的編寫思路是：通過加強數(shù)學(xué)研究對象的抽象過程、加強現(xiàn)實背景的數(shù)學(xué)化過程、加強數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用環(huán)節(jié)、選取適當(dāng)內(nèi)容呈現(xiàn)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的全過程，有計劃地安排數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的某些環(huán)節(jié)滲透建模思想. 因此，如何在數(shù)學(xué)教學(xué)的各個環(huán)節(jié)精心處理教學(xué)內(nèi)容，更好地滲透數(shù)學(xué)建模思想，成為培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的關(guān)鍵.

可視化教學(xué)有助于數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的培養(yǎng). 所謂可視化教學(xué)，其核心是思維可視化，是以文字、圖形等形式將教學(xué)內(nèi)容合理整合，讓教學(xué)內(nèi)容的呈現(xiàn)更清晰，使原本看不見的思維過程清楚地呈現(xiàn)出來，進(jìn)而促進(jìn)知識的深度理解和思維的深度參與的教學(xué)形式.

數(shù)學(xué)思維可視化教學(xué)，有利于創(chuàng)造性地處理教材內(nèi)容、優(yōu)化教學(xué)環(huán)節(jié)，讓學(xué)生更好地體會現(xiàn)實背景的數(shù)學(xué)化過程，更有效地經(jīng)歷數(shù)學(xué)研究對象的抽象過程，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的發(fā)展. 下面結(jié)合教學(xué)實踐分享如何在日常教學(xué)中運用可視化教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

一、借助問題串，讓全章內(nèi)容體系可視，在核心問題的解決中發(fā)展數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)

大單元和核心問題是發(fā)展數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的重要載體. 人教A版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》每一章的內(nèi)容體系通常是：實際問題—抽象出數(shù)學(xué)模型—研究數(shù)學(xué)模型—解決實際問題. 全章內(nèi)容圍繞一個核心問題展開，在解決問題的過程中需要對現(xiàn)實問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，并運用數(shù)學(xué)語言刻畫和表達(dá)現(xiàn)實問題，最終用數(shù)學(xué)方法建構(gòu)模型解決現(xiàn)實問題. 因此，全章內(nèi)容的學(xué)習(xí)過程本質(zhì)上是建立數(shù)學(xué)模型解決問題的過程. 教學(xué)中，要善于利用教學(xué)素材，站在全章的角度，引導(dǎo)學(xué)生圍繞核心問題提出一系列小問題，以問題串的形式，將推動全章內(nèi)容發(fā)展的小問題逐個串聯(lián)起來，后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)則圍繞問題串中的小問題進(jìn)行研究，通過解決問題串中的小問題，最終解決全章的核心問題. 問題串為全章內(nèi)容編織了一張體系網(wǎng)，讓全章內(nèi)容體系可視，為數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的孕育提供了豐富的土壤.

案例1：“三角函數(shù)”章引言課.

（1）創(chuàng)設(shè)情境，提出核心問題.

出示以下情境：① 地球自轉(zhuǎn)引起晝夜交替;② 地球公轉(zhuǎn)引起四季更迭;③ 一周七天的循環(huán)往復(fù);④ 摩天輪轉(zhuǎn)動過程中，摩天輪上一點的運動.

問題1：以上情境有何共同特征？

生：具有循環(huán)往復(fù)、周而復(fù)始的特征.

師：我們把這種具有循環(huán)往復(fù)、周而復(fù)始特征的變化規(guī)律稱為周期性.

問題2：如何用數(shù)學(xué)模型刻畫周期性現(xiàn)象？

【設(shè)計意圖】問題2是“三角函數(shù)”一章的核心問題，該問題的解決直接助推本章內(nèi)容的深入研究.

（2）圍繞核心問題，設(shè)計問題串.

師：為了用數(shù)學(xué)模型對周期性現(xiàn)象進(jìn)行刻畫，首先應(yīng)該找到比較理想的、便于研究的周期性現(xiàn)象. 你能找到這樣的周期性現(xiàn)象嗎？

學(xué)生討論后，認(rèn)為可以從熟悉的圓周運動開始研究. 在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生提問，設(shè)計如下問題串.

① 如圖1，點[P]在圓周上周而復(fù)始地運動時，角[α]如何刻畫？

② 如何選擇特殊的圓周運動，建立函數(shù)模型來刻畫點[P]的運動規(guī)律？

③ 單位圓有哪些幾何性質(zhì)？如何用新的函數(shù)模型對單位圓的這些性質(zhì)進(jìn)行代數(shù)刻畫？

④ 新的函數(shù)模型是如何刻畫點[P]在圓周上周而復(fù)始的運動規(guī)律的？新的函數(shù)模型具有怎樣的性質(zhì)？

⑤ 如何用新的函數(shù)模型解決與周期性現(xiàn)象有關(guān)的現(xiàn)實問題？

（3）引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建本章可視化的知識體系和研究思路框架.

在本章的后續(xù)學(xué)習(xí)中，引導(dǎo)學(xué)生解決上述問題串中的5個小問題. 通過問題的解決，建構(gòu)全章的主要知識，最終確定本章的知識結(jié)構(gòu)體系和研究思路框架如圖2所示.

“三角函數(shù)”一章從現(xiàn)實世界中的周期性現(xiàn)象到圓周運動，再到單位圓上點的運動，以單位圓為載體定義三角函數(shù)，并借助單位圓研究三角函數(shù)的圖象與性質(zhì). 在此基礎(chǔ)上，運用三角函數(shù)進(jìn)一步解決與周期性現(xiàn)象有關(guān)的實際問題. 全章內(nèi)容的建構(gòu)過程就是建立數(shù)學(xué)模型刻畫周期性現(xiàn)象的過程. 全章從現(xiàn)實世界中的周期性現(xiàn)象出發(fā)，提出“如何用數(shù)學(xué)模型刻畫周期性現(xiàn)象？”的核心問題，在該問題的統(tǒng)領(lǐng)下，引導(dǎo)學(xué)生提出上述5個小問題，組成問題串. 問題串讓本章的知識體系可視化，它直觀呈現(xiàn)了本章的研究思路，提綱挈領(lǐng)地展示了全章即將研究的內(nèi)容，給學(xué)生構(gòu)建了全章的總體框架. 問題串中每個問題的解決直接助推學(xué)生將周期性現(xiàn)象抽象為三角函數(shù)模型的數(shù)學(xué)化過程. 學(xué)生在經(jīng)歷解決5個小問題的數(shù)學(xué)活動中，逐步積累用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題和用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題的經(jīng)驗，并在后續(xù)類似問題的思維過程中遷移運用，進(jìn)而提升數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

二、巧用流程圖，讓整節(jié)研究思路可視，在數(shù)學(xué)概念的生成中培育數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)

概念教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的重要契機. 在數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)中，學(xué)生充分體會如何從數(shù)學(xué)視角將現(xiàn)實問題抽象為數(shù)學(xué)問題，并建構(gòu)數(shù)學(xué)概念解決問題. 在概念的建構(gòu)過程中，將關(guān)鍵步驟和思考路徑記錄下來，以流程圖的形式呈現(xiàn). 隨著研究的不斷深入，逐步完善流程圖，讓流程圖的生成過程成為師生共同建構(gòu)數(shù)學(xué)概念的過程. 學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念建構(gòu)的全過程后，在課堂小結(jié)中進(jìn)一步審視流程圖，黑板上直觀、清晰呈現(xiàn)的流程圖讓整節(jié)課的思維過程清晰可見. 學(xué)生借助流程圖賞析一節(jié)課的精妙之處，回味一節(jié)課的探究思路和方法，對數(shù)學(xué)知識的掌握和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的提升都能起到畫龍點睛的作用.

案例2：“任意角”的第1課時.

教學(xué)流程：列舉生活中的周期性現(xiàn)象—指出本章將要學(xué)習(xí)的新函數(shù)（三角函數(shù)），并以此來刻畫這種周期性現(xiàn)象—從典型的圓周運動開始研究—用角刻畫圓周上一點[P]的位置變化—將角的范圍擴大到任意角—角的運算—將角放到平面直角坐標(biāo)系中研究—從特殊到一般得到終邊相同的角的集合—用流程圖進(jìn)行課堂小結(jié).

教學(xué)過程中，逐步完善流程圖，最后呈現(xiàn)流程圖如圖3所示.

結(jié)合上述流程圖，引導(dǎo)學(xué)生回味本節(jié)課的研究思路和研究方法. 為了研究周期性現(xiàn)象，抽象出了圓周運動;為了刻畫圓周上一點周而復(fù)始的運動，將角推廣到了任意角;為了研究的方便，把任意角放到統(tǒng)一的平臺——平面直角坐標(biāo)系中研究，得到了象限角的概念. 在此基礎(chǔ)上，從數(shù)和形兩個角度認(rèn)識了與角[α]終邊相同的角的集合：從數(shù)的角度，[α+?k · 360° k∈Z]表示[α]與整數(shù)個周角的和;從形的角度，[α+k · 360°?? k∈Z]表示在角[α]的基礎(chǔ)上，角[α]的終邊轉(zhuǎn)動[k]周. 這樣一周一周地轉(zhuǎn)動[k]周正是周而復(fù)始的周期性現(xiàn)象，這就是用數(shù)學(xué)語言表達(dá)現(xiàn)實世界.

流程圖讓“任意角”概念生成過程中蘊含的數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)知識背后的邏輯聯(lián)系和數(shù)學(xué)思想方法清晰地呈現(xiàn)出來，讓整節(jié)課的研究思路可視. 在數(shù)學(xué)知識上，可以直觀地看出本節(jié)課的研究從生活中的周期性現(xiàn)象到任意角，然后將任意角放到平面直角坐標(biāo)系中研究，得到終邊相同的角及其坐標(biāo)表示;在數(shù)學(xué)知識背后的邏輯聯(lián)系上，終邊相同的角的集合就是對周期性現(xiàn)象的代數(shù)刻畫，與周期性現(xiàn)象相呼應(yīng);在數(shù)學(xué)思想方法上，可以感受到從現(xiàn)實問題中抽象出數(shù)學(xué)問題這種抽象的基本思想和研究終邊相同的角的集合的過程中所蘊含的從特殊到一般的研究方法. 通過流程圖，學(xué)生細(xì)細(xì)地回味整節(jié)課的思維過程，體會其中蘊含的思想方法，挖掘流程圖中蘊藏的深意，這有助于學(xué)生將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的思考路徑納入已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，有利于學(xué)生將如何用數(shù)學(xué)語言表達(dá)和刻畫現(xiàn)實問題的思維方式浸入腦海，進(jìn)而助推數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的發(fā)展.

三、借用思維導(dǎo)圖，讓思辨思維過程可視，在建模全過程中孕育數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)

數(shù)學(xué)建?；顒邮桥囵B(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的直接途徑.《標(biāo)準(zhǔn)》將“數(shù)學(xué)建?；顒优c數(shù)學(xué)探究活動”單獨作為一條主線，意在讓學(xué)生通過其他主線內(nèi)容的學(xué)習(xí)，積累一定的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、必要的數(shù)學(xué)基本思想方法和建模經(jīng)驗以后，以課題研究的形式用數(shù)學(xué)眼光觀察現(xiàn)實世界，進(jìn)而提出問題，并抽象出數(shù)學(xué)問題，確定參數(shù)、建立模型、計算求解、改進(jìn)模型，繼而解決實際問題，經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的全過程.

在數(shù)學(xué)建模的全過程中，借助思維導(dǎo)圖，將隱藏在建模背后的思維過程和思考方法用思維導(dǎo)圖直觀地展示出來，將建模過程中的思辨思維呈現(xiàn)在思維導(dǎo)圖中，可以更好地幫助學(xué)生思考，并將思考的方式和路徑遷移到其他建模問題的求解中，促進(jìn)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的提升.

案例3：建立數(shù)學(xué)模型解決茶水最佳飲用時間問題.

情境問題：茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關(guān)，研究經(jīng)驗表明，某種綠茶用85[°C]的水泡制，在茶水溫度降至60[°C]時飲用，口感最佳. 在室溫為20[°C]的情況下，剛泡好的茶水需要放置多長時間可以達(dá)到最佳口感？

學(xué)生經(jīng)過討論得出如下解決方法：首先，收集數(shù)據(jù);然后，在平面直角坐標(biāo)系中以時間為橫軸、水溫為縱軸，作出散點圖;最后，根據(jù)散點圖選擇合適的函數(shù)模型，求出解析式，并求出函數(shù)值為60時，自變量的值.

利用溫度計，收集到數(shù)據(jù)如下表所示.

根據(jù)散點圖，學(xué)生討論生成三種函數(shù)模型選擇思路. 根據(jù)學(xué)生的思路，在課堂上繪制思維導(dǎo)圖，如圖4所示.

用思維導(dǎo)圖將學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型解決茶水最佳飲用時間問題的模型選擇和改進(jìn)過程直觀地展示出來. 一方面，便于學(xué)生在建模過程中進(jìn)行下一步思考，思考如何對現(xiàn)有模型進(jìn)行改進(jìn)，讓建模思路更清晰、更有條理，促進(jìn)學(xué)生思維的深度參與;另一方面，便于學(xué)生比較各種模型的優(yōu)、缺點，選擇更適合的數(shù)學(xué)模型，也可以借鑒其他模型在改進(jìn)過程中的思路和方法，用于改進(jìn)自己的模型. 例如，思路3的改進(jìn)1和改進(jìn)2可以借鑒思路2的改進(jìn)方法. 通過思維導(dǎo)圖，清晰地呈現(xiàn)模型選擇和改進(jìn)過程中隱藏在問題背后的思考路徑和思辨過程，有助于將其內(nèi)化為學(xué)生的自覺行為，使學(xué)生在后續(xù)處理數(shù)學(xué)問題的過程中不自覺地調(diào)用已經(jīng)內(nèi)化的思考方法，進(jìn)而讓數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)在思辨思維的運用和建模全過程的體驗中自然發(fā)展.

可視化教學(xué)和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的發(fā)展應(yīng)落實在日常教學(xué)中，教師要用教學(xué)藝術(shù)讓數(shù)學(xué)化的過程和數(shù)學(xué)對象的抽象過程中隱藏在數(shù)學(xué)活動背后的數(shù)學(xué)思維可視，繼而讓數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)在可視化教學(xué)中獲得更好的發(fā)展.

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