孔繁晶

摘? 要：2021年全國新高考Ⅰ卷第16題以“新、巧、活”的特征引起廣泛關(guān)注. 針對這道“材料在外、考點在內(nèi)、考查思維、體現(xiàn)能力”的數(shù)列創(chuàng)新題，以“讀—探—猜—定—求”五步，探究其建模、解模的過程，并結(jié)合學(xué)生在答題中的困境，評析試題考查的重點與難點，提出相應(yīng)的教學(xué)建議.

關(guān)鍵詞：數(shù)列;創(chuàng)新試題;教學(xué)建議

作為一類離散函數(shù)，數(shù)列是刻畫離散過程的重要模型. 它既是高中數(shù)學(xué)中的主干知識，又是高等數(shù)學(xué)的研究對象，其中蘊含了豐富的數(shù)學(xué)思想與方法，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要載體. 因此，成為歷年高考的重要考點之一.

近年來，數(shù)學(xué)學(xué)科高考命題工作一直堅持“重思維、重應(yīng)用、重創(chuàng)新”的思路與方向. 2021年全國新高考Ⅰ卷第16題是一道數(shù)列創(chuàng)新題，秉承這一理念命制，引起了廣大數(shù)學(xué)教育工作者的關(guān)注.

一、試題呈現(xiàn)

此題以傳統(tǒng)文化中的剪紙藝術(shù)為材料，背景新穎，蘊含豐富的人文價值;題干設(shè)置和問題提出簡潔不冗長，方便閱讀;因是折紙要求，可操作性較強，學(xué)生可以動手嘗試、尋找思路;通過特例啟發(fā)學(xué)生構(gòu)建適合的數(shù)學(xué)模型，解決求和問題，綜合考查學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運算等素養(yǎng). 綜上，確定此題是一道內(nèi)涵豐富的優(yōu)質(zhì)試題.

二、解法探究

針對這道“材料在外、考點在內(nèi)、考查思維、體現(xiàn)能力”的試題，筆者結(jié)合學(xué)生答題中的困境，以“讀—探—猜—定—求”五步，探究其建模、解模的過程.

1. 讀

撥開背景材料的層層迷霧是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題、尋求解決辦法的關(guān)鍵. 因此，讀懂題意就是踏上解題征程的第一步.

首先，粗讀. 確定此題的核心是折紙問題，折紙的方式是依次對折，研究對象是對折多次后形成的不同規(guī)格圖形的種數(shù)和面積總和. 猜測種數(shù)與面積之間存在規(guī)律，可能是數(shù)列問題.

其次，帶著這些粗讀后的第一印象進行精讀. 明確對折要點——每次對折都會有“橫折”和“豎折”兩種情況，故題干中的文字描述可以轉(zhuǎn)化為形象的圖示語言，如圖1所示.

【說明】由于高考命題不留教材痕跡，雖然考點均為《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版）》中的要求，但是背景材料大多新穎、少見. 學(xué)生往往對此心生畏懼，時常出現(xiàn)“在有限時間內(nèi)讀不懂題，不知道從何處下手解題”的困擾，究其原因是學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀和信息整合處理能力不足.

2. 探

試題所問為“對折4次”和“對折n次”的情況探究，故在圖1的基礎(chǔ)上，探索n = 3時的情況，如圖2所示.

進一步簡化探究過程，形成較為簡單的圖表語言（記“橫折”為“H”，“豎折”為“S”），如下表所示.

【說明】數(shù)學(xué)語言是數(shù)學(xué)思維的載體，合理的語言轉(zhuǎn)化有助于對問題的簡化和理解. 面對文字描述的操作方式，學(xué)生可能一時無法找到求解問題的關(guān)鍵. 對此，可以引導(dǎo)學(xué)生嘗試利用圖、表進行分析，以尋找解題的突破口.

3. 猜

經(jīng)過對n = 1，2，3情況下的特例探索，規(guī)律已經(jīng)呼之欲出.

（1）對折n次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為n + 1，故當n = 4時，不同規(guī)格圖形的種數(shù)為5.

（2）每次對折后，不同規(guī)格圖形的面積均相等，如第2次對折后，形成的3種不同規(guī)格的長方形的面積都是60[dm2]，且后一次對折都是在前一次折疊基礎(chǔ)上進行的，因此新形成的單位長方形的面積都是前一次的單位長方形面積的一半.

【說明】考查思維向來是高考命題的重要原則之一，對第3次對折規(guī)律的分析直接關(guān)系到后續(xù)建模、解模過程是否順利.

4. 定

至此發(fā)現(xiàn)，依次對折后形成的單位長方形面積之和是按照一定規(guī)律排列的一列數(shù)，故確定建立數(shù)列模型.

設(shè)對折k次，記單位長方形的面積之和為[Sk，] 即依次形成的單位長方形的面積之和為數(shù)列[Sk.]

【說明】數(shù)學(xué)建模是高中數(shù)學(xué)學(xué)科六大核心素養(yǎng)之一，亦是高考常見的考查方向，重在對學(xué)生數(shù)學(xué)思維的穿透力和深刻性的考查. 此題通過特例分析、推理構(gòu)建數(shù)列模型. 在確定通項時，方法1側(cè)重歸納推理，方法2則通過遞推關(guān)系推導(dǎo)通項，體現(xiàn)了“以生考熟”，鼓勵學(xué)生通過多種途徑進行思維創(chuàng)新，突出了對數(shù)學(xué)本質(zhì)的考查.

【說明】解決這一特定數(shù)列前n項求和問題體現(xiàn)了回歸基礎(chǔ)，強調(diào)了對通性、通法的考查. 方法1以“列、乘、減”求和，關(guān)鍵在于“錯位”相減構(gòu)造等比數(shù)列;方法2將[Tn]分解為一個等比數(shù)列和一個與自身相似的數(shù)列進行求和，難點在于轉(zhuǎn)化時需要進行“添項”處理. 這兩種方法殊途同歸，都是考查學(xué)生數(shù)學(xué)運算能力的重要載體.

問題延伸：若將題中長方形紙的規(guī)格改為20 dm × 10 dm，情況如何呢？若將題中長方形紙的規(guī)格改為a dm × b dm，情況又如何呢？

三、教學(xué)啟示

一道精彩的高考試題中蘊含著豐富的教育內(nèi)涵，基于這道數(shù)列創(chuàng)新題的命題與解答分析，筆者總結(jié)出“兩回歸，兩重視”教學(xué)建議.

1. 回歸基礎(chǔ)，重視通性、通法訓(xùn)練

九層之臺，起于累土. 高考歷來重視對基礎(chǔ)知識和基本技能的考查，注重對通性、通法的研究. 分解此道試題，不難發(fā)現(xiàn)所考查的數(shù)列概念、等比數(shù)列概念、遞推數(shù)列求通項，以及特殊數(shù)列求和等考點均是高中數(shù)學(xué)中的主干知識或重點知識，無論從內(nèi)容上還是難度上來看，均屬于高考數(shù)學(xué)中的穩(wěn)定考查對象. 因此，在高三復(fù)習(xí)中，要注意回歸基礎(chǔ)、追根溯源，對于基礎(chǔ)知識、基本方法的鞏固與提升要做到穩(wěn)扎穩(wěn)打，切不可求快、求偏，根深才能葉茂，只有基石穩(wěn)固，才能求突破、求發(fā)展.

2. 回歸本質(zhì)，重視數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)生成

在高考命題堅持“信息切入，能力考查”的大背景下，回歸數(shù)學(xué)本質(zhì)是從命題到教學(xué)的強烈呼聲. 回顧此道試題，對于數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等素養(yǎng)的綜合考查突出了從知識立意到能力立意，再到學(xué)科素養(yǎng)立意的評價核心. 因此，在高三復(fù)習(xí)中，教師要寧心靜氣、精選精練，敢于留白，敢于利用充足的時間引導(dǎo)學(xué)生進行深度思考，并且啟發(fā)學(xué)生抓住數(shù)學(xué)本質(zhì)，關(guān)注一題多解、多題一解，學(xué)會探究、學(xué)會思考、學(xué)會總結(jié)，從而實現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的生成.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制定. 普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

[2]任子朝，趙軒. 基于高考評價體系的數(shù)學(xué)科考試內(nèi)容改革實施路徑[J]. 中國考試，2019（12）：27-32.

[3]曾榮，渠東劍. 回歸數(shù)學(xué)本真，關(guān)注新穎題型：比較視角下的“八省聯(lián)考”數(shù)學(xué)卷特點及教學(xué)建議[J]. 教育研究與評論（中學(xué)教育教學(xué)），2021（2）：37-41.