彭蕭 李兆敏

[摘 ?要] “四個(gè)理解”是教改中“以不變應(yīng)萬變”的法寶. 理解數(shù)學(xué)是開展教學(xué)的前提，落腳于對(duì)章節(jié)知識(shí)邏輯網(wǎng)和上下位知識(shí)的理解，確立教學(xué)目標(biāo);理解學(xué)生是促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展的保障，關(guān)注學(xué)生知識(shí)儲(chǔ)備與思維障礙找到最近發(fā)展區(qū)，自然衍生出教學(xué)重難點(diǎn);理解教學(xué)是開展教學(xué)活動(dòng)，創(chuàng)設(shè)有意義的情境與活動(dòng)，設(shè)立針對(duì)性的問題串，促進(jìn)教師的“教”與學(xué)生的“學(xué)”的統(tǒng)一;理解技術(shù)是發(fā)展學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的“點(diǎn)睛之筆”. 在冪函數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)中，四個(gè)理解相互聯(lián)系，共同作用有效落實(shí)立德樹人的根本任務(wù).

[關(guān)鍵詞] 四個(gè)理解;冪函數(shù);教學(xué)設(shè)計(jì)

章建躍先生指出：在課堂教學(xué)改革中有效落實(shí)“四個(gè)理解”，即理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)、理解技術(shù)，決定了育德、育智所能達(dá)到的水平和效果. 面對(duì)教師在“理解數(shù)學(xué)”上不到位，“玩不轉(zhuǎn)”數(shù)學(xué)的教育問題[1]，章先生提出“四個(gè)理解”是教學(xué)改革中“以不變應(yīng)萬變”的法寶[2]. 教師要把學(xué)生當(dāng)做一個(gè)活生生的人，而要想讓數(shù)學(xué)教學(xué)教出數(shù)學(xué)味道，教學(xué)設(shè)計(jì)值得每一位教師深思. 為解決數(shù)學(xué)教學(xué)中的這些問題，基于“四個(gè)理解”并結(jié)合《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《課標(biāo)》）的教學(xué)指導(dǎo)，對(duì)《普通高中人教A版數(shù)學(xué)必修（第一冊(cè)）》第三章第三節(jié)冪函數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)進(jìn)行研究，以期供一線教師參考借鑒.

理解數(shù)學(xué)，設(shè)定教學(xué)目標(biāo)

理解數(shù)學(xué)是開展教學(xué)的前提，是確定教學(xué)目標(biāo)的方向舵. 理解數(shù)學(xué)在冪函數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)中的落腳點(diǎn)是對(duì)章節(jié)結(jié)構(gòu)邏輯知識(shí)網(wǎng)的把握和對(duì)內(nèi)容上、下位知識(shí)的清晰認(rèn)識(shí)，《課標(biāo)》在其“基本理念”中強(qiáng)調(diào)“突出數(shù)學(xué)主線，凸顯數(shù)學(xué)的內(nèi)在邏輯和思想方法”，這表明，理解數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)建構(gòu)起邏輯關(guān)系網(wǎng)，整體把握主線教學(xué)，將冪函數(shù)這一節(jié)的教學(xué)放在“函數(shù)”這一主線下去探究章節(jié)結(jié)構(gòu)中知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，形成系統(tǒng)的知識(shí)結(jié)構(gòu)，架構(gòu)起整個(gè)函數(shù)章節(jié)的數(shù)學(xué)知識(shí)體系，以便建立研究函數(shù)的一般思路：定義—圖像與性質(zhì)—應(yīng)用，為后面研究指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)提供研究系統(tǒng)參考，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的自然延拓. 該結(jié)構(gòu)所體現(xiàn)的邏輯性、思維性，以及融入的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)才是貫穿課堂始終的“數(shù)學(xué)靈魂”.

理解冪函數(shù)的上、下位知識(shí)，明確知識(shí)的來龍去脈[3]，就是要在教學(xué)設(shè)計(jì)中將冪函數(shù)內(nèi)容與已知的知識(shí)發(fā)生實(shí)質(zhì)性的聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)對(duì)知識(shí)的同化. 學(xué)生在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)了一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)，在高中已掌握函數(shù)性質(zhì)和概念，理解函數(shù)在高中是通過“對(duì)應(yīng)說”把握其變化規(guī)律，而從具體情境中抽象出的以前學(xué)過的函數(shù)模型及函數(shù)中不變的性質(zhì)便是冪函數(shù)概念形成的上位知識(shí);根據(jù)抽象出的函數(shù)模型需要進(jìn)一步歸納概括以實(shí)現(xiàn)對(duì)冪函數(shù)概念的同化，并將函數(shù)性質(zhì)引申到研究冪函數(shù)中冪指數(shù)α對(duì)其性質(zhì)的影響，這是一個(gè)借助圖像去高度概括和抽象的過程，因此可稱為冪函數(shù)的下位知識(shí).

基于此，教師可將從具體函數(shù)中抽象出函數(shù)概念、確定一般函數(shù)的研究思路，借助圖像探究五個(gè)冪函數(shù)和任意冪函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)一步滲透“數(shù)形結(jié)合思想、由特殊到一般的思想”作為教學(xué)目標(biāo).

理解學(xué)生，清晰教學(xué)重難點(diǎn)

理解學(xué)生是促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展的保障. 以學(xué)生為主體的教學(xué)，是要把學(xué)生看作一個(gè)有思想有活力的個(gè)體，關(guān)注學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備是否充足，不足之處怎樣搭建“知與不知”的橋梁;思維是否有障礙，如何尋找介于“已知區(qū)”和“未知區(qū)”之間的“最近發(fā)展區(qū)”. 在探索過程中，衍生出教學(xué)設(shè)計(jì)的重難點(diǎn). 《課標(biāo)》在“課程理念”中強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)課程是為了實(shí)現(xiàn)“人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”，如果沒有一定的數(shù)學(xué)知識(shí)儲(chǔ)備，那么應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)處理問題也變成空談，教學(xué)設(shè)計(jì)要清楚學(xué)生的已有知識(shí)系統(tǒng)，通過新課學(xué)習(xí)豐富知識(shí)儲(chǔ)備，為“四能”的獲得和擴(kuò)充終身學(xué)習(xí)的知識(shí)庫做準(zhǔn)備. 進(jìn)而確定教學(xué)重點(diǎn)是從五個(gè)具體冪函數(shù)歸納認(rèn)識(shí)冪函數(shù)的概念和性質(zhì)，在研究過程中做到對(duì)知識(shí)系統(tǒng)擴(kuò)充，形成高中第一個(gè)初等函數(shù)研究的典范.

教育學(xué)家維果茨基提出“最近發(fā)展區(qū)”這一理念，內(nèi)涵中將介于已知區(qū)和未知區(qū)之間的區(qū)域歸結(jié)為“最近發(fā)展區(qū)”[4]，人的認(rèn)知水平常在這三個(gè)層次之間不斷轉(zhuǎn)化，螺旋式上升. 理解學(xué)生就要尋找學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，并搭建跨越知與不知的橋梁，在這里將這個(gè)橋梁的搭建過程理解為學(xué)生的思維障礙，突破這個(gè)障礙就是本節(jié)課要確定的教學(xué)難點(diǎn). 根據(jù)數(shù)學(xué)認(rèn)知過程的四個(gè)階段：輸入階段、相互作用階段、操作階段和輸出階段，畫出冪函數(shù)認(rèn)知發(fā)展水平的模式（如圖1），力求突破學(xué)生畫y=x3，y=x圖像的思維障礙，做到理解學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，衍生出冪函數(shù)的教學(xué)難點(diǎn)是畫出五個(gè)冪函數(shù)的圖像，并能借助圖像研究出一般冪函數(shù)y=xα中冪指數(shù)α對(duì)圖像及性質(zhì)的影響.

理解教學(xué)，精設(shè)教學(xué)過程

理解教學(xué)是開展教學(xué)活動(dòng)，師生共同提高的過程. 教學(xué)過程的精心設(shè)計(jì)，將思想、方法融入有趣且有意義的教學(xué)情境和教學(xué)活動(dòng)中，實(shí)現(xiàn)教學(xué)方式的多樣化，有利于促進(jìn)教師的“教”與學(xué)生的“學(xué)”的自然統(tǒng)一.

1. 情境創(chuàng)設(shè)引入教學(xué)，實(shí)現(xiàn)概念形成

數(shù)學(xué)知識(shí)的高度概括性，使得數(shù)學(xué)直接感知、理解和內(nèi)化存在一定難度，往往“學(xué)的人不知數(shù)學(xué)如何去意會(huì)”，而“教的人不知數(shù)學(xué)如何去言傳”，這就需要?jiǎng)?chuàng)設(shè)情境去消除“意會(huì)”和“言傳”之間的障礙[5]. 由此，在教學(xué)中，為學(xué)生提供具有現(xiàn)實(shí)意義和思考價(jià)值的問題情境[6]，能充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，啟發(fā)學(xué)生思維，帶給學(xué)生心靈感染和內(nèi)心情感的體驗(yàn)，這也是提高數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)效的重要途徑. 在《課標(biāo)》課程理念中也提出創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境能啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì).

將問題情境創(chuàng)設(shè)思想應(yīng)用于冪函數(shù)教學(xué)引入中，對(duì)于冪函數(shù)概念形成的教學(xué)在以往創(chuàng)設(shè)的教學(xué)情境上，進(jìn)行創(chuàng)新，基于新型冠狀病毒肆虐全球，全世界人民攜手抗擊疫情的社會(huì)大情境下，找到情境創(chuàng)設(shè)突破口，創(chuàng)設(shè)能引起學(xué)生關(guān)注與思考的教學(xué)情境，使創(chuàng)設(shè)的教學(xué)情境更能引起學(xué)生的情感共鳴，找到教育的“觸點(diǎn)”，實(shí)現(xiàn)對(duì)教學(xué)的理解. 其新舊教學(xué)情境對(duì)照如表1：

表1 ?冪函數(shù)問題情境表

2. 問題串驅(qū)動(dòng)教學(xué)，實(shí)現(xiàn)性質(zhì)探究

在驅(qū)動(dòng)教學(xué)進(jìn)程中，“問題串”已成為教學(xué)的共識(shí)，但不同學(xué)者對(duì)“問題串”的使用理解不同. 龍艷文學(xué)者基于問題串設(shè)計(jì)的必要性、合理性、嚴(yán)謹(jǐn)性對(duì)概念教學(xué)的問題進(jìn)行改進(jìn)，深入教學(xué)中概念的理解[7]. 王先進(jìn)學(xué)者將問題串看作思維訓(xùn)練的良好載體，指引著思維的發(fā)展[8]. 學(xué)者們對(duì)問題串的研究主要從問題串的形式、問題串的作用進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，但問題串的設(shè)計(jì)離不開對(duì)教學(xué)的理解，在學(xué)者的理解之上，從學(xué)生冪函數(shù)的理解障礙出發(fā)，教師對(duì)冪函數(shù)教學(xué)問題串進(jìn)行改進(jìn)，設(shè)計(jì)引領(lǐng)思維發(fā)展的冪函數(shù)性質(zhì)探究的問題串.

教學(xué)片段設(shè)計(jì)1

問題1：研究函數(shù)的性質(zhì)，一般借助什么？

問題2：按照畫圖像的步驟，在畫α=1，2，-1，3，這五個(gè)冪函數(shù)的圖像時(shí)，哪些圖像的大致走向不太好畫出？思考畫不出來的原因.

問題3：依據(jù)函數(shù)y=x3的畫圖思路，請(qǐng)同學(xué)們研究函數(shù)y=x的圖像如何畫，并完善在同一平面直角坐標(biāo)系中這五個(gè)冪函數(shù)的大致圖像.

設(shè)計(jì)說明：三個(gè)問題層層遞進(jìn)，是讓學(xué)生思考在畫函數(shù)y=x3，y=x時(shí)，如何合理取點(diǎn)，突破畫圖障礙，這個(gè)過程讓學(xué)生經(jīng)歷“思想障礙—思索原因—思有所獲—消除障礙”的過程，真正從理解學(xué)生的思維障礙出發(fā)，做到理解教學(xué)，因材施教，讓學(xué)生知道“哪里不會(huì)”到懂得“突破不會(huì)”再到“應(yīng)用所會(huì)”，為突破教學(xué)重難點(diǎn)做鋪墊，這也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中“何由以知其所以然”的重要性.

教學(xué)片段設(shè)計(jì)2

問題4：所有圖像都過第幾象限？所有圖像都過哪個(gè)公共點(diǎn)？

問題5：第二象限中有的函數(shù)有圖像，有的沒有圖像，請(qǐng)同學(xué)們觀察，這五個(gè)冪函數(shù)中哪些函數(shù)在第二象限有圖像，解析式有什么特征？

問題6：同樣，有的函數(shù)在第三象限有圖像，這些函數(shù)有什么共同特征？

問題7：第一象限內(nèi)函數(shù)圖像的單調(diào)性是怎樣的？你能作出函數(shù)y=x-2，y=x的大致圖像嗎？

設(shè)計(jì)說明：問題4、5、6的設(shè)置完成了對(duì)五個(gè)冪函數(shù)借助圖像研究性質(zhì)的過程，為問題7展開對(duì)函數(shù)在第一象限的研究做鋪墊，通過問題串讓學(xué)生的關(guān)注點(diǎn)聚焦于α的奇偶性影響冪函數(shù)的奇偶性，α符號(hào)的正負(fù)影響冪函數(shù)的單調(diào)性，從對(duì)五個(gè)特殊的冪函數(shù)的圖像與性質(zhì)研究推廣到對(duì)一般冪函數(shù)的圖像與性質(zhì)研究，以此突破教學(xué)重難點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)思維的跨越與知識(shí)的延伸.

問題串的設(shè)置解決了學(xué)生“要研究什么”“需要關(guān)注什么”到“總結(jié)推廣研究得到了什么”的研究過程. 至此本節(jié)課真正讓學(xué)生在困惑中尋找方向，在問題驅(qū)動(dòng)中解決困惑，學(xué)會(huì)知識(shí)，由此得到的知識(shí)為研究指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)找到思路的固著點(diǎn)，是數(shù)學(xué)思維和素養(yǎng)的有力保障.

理解技術(shù)，升華教學(xué)內(nèi)容

理解技術(shù)是指將信息化時(shí)代的元素融入教學(xué)中，體現(xiàn)信息技術(shù)在教學(xué)中起的“畫龍點(diǎn)睛”的作用. 高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)較為抽象，信息技術(shù)可作為應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)的一種認(rèn)知工具和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一部分，一個(gè)關(guān)鍵特征是應(yīng)用數(shù)字、圖形和符號(hào)，為抽象的數(shù)學(xué)理論構(gòu)建一個(gè)直觀、動(dòng)態(tài)的模型[9]. 在理解數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上，教師借助數(shù)學(xué)軟件開展教學(xué)，能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象的素養(yǎng)得到有效發(fā)展. 通俗地講就是學(xué)生直觀感受到數(shù)學(xué)知識(shí)“不能動(dòng)”時(shí)，借助軟件輔助思考，讓這些知識(shí)“活起來”. 當(dāng)教學(xué)中遇到憑借教師講解依舊無法突破的知識(shí)時(shí)，我們應(yīng)敏銳地把握住，并采用上述技術(shù)來講授，使其成為活躍思維、發(fā)展直觀想象素養(yǎng)的點(diǎn)睛之筆.

比如應(yīng)用Geogebra（以下簡稱GGB）軟件輔助冪函數(shù)教學(xué). 在探究α對(duì)冪函數(shù)在第一象限的單調(diào)性的影響時(shí)，此時(shí)可以借助GGB創(chuàng)建滾動(dòng)條（如圖2）：當(dāng)拖動(dòng)滾動(dòng)條時(shí)，學(xué)生能直觀感受到當(dāng)α>0時(shí)冪函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)遞增，并且隨著拖動(dòng)α數(shù)值越來越大時(shí)，冪函數(shù)在（1，+∞）上越來越靠近y軸，在（0，1）上越來越靠近x軸. 通過這樣一個(gè)動(dòng)態(tài)的演示讓學(xué)生的思維動(dòng)起來，既突破了教學(xué)難點(diǎn)，也發(fā)展了數(shù)學(xué)素養(yǎng). 在學(xué)生動(dòng)手畫冪函數(shù)的圖像時(shí)，對(duì)于畫函數(shù)y=x3的圖像，有的喜歡去取整數(shù)點(diǎn)，在?。?，0），（1，1），（2，8），（3，27）后，學(xué)生對(duì)其在（0，1）上的大致圖像把握不準(zhǔn)，這時(shí)在教師的引導(dǎo)下縮小取點(diǎn)間距，不妨再取點(diǎn)，. 在學(xué)生繼續(xù)思考作圖后，教師借助GGB準(zhǔn)確畫出函數(shù)y=x3的圖像，于是形成完整的五個(gè)冪函數(shù)的圖像（如圖3）. 通過信息技術(shù)解決學(xué)生的困惑，再到對(duì)函數(shù)圖像的整體把握，這樣的信息技術(shù)應(yīng)用能有效促進(jìn)教學(xué)，提高教學(xué)效率.

結(jié)語

“四個(gè)理解”在冪函數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)中看似各司其職，卻彼此聯(lián)系、相互作用，共同承擔(dān)課堂教學(xué)的完整性、連續(xù)性、復(fù)雜性. 理解數(shù)學(xué)是開展教學(xué)的前提，教師只有理解知識(shí)邏輯網(wǎng)和上下位知識(shí)，才能實(shí)現(xiàn)冪函數(shù)的教學(xué)目標(biāo);理解學(xué)生是促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展的保障，教師既要關(guān)注學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備，也要關(guān)注學(xué)生的思維障礙，切身感受學(xué)生的發(fā)展需要，由此才能貼近學(xué)生，明確教學(xué)重難點(diǎn);理解教學(xué)是師生在教學(xué)活動(dòng)中共同提高的保證，有意義的活動(dòng)與情境、有針對(duì)性的問題串都能促進(jìn)教學(xué)有效開展，達(dá)到師生“教”與“學(xué)”的統(tǒng)一;理解技術(shù)是關(guān)注知識(shí)自然延拓與發(fā)展核心素養(yǎng)的“點(diǎn)睛之筆”. 做足“四個(gè)理解”的教學(xué)設(shè)計(jì)，對(duì)順利開展數(shù)學(xué)“育人”教學(xué)和培養(yǎng)“全面發(fā)展的人”有著不可替代的作用. 教學(xué)是動(dòng)態(tài)過程，這就需要教師基于“四個(gè)理解”的教學(xué)設(shè)計(jì)，在實(shí)踐的反思、改進(jìn)、創(chuàng)新上多下功夫，落實(shí)立德樹人的根本任務(wù)，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)所育之人能擔(dān)起民族復(fù)興的大任，成為全面發(fā)展的社會(huì)主義建設(shè)者和接班人.

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