何海華

【摘 要】學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)規(guī)律時(shí)，必須結(jié)合已有經(jīng)驗(yàn)，深入探索其本質(zhì)，才能真正地理解。本文以“商的變化規(guī)律”為例，進(jìn)行了前期的調(diào)查摸底，從學(xué)生的現(xiàn)狀出發(fā)來凝視問題，針對(duì)此類問題，從學(xué)習(xí)內(nèi)容的安排、學(xué)生的心理特點(diǎn)和教學(xué)處理方式等方面進(jìn)行了深度分析思考，研究有效的教與學(xué)策略。通過整合內(nèi)容、猜想驗(yàn)證、對(duì)比聯(lián)系、多元表征等多種策略引導(dǎo)學(xué)生探究商的變化規(guī)律，促進(jìn)學(xué)生對(duì)規(guī)律的深度理解，發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)規(guī)律 深度理解 策略研究

一、問題凝視

蘇教版數(shù)學(xué)四年級(jí)上冊(cè)學(xué)習(xí)了“商不變的性質(zhì)”后，練習(xí)冊(cè)中有這樣一道練習(xí)題：

根據(jù)5400÷18=300，直接寫出下面各題的答案。

540÷18=（? ?）? ? ? 5400÷36=（? ?）

270÷18=（? ?）? ? ? 5400÷72=（? ?）

筆者下學(xué)期開學(xué)初進(jìn)行了調(diào)查測(cè)試：隨機(jī)選擇了2個(gè)班，共計(jì)83人，全部正確26人，占比31.3%;錯(cuò)誤47人，占比56.6%;未完成10人，占比12%。這樣一道填空題，正確率才三成，甚至還包括直接列豎式計(jì)算的。錯(cuò)誤答案則五花八門。從學(xué)生卷面痕跡來看，有部分學(xué)生沒想到用商的變化規(guī)律來思考，有些學(xué)生是運(yùn)用規(guī)律來填空的，但由于對(duì)規(guī)律的理解不夠透徹，因此找不準(zhǔn)其中的規(guī)律。此類題目，教師們也反饋，學(xué)生掌握不好，雖反復(fù)講評(píng)，效果仍舊不佳。

二、成因透視

（一）內(nèi)容編排的問題

本內(nèi)容涉及的知識(shí)點(diǎn)是商的變化規(guī)律。蘇教版數(shù)學(xué)四年級(jí)教材中，只有商不變的性質(zhì)，沒有安排商的變化規(guī)律的例題，練習(xí)中卻時(shí)有出現(xiàn)。人教版數(shù)學(xué)教材中有編排，是把商不變的性質(zhì)和變化的規(guī)律安排在一課時(shí)中學(xué)習(xí)的。商的變化規(guī)律需要學(xué)生從靜態(tài)思考走向動(dòng)態(tài)思考，這也是學(xué)生思維從運(yùn)算走向關(guān)系的一個(gè)轉(zhuǎn)折過程。它與后續(xù)學(xué)習(xí)的常見數(shù)量關(guān)系、分子分母的變化、比的前項(xiàng)后項(xiàng)變化、正反比例意義，乃至中學(xué)的正反比例函數(shù)都有著千絲萬縷的聯(lián)系。

（二）規(guī)律理解表面化

四年級(jí)學(xué)生正好處于具體形象思維向抽象邏輯思維的過渡時(shí)期。學(xué)生要通過一大堆靜態(tài)的數(shù)學(xué)算式來學(xué)習(xí)動(dòng)態(tài)的變化規(guī)律，對(duì)于靜態(tài)思維的學(xué)生來說，存在一定困難。所以學(xué)生對(duì)這種動(dòng)態(tài)變化規(guī)律的理解只能浮于表面。沒有對(duì)規(guī)律進(jìn)行深入的探索與思考，不與學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)對(duì)接，要在變與不變中真正理解商變化規(guī)律的本質(zhì)，有一定的難度，學(xué)習(xí)很難真正地發(fā)生。

（三）教學(xué)處理簡(jiǎn)單化

教學(xué)中，教師一般都是讓學(xué)生通過觀察一大堆的算式，比較歸納得出規(guī)律，并且在商不變的性質(zhì)內(nèi)容方面花費(fèi)時(shí)間較多，即所謂的重點(diǎn)。而對(duì)于商的變化規(guī)律，教材上沒有例題，沒有單獨(dú)安排，即使補(bǔ)充了教學(xué)內(nèi)容，往往也是一帶而過，覺得只要熟背三條規(guī)律就好。這種重結(jié)果輕過程的教學(xué)方式也直接導(dǎo)致學(xué)生對(duì)變與不變規(guī)律一知半解。還有個(gè)別教師認(rèn)為這僅僅是一道習(xí)題，學(xué)生實(shí)在不會(huì)可以列豎式計(jì)算，只要算對(duì)就好。這是純粹的應(yīng)試教育。本課的教學(xué)目標(biāo)有探索發(fā)現(xiàn)規(guī)律、滲透函數(shù)思想、培養(yǎng)抽象概括能力等，如果采用簡(jiǎn)單的灌輸式教學(xué)，學(xué)生的創(chuàng)新思維、核心素養(yǎng)的培養(yǎng)都是空話。

三、出路審視

（一）整合內(nèi)容，突破難點(diǎn)

不安排商的變化規(guī)律的教學(xué)，顯然不合適。僅僅作為練習(xí)題一帶而過，講解不到位，學(xué)生學(xué)得也不扎實(shí)。把被除數(shù)、除數(shù)的變化引起商的變化的三個(gè)規(guī)律合并在一課時(shí)中教學(xué)，學(xué)習(xí)的內(nèi)容太多，也不夠深入，學(xué)生學(xué)起來有一定難度。因此，筆者建議重新整合內(nèi)容，統(tǒng)籌安排兩個(gè)課時(shí)，“商不變的性質(zhì)”為第一課時(shí)，“商的變化規(guī)律”為第二課時(shí)。這樣的整合安排可以適當(dāng)分散學(xué)習(xí)難點(diǎn)，豐富了學(xué)習(xí)內(nèi)容，也有更多的時(shí)間讓學(xué)生去探索規(guī)律，讓研究更加深入。

（二）猜想驗(yàn)證，合作探索

猜想—驗(yàn)證是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要方法，它能促進(jìn)學(xué)生積極思考、自主探究，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)。教學(xué)中，教師要積極營造民主寬松的學(xué)習(xí)氛圍，引發(fā)學(xué)生的主動(dòng)猜想。如果僅僅靠幾個(gè)算式，讓學(xué)生觀察比較來學(xué)習(xí)商的變化規(guī)律，這樣的探索是假研究，是填鴨式的被動(dòng)學(xué)習(xí)。因此，上課開始就可以放手讓學(xué)生去猜想：上節(jié)課我們研究了商不變的性質(zhì)，知道了“在被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘或除以同一個(gè)數(shù)（零除外），商不變”的性質(zhì)。那么，除法中的變與不變還有什么規(guī)律？如果除數(shù)不變，被除數(shù)和商有怎樣的變化規(guī)律？如果被除數(shù)不變，除數(shù)和商有怎樣的變化規(guī)律呢？你們的這些猜想是否都正確，怎么辦呢？請(qǐng)你想辦法來證明，組織小組合作學(xué)習(xí)，探索驗(yàn)證方法，看看哪組的方法多。讓學(xué)生明確目標(biāo)后，教師要引導(dǎo)學(xué)生大膽猜想，積極思維，合作探究，給予學(xué)生充分的時(shí)間和空間，讓他們自主地去發(fā)現(xiàn)規(guī)律、研究規(guī)律、歸納規(guī)律。

（三）多元表征，促進(jìn)理解

中年級(jí)學(xué)生的抽象思維能力還處于初步發(fā)展階段，被動(dòng)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行抽象推理，學(xué)生理解有困難，教學(xué)效果不佳。教學(xué)中只有充分激發(fā)學(xué)生的主觀能動(dòng)性，調(diào)動(dòng)他們的已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，將已有知識(shí)與新的知識(shí)產(chǎn)生聯(lián)系，學(xué)生對(duì)規(guī)律的抽象推理才能水到渠成。初步猜想了商的變化規(guī)律，教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過融入事例、圖形表征、計(jì)算舉例等方式去驗(yàn)證自己的猜想。在多元化的表征驗(yàn)證中，學(xué)生會(huì)逐步溝通已有知識(shí)基礎(chǔ)，聯(lián)結(jié)生活經(jīng)驗(yàn)，遷移同化新知，從而深入理解動(dòng)態(tài)的變化規(guī)律。

（四）對(duì)比溝通，聯(lián)結(jié)成網(wǎng)

三條規(guī)律格式是差不多的，學(xué)生比較容易混淆，只有把散狀的三條規(guī)律串聯(lián)起來，把知識(shí)點(diǎn)的內(nèi)在聯(lián)系找出來，學(xué)生的知識(shí)才能形成網(wǎng)絡(luò)。課的結(jié)尾部分，出示三條規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生比一比，找一找今天學(xué)的商的變化規(guī)律與商不變的性質(zhì)之間的聯(lián)系。通過比較溝通，學(xué)生發(fā)現(xiàn)把這兩條連起來就是商不變的規(guī)律。這樣的教學(xué)使學(xué)生不僅關(guān)注規(guī)律，而且理清了三條規(guī)律背后的聯(lián)系，從而對(duì)商不變的規(guī)律理解得更深刻、掌握得更牢固。

四、教學(xué)片段重構(gòu)

（一）設(shè)疑導(dǎo)入，猜想規(guī)律

師：同學(xué)們，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘或除以同一個(gè)數(shù)（零除外），商不變的性質(zhì)。如果被除數(shù)和除數(shù)不同時(shí)擴(kuò)大（或縮?。┫嗤谋稊?shù)，商會(huì)發(fā)生怎樣的變化呢？請(qǐng)你大膽猜一猜。

根據(jù)學(xué)生猜想整理板書如下情況：

（二）多元表征，理解規(guī)律

師：你們的這些猜想是否都成立？你們有什么辦法來證明？看看哪個(gè)小組辦法多？

學(xué)生合作探究，教師巡視。

1.驗(yàn)證第一組猜想：除數(shù)不變，被除數(shù)和商的變化情況。

師：接下來我們來研究除數(shù)不變的情況，哪個(gè)小組先來展示？

生1：我們舉個(gè)購物的例子，一支水筆5元，我有10元，可以買2支，10÷5=2;如果我有20元，可以買4支，20÷5=4。所以我們認(rèn)為第一個(gè)“除數(shù)不變，被除數(shù)乘幾（除以幾），商就乘幾（除以幾）”的猜想是正確的。第二個(gè)不成立。

生2：

生3：我們組是畫圖來驗(yàn)證的。

8個(gè)正方形排成2行，每行4個(gè)，8÷2=4;如行數(shù)不變還是2行，正方形有16個(gè)，每行就是8個(gè)，16÷2=8。我們發(fā)現(xiàn)，被除數(shù)與商的變化是一致的。

生4：……

師：像這樣的例子很多，那在除數(shù)不變的情況下，能舉出被除數(shù)與商的變化不一致的例子嗎？看來同學(xué)們的第一個(gè)猜想是成立的。（板書，生齊讀?。?/p>

2.驗(yàn)證第二組猜想：被除數(shù)不變，除數(shù)和商的變化情況。

師：如果被除數(shù)不變，又是哪個(gè)猜想成立呢？

生1：我們小組認(rèn)為第4個(gè)是成立的。舉個(gè)例子，24個(gè)蘋果，如果平均分給2人，每人12個(gè);如果分給4人，每人6個(gè);如果分給8人，每人3個(gè)。分得人越多，每個(gè)人分到的個(gè)數(shù)就越少。

師：生活中這樣的例子還有很多。

生2：我們組是通過列式計(jì)算來證明的。

①36÷2=18

②36÷4=9

③36÷12=3

從算式①到算式②，除數(shù)2到4乘了2，商從18到9反而除以了2。

師：那第③個(gè)算式呢？

生2：從算式②到算式③，被除數(shù)沒變，除數(shù)乘3，商反而除以3。

師：“反而”這個(gè)詞用得好。這就說明了當(dāng)被除數(shù)不變，除數(shù)和商的變化是相反的。

生3：我們組通過畫圖來證明第4個(gè)猜想成立，第3個(gè)不成立。

24÷2=12

24÷8=3

24÷4=6

長方形面積相當(dāng)于被除數(shù)，假如長方形的面積24不變，長變小，寬就變大了。

師：看來通過長方形的面積公式也能證明這個(gè)規(guī)律。 猜想4也是成立的。

（三）對(duì)比溝通，深化規(guī)律

同時(shí)出示三條規(guī)律：

師：同學(xué)們，三條規(guī)律之間有什么聯(lián)系嗎？同桌說一說。

生：我認(rèn)為今天學(xué)的第二條和第三條規(guī)律，合起來就是第一條商不變性質(zhì)。

師：是嗎？誰能來具體說一說？

生1：根據(jù)今天的學(xué)習(xí)，如果被除數(shù)乘3，商也要乘3;而除數(shù)乘3的話，商要除以3，商先乘3再除以3正好抵消，保持不變。

生2：商先乘3再除以3就抵消了。

師：完全正確！商乘3再除以3正好抵消，所以商不變。你們打算怎樣記住這三條規(guī)律？

生：只要掌握第二、第三條，第一條自然就記住了。除數(shù)不變，被除數(shù)乘幾，商就乘幾。被除數(shù)不變，除數(shù)乘幾，商反而除以幾。當(dāng)被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘幾時(shí)，商先乘幾再除以幾，那就肯定抵消掉，商不變。

師：那我來考考大家，A÷B=12，如果A除以6，B乘2，商是多少？

生：被除數(shù)除以6，商要除以6;除數(shù)乘2，商反而除以2，所以12除以6再除以2商等于1。

師：同學(xué)們很厲害！看來只要掌握商的變化規(guī)律，不管題目如何變化，都能輕松應(yīng)對(duì)，萬變不離其宗！

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