何海華
【摘 要】學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)規(guī)律時,必須結(jié)合已有經(jīng)驗,深入探索其本質(zhì),才能真正地理解。本文以“商的變化規(guī)律”為例,進行了前期的調(diào)查摸底,從學(xué)生的現(xiàn)狀出發(fā)來凝視問題,針對此類問題,從學(xué)習(xí)內(nèi)容的安排、學(xué)生的心理特點和教學(xué)處理方式等方面進行了深度分析思考,研究有效的教與學(xué)策略。通過整合內(nèi)容、猜想驗證、對比聯(lián)系、多元表征等多種策略引導(dǎo)學(xué)生探究商的變化規(guī)律,促進學(xué)生對規(guī)律的深度理解,發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)。
【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)規(guī)律 深度理解 策略研究
一、問題凝視
蘇教版數(shù)學(xué)四年級上冊學(xué)習(xí)了“商不變的性質(zhì)”后,練習(xí)冊中有這樣一道練習(xí)題:
根據(jù)5400÷18=300,直接寫出下面各題的答案。
540÷18=(? ?)? ? ? 5400÷36=(? ?)
270÷18=(? ?)? ? ? 5400÷72=(? ?)
筆者下學(xué)期開學(xué)初進行了調(diào)查測試:隨機選擇了2個班,共計83人,全部正確26人,占比31.3%;錯誤47人,占比56.6%;未完成10人,占比12%。這樣一道填空題,正確率才三成,甚至還包括直接列豎式計算的。錯誤答案則五花八門。從學(xué)生卷面痕跡來看,有部分學(xué)生沒想到用商的變化規(guī)律來思考,有些學(xué)生是運用規(guī)律來填空的,但由于對規(guī)律的理解不夠透徹,因此找不準其中的規(guī)律。此類題目,教師們也反饋,學(xué)生掌握不好,雖反復(fù)講評,效果仍舊不佳。
二、成因透視
(一)內(nèi)容編排的問題
本內(nèi)容涉及的知識點是商的變化規(guī)律。蘇教版數(shù)學(xué)四年級教材中,只有商不變的性質(zhì),沒有安排商的變化規(guī)律的例題,練習(xí)中卻時有出現(xiàn)。人教版數(shù)學(xué)教材中有編排,是把商不變的性質(zhì)和變化的規(guī)律安排在一課時中學(xué)習(xí)的。商的變化規(guī)律需要學(xué)生從靜態(tài)思考走向動態(tài)思考,這也是學(xué)生思維從運算走向關(guān)系的一個轉(zhuǎn)折過程。它與后續(xù)學(xué)習(xí)的常見數(shù)量關(guān)系、分子分母的變化、比的前項后項變化、正反比例意義,乃至中學(xué)的正反比例函數(shù)都有著千絲萬縷的聯(lián)系。
(二)規(guī)律理解表面化
四年級學(xué)生正好處于具體形象思維向抽象邏輯思維的過渡時期。學(xué)生要通過一大堆靜態(tài)的數(shù)學(xué)算式來學(xué)習(xí)動態(tài)的變化規(guī)律,對于靜態(tài)思維的學(xué)生來說,存在一定困難。所以學(xué)生對這種動態(tài)變化規(guī)律的理解只能浮于表面。沒有對規(guī)律進行深入的探索與思考,不與學(xué)生的生活經(jīng)驗對接,要在變與不變中真正理解商變化規(guī)律的本質(zhì),有一定的難度,學(xué)習(xí)很難真正地發(fā)生。
(三)教學(xué)處理簡單化
教學(xué)中,教師一般都是讓學(xué)生通過觀察一大堆的算式,比較歸納得出規(guī)律,并且在商不變的性質(zhì)內(nèi)容方面花費時間較多,即所謂的重點。而對于商的變化規(guī)律,教材上沒有例題,沒有單獨安排,即使補充了教學(xué)內(nèi)容,往往也是一帶而過,覺得只要熟背三條規(guī)律就好。這種重結(jié)果輕過程的教學(xué)方式也直接導(dǎo)致學(xué)生對變與不變規(guī)律一知半解。還有個別教師認為這僅僅是一道習(xí)題,學(xué)生實在不會可以列豎式計算,只要算對就好。這是純粹的應(yīng)試教育。本課的教學(xué)目標(biāo)有探索發(fā)現(xiàn)規(guī)律、滲透函數(shù)思想、培養(yǎng)抽象概括能力等,如果采用簡單的灌輸式教學(xué),學(xué)生的創(chuàng)新思維、核心素養(yǎng)的培養(yǎng)都是空話。
三、出路審視
(一)整合內(nèi)容,突破難點
不安排商的變化規(guī)律的教學(xué),顯然不合適。僅僅作為練習(xí)題一帶而過,講解不到位,學(xué)生學(xué)得也不扎實。把被除數(shù)、除數(shù)的變化引起商的變化的三個規(guī)律合并在一課時中教學(xué),學(xué)習(xí)的內(nèi)容太多,也不夠深入,學(xué)生學(xué)起來有一定難度。因此,筆者建議重新整合內(nèi)容,統(tǒng)籌安排兩個課時,“商不變的性質(zhì)”為第一課時,“商的變化規(guī)律”為第二課時。這樣的整合安排可以適當(dāng)分散學(xué)習(xí)難點,豐富了學(xué)習(xí)內(nèi)容,也有更多的時間讓學(xué)生去探索規(guī)律,讓研究更加深入。
(二)猜想驗證,合作探索
猜想—驗證是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要方法,它能促進學(xué)生積極思考、自主探究,培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識。教學(xué)中,教師要積極營造民主寬松的學(xué)習(xí)氛圍,引發(fā)學(xué)生的主動猜想。如果僅僅靠幾個算式,讓學(xué)生觀察比較來學(xué)習(xí)商的變化規(guī)律,這樣的探索是假研究,是填鴨式的被動學(xué)習(xí)。因此,上課開始就可以放手讓學(xué)生去猜想:上節(jié)課我們研究了商不變的性質(zhì),知道了“在被除數(shù)和除數(shù)同時乘或除以同一個數(shù)(零除外),商不變”的性質(zhì)。那么,除法中的變與不變還有什么規(guī)律?如果除數(shù)不變,被除數(shù)和商有怎樣的變化規(guī)律?如果被除數(shù)不變,除數(shù)和商有怎樣的變化規(guī)律呢?你們的這些猜想是否都正確,怎么辦呢?請你想辦法來證明,組織小組合作學(xué)習(xí),探索驗證方法,看看哪組的方法多。讓學(xué)生明確目標(biāo)后,教師要引導(dǎo)學(xué)生大膽猜想,積極思維,合作探究,給予學(xué)生充分的時間和空間,讓他們自主地去發(fā)現(xiàn)規(guī)律、研究規(guī)律、歸納規(guī)律。
(三)多元表征,促進理解
中年級學(xué)生的抽象思維能力還處于初步發(fā)展階段,被動引導(dǎo)學(xué)生進行抽象推理,學(xué)生理解有困難,教學(xué)效果不佳。教學(xué)中只有充分激發(fā)學(xué)生的主觀能動性,調(diào)動他們的已有知識經(jīng)驗,將已有知識與新的知識產(chǎn)生聯(lián)系,學(xué)生對規(guī)律的抽象推理才能水到渠成。初步猜想了商的變化規(guī)律,教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過融入事例、圖形表征、計算舉例等方式去驗證自己的猜想。在多元化的表征驗證中,學(xué)生會逐步溝通已有知識基礎(chǔ),聯(lián)結(jié)生活經(jīng)驗,遷移同化新知,從而深入理解動態(tài)的變化規(guī)律。
(四)對比溝通,聯(lián)結(jié)成網(wǎng)
三條規(guī)律格式是差不多的,學(xué)生比較容易混淆,只有把散狀的三條規(guī)律串聯(lián)起來,把知識點的內(nèi)在聯(lián)系找出來,學(xué)生的知識才能形成網(wǎng)絡(luò)。課的結(jié)尾部分,出示三條規(guī)律,引導(dǎo)學(xué)生比一比,找一找今天學(xué)的商的變化規(guī)律與商不變的性質(zhì)之間的聯(lián)系。通過比較溝通,學(xué)生發(fā)現(xiàn)把這兩條連起來就是商不變的規(guī)律。這樣的教學(xué)使學(xué)生不僅關(guān)注規(guī)律,而且理清了三條規(guī)律背后的聯(lián)系,從而對商不變的規(guī)律理解得更深刻、掌握得更牢固。
四、教學(xué)片段重構(gòu)
(一)設(shè)疑導(dǎo)入,猜想規(guī)律
師:同學(xué)們,我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了被除數(shù)和除數(shù)同時乘或除以同一個數(shù)(零除外),商不變的性質(zhì)。如果被除數(shù)和除數(shù)不同時擴大(或縮?。┫嗤谋稊?shù),商會發(fā)生怎樣的變化呢?請你大膽猜一猜。
根據(jù)學(xué)生猜想整理板書如下情況:
(二)多元表征,理解規(guī)律
師:你們的這些猜想是否都成立?你們有什么辦法來證明?看看哪個小組辦法多?
學(xué)生合作探究,教師巡視。
1.驗證第一組猜想:除數(shù)不變,被除數(shù)和商的變化情況。
師:接下來我們來研究除數(shù)不變的情況,哪個小組先來展示?
生1:我們舉個購物的例子,一支水筆5元,我有10元,可以買2支,10÷5=2;如果我有20元,可以買4支,20÷5=4。所以我們認為第一個“除數(shù)不變,被除數(shù)乘幾(除以幾),商就乘幾(除以幾)”的猜想是正確的。第二個不成立。
生2:
生3:我們組是畫圖來驗證的。
8個正方形排成2行,每行4個,8÷2=4;如行數(shù)不變還是2行,正方形有16個,每行就是8個,16÷2=8。我們發(fā)現(xiàn),被除數(shù)與商的變化是一致的。
生4:……
師:像這樣的例子很多,那在除數(shù)不變的情況下,能舉出被除數(shù)與商的變化不一致的例子嗎?看來同學(xué)們的第一個猜想是成立的。(板書,生齊讀?。?/p>
2.驗證第二組猜想:被除數(shù)不變,除數(shù)和商的變化情況。
師:如果被除數(shù)不變,又是哪個猜想成立呢?
生1:我們小組認為第4個是成立的。舉個例子,24個蘋果,如果平均分給2人,每人12個;如果分給4人,每人6個;如果分給8人,每人3個。分得人越多,每個人分到的個數(shù)就越少。
師:生活中這樣的例子還有很多。
生2:我們組是通過列式計算來證明的。
①36÷2=18
②36÷4=9
③36÷12=3
從算式①到算式②,除數(shù)2到4乘了2,商從18到9反而除以了2。
師:那第③個算式呢?
生2:從算式②到算式③,被除數(shù)沒變,除數(shù)乘3,商反而除以3。
師:“反而”這個詞用得好。這就說明了當(dāng)被除數(shù)不變,除數(shù)和商的變化是相反的。
生3:我們組通過畫圖來證明第4個猜想成立,第3個不成立。
24÷2=12
24÷8=3
24÷4=6
長方形面積相當(dāng)于被除數(shù),假如長方形的面積24不變,長變小,寬就變大了。
師:看來通過長方形的面積公式也能證明這個規(guī)律。 猜想4也是成立的。
(三)對比溝通,深化規(guī)律
同時出示三條規(guī)律:
師:同學(xué)們,三條規(guī)律之間有什么聯(lián)系嗎?同桌說一說。
生:我認為今天學(xué)的第二條和第三條規(guī)律,合起來就是第一條商不變性質(zhì)。
師:是嗎?誰能來具體說一說?
生1:根據(jù)今天的學(xué)習(xí),如果被除數(shù)乘3,商也要乘3;而除數(shù)乘3的話,商要除以3,商先乘3再除以3正好抵消,保持不變。
生2:商先乘3再除以3就抵消了。
師:完全正確!商乘3再除以3正好抵消,所以商不變。你們打算怎樣記住這三條規(guī)律?
生:只要掌握第二、第三條,第一條自然就記住了。除數(shù)不變,被除數(shù)乘幾,商就乘幾。被除數(shù)不變,除數(shù)乘幾,商反而除以幾。當(dāng)被除數(shù)和除數(shù)同時乘幾時,商先乘幾再除以幾,那就肯定抵消掉,商不變。
師:那我來考考大家,A÷B=12,如果A除以6,B乘2,商是多少?
生:被除數(shù)除以6,商要除以6;除數(shù)乘2,商反而除以2,所以12除以6再除以2商等于1。
師:同學(xué)們很厲害!看來只要掌握商的變化規(guī)律,不管題目如何變化,都能輕松應(yīng)對,萬變不離其宗!
【參考文獻】
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