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        高階差等比數(shù)列通項公式的矩陣解法

        2022-03-21 13:00:14戴中林
        大學數(shù)學 2022年1期
        關(guān)鍵詞:差法公比通項

        戴中林

        (西華師范大學 數(shù)學與信息學院,四川 南充637002)

        1 引 言

        若一正整數(shù)列

        a1,a2, …,an, ….

        (1)

        應用逐差法經(jīng)若干階差后得到一等比數(shù)列,則稱數(shù)列(1)為高階差等比數(shù)列. 關(guān)于高階差等比數(shù)列這一新型的數(shù)列課題,近年來廣大數(shù)學工作者對該類數(shù)列求通項公式的方法進行了深入的研究, 通過應用不同的數(shù)學方法得到了各種不同形式的結(jié)果[1-4],從而解決了求高階差等比數(shù)列通項公式及前n項和的這一數(shù)學問題.

        例如文[1]和[2]給出了如下結(jié)果.

        定義若一正整數(shù)列應用逐差法時,其前r階差不是等比數(shù)列,而第r+1階差是等比數(shù)列,則稱該數(shù)列為r階差等比數(shù)列.

        在此定義下,當原數(shù)列為r階差等比數(shù)列,其首項為a1,各階差首項為d1,…,dr,經(jīng)逐差法后得到的等比數(shù)列首項為b,公比為q.則

        文[1]的通項公式為

        文[2]的通項公式為

        從上述兩通項公式可以看出,公式構(gòu)成雖然非常簡單規(guī)范且便于記憶,但由于第三部分和式關(guān)于公比q的項數(shù)有n-r-2項,當n越大時其項數(shù)也越多,故導致相應的計算量相應增大. 為解決此類公式在實際應用中的不足,通過對高階差等比數(shù)列的通項公式進一步深入研究,發(fā)現(xiàn)可將其設(shè)為與高階等差數(shù)列通項公式[5]以及等比數(shù)列通項公式相關(guān)的形式,基于矩陣變換及差分算子的思想得到求其通項公式中系數(shù)的解矩陣. 從而給出了高階差等比數(shù)列通項公式及前n項和的一種新方法.

        不加說明,文中所涉及的字母均為正整數(shù).

        2 高階差等比數(shù)列通項公式的標準形式

        引理設(shè)數(shù)列(1)為一階差等比數(shù)列,且等比數(shù)列公比為q,則該一階差等比數(shù)列的通項形式為

        an=αqn-1+(β1n+β2).

        證設(shè)數(shù)列(1)為一階差等比數(shù)列. 由逐差法,其一階差數(shù)列為

        b1,b2, …,bn, …

        (2)

        則二階差數(shù)列應為等比數(shù)列,設(shè)為

        λ0,λ0q, …,λ0qn-2, ….

        故由數(shù)列(2),有

        bk-bk-1=λ0qk-2(k=2,…,n).

        將上述n-1個等式兩端求和,即得

        bn=b1+λ0(1+q+q2+…+qn-2),

        對q求和并重新設(shè)置待定常數(shù)可得

        bn=λ1qn-1+β1(λ1,β1為常數(shù)).

        又由數(shù)列(1),有

        a2-a1=b1=λ1+β1,

        a3-a2=b2=λ1q+β1,

        ……

        an-an-1=bn-1=λ1qn-2+β1.

        對上述的等式兩端求和,同前方法重新設(shè)置待定常數(shù)即得到一階差等比數(shù)列通項公式

        an=αqn-1+(β1n+β2),

        其中α,β1,β2為待定常數(shù).

        應用上述引理可得r階差等比數(shù)列的通項形式.

        定理1設(shè)數(shù)列(1)為r階差等比數(shù)列,由逐差法得到的等比數(shù)列的公比為q,則該r階差等比數(shù)列的通項形式為

        an=αqn-1+(β1nr+β2nr-1+…+βr+1),

        其中α,β1,…,βr+1為待定常數(shù).

        證應用數(shù)學歸納法證明.

        當r=1時,由引理,結(jié)論成立.

        設(shè)r=k時,設(shè)數(shù)列(1)為k階差等比數(shù)列,且通項公式成立,則有

        an=α0qn-1+(β1nk+β2nk-1+…+βk+1).

        當r=k+1時,數(shù)列(1)為k+1階差等比數(shù)列,則數(shù)列(2)為k階差等比數(shù)列,根據(jù)假設(shè)

        bn-1=α0qn-2+[λ1(n-1)k+λ2(n-1)k-1+…+λk+1],

        又由

        an-an-1=bn-1,

        取n=2,3,…,并對其求和,即得

        an=a1+α0(1+q+…+qn-2)+λ1[1k+…+(n-1)k]+λ2[1k-1+…+(n-1)k-1]+…+λk+1.

        由文獻[5]結(jié)論,有

        1k+2k+…+(n-1)k=α1nk+1+α2nk+…+αk+2.

        將其代人an中,故有

        an=a1+α0(1+q+…+qn-2)+[λ1(α1nk+1+…)+λ2(α2nk+…)+…+λk+1αk+2].

        對上式右端中第二部分的等比數(shù)列求和,第三部分的多項式按降冪排列,并重新設(shè)置待定常數(shù)即得

        an=αqn-1+(β1nk+1+β2nk+…+βk+2).

        即當r=k+1時,定理公式成立.

        故公式(3)對一切r都成立.

        3 差分算子的基本概念

        在文獻[6]中,當f(n)=nr時,其差分算子有如下定義及性質(zhì).

        定義1若r,k均為自然數(shù). 稱

        為對自然數(shù)冪nr的k階差分算子.

        例如,當n為某確定數(shù)值時,可計算出其各階差分值. 例如取n=4,其差分計算方法為

        Δ243=Δ2n3|n=4=43-2·33+23=18,
        Δ343=Δ3n3|n=4=43-3·33+3·23-13=6,
        Δ443=Δ4n3|n=4=43-4·33+6·23-4·13+03=0.

        性質(zhì)設(shè)k,m都是自然數(shù),則有

        定義2若an為數(shù)列(1)的通項,稱差分

        為通項an的k階差分.

        4 高階差等比數(shù)列的通項公式與前n項的和

        定理2設(shè)一數(shù)列為r階差等比數(shù)列,且等比數(shù)列的公比為q,則其通項公式為

        an=αqn-1+(β1nr+β2nr-1+…+βr+1),

        其中系數(shù)α,β1,…,βr+1可由下面解矩陣

        依次解出.

        證因原數(shù)列為r階差等比數(shù)列,故可設(shè)其通項為

        an=αqn-1+(β1nr+β2nr-1+…+βr+1).

        令n=1,…,r+2,得增廣矩陣

        將上述矩陣中的后一行減去前一行,第1行不變,即進行了1次差分運算;繼續(xù)用后一行減去前一行,第2行不變,即進行了2次差分運算;依此方法作下去……,最后用第r+2行減去第r+1行,即進行了r+1次差分運算;再利用差分的運算性質(zhì),即可得到解矩陣A.

        定理3設(shè)一數(shù)列為r階差等比數(shù)列,且等比數(shù)列的公比為q,則其前n項的和為

        Sn=αqn-1+(β1nr+1+β2nr+…+βr+2),

        其中系數(shù)α,β1,…,βr+2可由下面解矩陣

        依次解出.

        證由于Sn=a1+a2+…+an,故Sn的多項式部分應比an高一次,可設(shè)

        Sn=αqn-1+(β1nr+1+β2nr+…+βr+2).

        令n=1,…,r+3,即得增廣矩陣. 對其進行初等變換,變換方法同前

        ……,

        5 應用實例

        例已知數(shù)列為 4,7,12,22,46,111, …. 且r=2,q=3, 求(i)該數(shù)列的第14項.(ii)該數(shù)列的前14項和.

        解(i) 設(shè)該數(shù)列通項公式為

        an=αqn-1+β1n2+β2n+β3.

        由定理1得解矩陣

        依次解得

        故通項公式為

        即得

        (ii) 設(shè)該數(shù)列前n項和為

        Sn=α·qn-1+β1n3+β2n2+β3n+β4.

        由定理2有解矩陣

        依次解得

        故前n項和為

        即得

        6 結(jié) 論

        本文基于矩陣初等變換理論及差分算子的思想,對高階差等比數(shù)列的通項公式進行了深入的研究,將其通項公式的形式不斷地改進使其逐步趨于完善,由此給出了求高階差等比數(shù)列通項公式的矩陣解法. 與近年來得到的已有的方法比較. 其方法具有通項公式結(jié)構(gòu)標準簡單,解矩陣極為規(guī)范且便于計算的優(yōu)越性.

        致謝作者十分感謝相關(guān)文獻對本文的啟發(fā)以及貴刊審稿專家對本文提出的寶貴意見.

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