朱廣俊， 張伽祺

(蘇州大學 數(shù)學科學學院，江蘇 蘇州215006)

1 引 言

圖論中，完全二部圖和剖分圖是性質(zhì)比較好的常見的兩類圖，很多學者已從組合的角度對它們進行了研究，見參考文獻[1-3].由于超圖的邊和單項式理想的生成元之間可以一一對應(yīng)，而單項式理想又是多項式環(huán)中一類非常重要的理想，通過這種對應(yīng)關(guān)系，超圖的組合性質(zhì)與單項式理想的代數(shù)性質(zhì)之間有著密切的聯(lián)系.本文主要研究完全二部圖和兩類m-剖分圖的邊理想的代數(shù)性質(zhì)與組合性質(zhì)之間的關(guān)系，通過構(gòu)造合適的短正合列，并利用線圖、圈圖和單項式理想的正則度的公式，給出兩類m-剖分圖的邊理想的正則度的精確公式，這些公式推廣了m個頂點的線圖和圈圖的正則度公式.從而加深對多項式環(huán)中單項式理想的一些性質(zhì)的理解.

2 用到的定義和引理

約定設(shè)m為一個實數(shù)， 約定

m

表示不超過m的最大整數(shù).

定義1[4]設(shè)G=(V，E)為一個圖， 它的頂點集和邊集分別為V和E， 其中E中的元素{u，v}是以u，v為端點的邊. 稱不含環(huán)(兩個端點相同的一條邊)和重邊(以兩個頂點為端點的多條邊)的圖為簡單圖.

定義2[4]設(shè)G=(V(G)，E(G))和H=(V(H)，E(H))為兩個簡單圖，若V(H)?V(G)，E(H)?E(G)，且x，y∈V(H)，則邊{x，y}∈E(H)的充要條件是邊{x，y}∈E(G).則稱H為G的誘導子圖.

定義4[5]設(shè)G=(V，E)為一個簡單圖，其中V={x1，…，xn}.設(shè)S=k[x1，…，xn]為域k上n個變量的多項式環(huán)，定義G的邊理想為

I(G)=(xixj|{xi，xj}∈E).

定義5[5]設(shè)S=k[x1，…，xn]是域k上n個變量的多項式環(huán)，M為一個有限生成的分次S-模.設(shè)

0→⊕jS(-j)βp，j(M)→⊕jS(-j)βp-1，j(M)→…→⊕jS(-j)β0，j(M)→M→0

為M的一個極小分次自由預(yù)解，其中S(-j)i=Si-j，這里Si-j是多項式環(huán)S的第(i-j)個分次部分，βi，j(M)稱為模M的第(i，j)-分次Betti數(shù)，它等于M的第i個合沖模的極小生成元集中次數(shù)為j的元素的個數(shù)，是模M的一個代數(shù)不變量.稱

reg(M)∶=max{j-i|βi，j(M)≠0}

為M的正則度.它刻畫了M的極小分次自由預(yù)解中的合沖模的復(fù)雜程度.

引理1[5]設(shè)S=k[x1，…，xn]是域k上n個變量的多項式環(huán)，I?S為一個真的齊次理想，則

引理2[6-7]設(shè)T1=k[x1，…，xm]，T2=k[y1，…，yn]是域k上的兩個多項式環(huán)，I?T1，J?T2為兩個非零的齊次真理想，{x1，…，xm}∩{y1，…，yn}=?，設(shè)T=k[x1，…，xm，y1，…，yn]，則

(i)reg(I+J)=reg(I)+reg(J)-1；

(ii)reg(IJ)=reg(I)+reg(J).

引理3[6，8]設(shè)n≥2為一個整數(shù)，Ln是一個n個頂點的線圖，I(Ln)為Ln的邊理想，則

reg(I(Ln))=n+13+1.

引理4[6，8]設(shè)n≥3為一個整數(shù)，Cn是一個n個頂點的圈圖，I(Cn)為Cn的邊理想，則

reg(I(Cn))=n+13+1.

引理5[7]設(shè)u1，…，ur為S中的齊次正則序列，且deg(u1)=…=deg(ur)=d;設(shè)I=(u1，…，ur)，則對任意的正整數(shù)m，有

reg(Im)=dm+(d-1)(r-1).

引理6[7，9]設(shè)0→M→N→P→0為一個有限生成的分次S-模短正合列， 則

reg(N)≤max{reg(M)，reg(P)}，

當reg(P)≠reg(M)-1時，等號成立.

3 主要結(jié)果

證設(shè)Vi={xi1，…，xiqi}，其中i=1，…，3.

① 當m=2時，則G的邊理想為

I(G)=(x11x21，x11x22，…，x11x2q2，x12x21，x12x22，…，x12x2q2，…，x1q1x21，x1q1x22，…，x1q1x2q2)

=(x11，x12，…，x1q1)(x21，x22，…，x2q2)=JK.

其中J=(x11，x12，…，x1q1)，K=(x21，x22，…，x2q2).從而I(G)t=JtKt.由引理2(ii)和引理5，可得

reg(I(G)t)=reg(JtKt)=reg(Jt)+reg(Kt)=t+t=2t，

其中S1=k[x11，…，x1q1]，S2=k[x21，…，x2q2].

② 當m=3 時，則G的邊理想為

I(G)=(x11x21，x11x22，…，x11x2q2，x12x21，x12x22，…，x12x2q2，…，x1q1x21，x1q1x22，…，x1q1x2q2)

+(x21x31，x21x32，…，x21x3q3，x22x31，x22x32，…，x22x3q3，…，x2q2x31，x2q2x32，…，x2q2x3q3)

=(x11，x12，…，x1q1，x31，x32，…，x3q3)(x21，x22，…，x2q2)=JK.

其中J=(x11，x12，…，x1q1，x31，x32，…，x3q3)，K=(x21，x22，…，x2q2).從而I(G)t=JtKt.由引理2(ii)和引理5，可得

reg(I(G)t)=reg(JtKt)=reg(Jt)+reg(Kt)=t+t=2t，

其中S1=k[x11，x12，…，x1q1，x31，x32，…，x3q3]，S2=k[x21，…，x2q2].

reg(I(G))=m+13+1.

證當m=2，3時，由定理1可知，結(jié)論成立.設(shè)m≥4，且結(jié)論對所有小于m的整數(shù)都成立.此時記G的邊理想I(G)為I，則

I=(x11x21，x11x22，…，x11x2q2，x12x21，x12x22，…，x12x2q2，…，x1q1x21，x1q1x22，…，x1q1x2q2)

+(x21x31，x21x32，…，x21x3q3，x22x31，x22x32，…，x22x3q3，…，x2q2x31，x2q2x32，…，x2q2x3q3)+…

+(xm-1，1xm1，…，xm-1，1xmqm，xm-1，2xm1，…，xm-1，2xmqm，…，xm-1，qm-1xm1，…，xm-1，qm-1xmqm).

設(shè)J=(x21，x22，…，x2q2，x41，x42，…，x4q4)，則當m=4，5時，有I∶x31=J;

當m≥6時，有

I∶x31=J+(x51x61，…，x51x6q6，x61x71，…，x61x7q7，…，xm-1，qm-1xm1，…，xm-1，qm-1xmqm).

從而由引理2(i)和歸納假設(shè)，可得

當m=4，5時，有

reg(I∶x31)+1=1+1=2;

(1)

當m≥6時，有

reg(I∶x31)+1=m-4+13+1+1=m3+1.

(2)

對任意1≤i≤q3-1，有

(I，x31，…，x3i)=(x31，…，x3i)+(x21x3，i+1，…，x21x3q3，…，x2q2x3，i+1，…，x2q2x3q3)

+(x3，i+1x41，…，x3，i+1x4q4，x3，i+2x41，…，x3，i+2x4q4，…，x3q3x41，…，x3q3x4q4)

+(x41x51，x41x52，…，x41x5q5，…，xm-1，qm-1xm1，xm-1，qm-1xm2，…，xm-1，qm-1xmqm).

設(shè)Ki=J+(x31，…，x3i)，則

當m=4，5時，有((I，x31，…，x3i)∶x3，i+1)=Ki;

當m≥6時，有

((I，x31，…，x3i)∶x3，i+1)=Ki+(x51x61，x51x62，…，x51x6q6，…，xm-1，qm-1xm1，…，xm-1，qm-1xmqm).

由引理2(i)和歸納假設(shè)，可得

當m=4，5時，有

reg((I,x31,…,x3i)∶x3,i+1)+1=1+1=m3+1;

(3)

當m≥6時，有

reg((I,x31,…,x3i)∶x3,i+1)+1=m-4+13+1+1=m3+1;

(4)

設(shè)L=(x31，…，x3q3)+(x11x21，…，x11x2q2，…，x1q1x21，…，x1q1x2q2)，則

當m=4時，有(I，x31，…，x3q3)=L;

當m≥5時，有

(I，x31，…，x3q3)=L+(x41x51，x41x52，…，x41x5q5，…，xm-1，qm-1xm1，…，xm-1，qm-1xmqm).

由引理2(i)和歸納假設(shè)，可得

當m=4時，有

reg((I,x31,…,x3q3))=2+13+1=53+1;

(5)

當m≥5時，有

reg((I,x31,…,x3q3))=2+m-3+13+1-1=m+13+1;

(6)

將公式(1)-(6)和引理6運用到下列短正合列

可得

reg(I)=m+13+1.

說明1 定理2中的m-剖分圖的正則度公式推廣了m個頂點的線圖的正則度公式.

reg(I(G))=m+13+1.

證設(shè)圖G的邊理想I(G)為I，則

I=(x11x21，x11x22，…，x11x2q2，x12x21，x12x22，…，x12x2q2，…，x1q1x21，x1q1x22，…，x1q1x2q2)

+(x21x31，x21x32，…，x21x3q3，x22x31，x22x32，…，x22x3q3，…，x2q2x31，x2q2x32，…，x2q2x3q3)

+…+(xm-1，1xm1，…，xm-1，1xmqm，xm-1，2xm1，…，xm-1，2xmqm，…，xm-1，qm-1xm1，…，xm-1，qm-1xmqm)

+(xm1x11，…，xm1x1q1，xm2x11，…，xm2x1q1，…，xmqmx11，…，xmqmx1q1).

設(shè)集合V1，…，Vm中元素個數(shù)大于1的集合的個數(shù)為k，我們對k進行歸納.

當k=0時，由引理4，結(jié)論成立.

當k=1時，不妨設(shè)|V1|≥2，從而圖G的邊理想為

I=(x11x21，x12x21，…，x1q1x21，x21x31，x31x41，…，xm-1，1xm1，xm1x11，…，xm1x1q1).

設(shè)J=(x21，xm1)，則

當m=3，4時，有I∶x11=J;

當m≥5時，有I∶x11=J+(x31x41，x41x51…，xm-2，1xm-1，1).

從而當m=3，4時，有

reg(I∶x11)+1=1+1=m+13+1;

(7)

當m≥5時，由引理3可知

reg(I∶x11)+1=reg(x31x41,x41x51…,xm-2,1xm-1,1)+1=m-3+13+1+1=m+13+1.

(8)

對任意1≤i≤q1-2，設(shè)Ji=(x11，…，x1i，x21，xm1)，K=(x31x41，…，xm-2，1xm-1，1).則

當m=3，4時，有(I，x11，…，x1i)∶x1，i+1=Ji;

當m≥5時，有(I，x11，…，x1i)∶x1，i+1=Ji+K.

從而當m=3，4時，有

reg((I,x11,…,x1i)∶x1,i+1)+1=1+1=m+13+1;

(9)

當m≥5時，由引理2(i)和引理3可知

reg((I,x11,…,x1i)∶x1,i+1)+1=reg(K)+1=m-3+13+1+1=m+13+1.

(10)

又

(I，x11，…，x1，q1-1)=(x11，…，x1，q1-1，x1q1x21，x21x31，…，xm-1，1xm1，xm1x1q1).

從而由引理2(i)和引理4得

reg((I,x11,…,x1,q1-1))=reg((x1q1x21,x21x31,…,xm-1,1xm1,xm1x1q1))=m+13+1.

(11)

將公式(7)-(11)和引理6運用到下列短正合列

可得

reg(I)=m+13+1.

當k>1時，取一個元素個數(shù)大于1的集合，不妨為V1.設(shè)L=(x21，…，x2q2，xm1，…，xmqm)，

M=(x31x41，…，x31x4q4，x32x41，…，xm-2，1xm-1，1，…，xm-2，qm-2xm-1，1，…，xm-2，qm-2xm-1，qm-1).

則當m=3，4時，有I∶x11=L; 當m≥5時，有I∶x11=L+M.

從而當m=3，4時，有

reg(I∶x11)+1=1+1=m+13+1;

(12)

當m≥5時，由定理2可知

reg(I∶x11)+1=m-3+13+1+1=m+13+1.

(13)

對任意1≤i≤q1-2，設(shè)Ni=(x11，…，x1i，x21，…，x2q2，xm1，…，xmqm).則

當m=3，4時，有(I，x11，…，x1i)∶x1，i+1=Ni; 當m≥5時，有(I，x11，…，x1i)∶x1，i+1=Ni+M.從而當m=3，4時，有

reg((I,x11,…,x1i)∶x1,i+1)+1=1+1=m+13+1;

(14)

當m≥5時，由定理2可知

reg((I,x11,…,x1i)∶x1,i+1)+1=m-3+13+1+1=m+13+1.

(15)

注意(I，x11，…，x1，q1-1)=(I(G{x11，…，x1，q1-1})，x11，…，x1，q1-1)，其中G{x11，…，x1，q1-1}是G去掉了V1中的點x1q1，…，x1q1-1以及與這些點相連的邊后得到的圖，從而G{x11，…，x1，q1-1}的頂點的部集V1{x11，…，x1，q1-1}，…，Vm中元素個數(shù)大于1的集合的個數(shù)為k-1，從而由歸納假設(shè)可得

(16)

將公式(12)-(16)和引理6運用到下面的短正合列

…………

可得

reg(I)=m+13+1.

說明2 定理3中的m-剖分圖的正則度公式推廣了m個頂點的圈圖的正則度公式.

4 結(jié) 論

本文主要利用線圖、圈圖和單項式理想的正則度的公式，并通過構(gòu)造合適的短正合列，給出了兩類m-剖分圖的邊理想的正則度的精確公式，它們分別推廣了線圖、圈圖的正則度公式.本文的工作為簡單圖的代數(shù)性質(zhì)的研究提供了有益的探索，加深了同學們對相關(guān)理論和技能的理解和掌握.

致謝作者非常感謝相關(guān)文獻對本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.