江樵芬， 徐 起

(福建師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息學(xué)院， 福州350117)

1 引 言

數(shù)學(xué)類課程的學(xué)，學(xué)生除了在課堂上接受新知識之外，還有一個重要的環(huán)節(jié)——通過作業(yè)向教師反饋自己的掌握情況；而數(shù)學(xué)類課程的教，教師除了在課堂上講授新知識之外，同樣也有一個重要的環(huán)節(jié)——通過作業(yè)了解學(xué)生的掌握情況.數(shù)學(xué)類作業(yè)中出現(xiàn)的錯誤解答，遠(yuǎn)比正確解答更能反饋信息.特別是數(shù)學(xué)分析作業(yè)，由于課程特點，許多習(xí)題常有似是而非的解答，存在許多隱蔽性較強的錯誤.在數(shù)學(xué)分析作業(yè)中，常有學(xué)生最終答案是對的，但中間過程卻是錯誤的；在數(shù)學(xué)分析課程考試后，也常有學(xué)生對答案時一臉喜色，成績出來之后卻覺得不可置信.這類隱蔽性較強的錯誤應(yīng)該是學(xué)生學(xué)習(xí)的痛點，如何幫助學(xué)生理清這些痛點，這值得付出努力.

“存在性”在數(shù)學(xué)分析中幾乎無處不在.與此同時，與“存在性”有關(guān)的作業(yè)解答中也存在較多隱蔽性錯誤.在一些與“存在性”有關(guān)的錯誤命題中，學(xué)生經(jīng)常在存在反例說明命題不成立的情況下，仍覺得自己的證明沒有錯.這類隱蔽性錯誤不僅在學(xué)生的作業(yè)解答中頻繁出現(xiàn)，而且在正式出版的專業(yè)書籍和正式發(fā)表的期刊論文中也偶爾有之，可見其迷惑性之大.

本文搜集了學(xué)生作業(yè)解答及正式出版物中與“存在性”有關(guān)的一些錯誤，也列舉了學(xué)生在學(xué)習(xí)與“存在性”有關(guān)的命題時存在的一些困惑，按“忽略極限定義中δ對ε的依賴”“忽略介值與中值定理中介值點與中值點對其它因素的依賴”“二元函數(shù)中的存在性問題與一致性”等三個方面對這些錯誤及困惑進(jìn)行分類，深入剖析其錯誤與困惑的原因，并給出了一些對策與教學(xué)建議.

2 若干概念或問題產(chǎn)生錯誤的原因分析

2.1 忽略極限定義中δ對ε的依賴而導(dǎo)致的錯誤

在數(shù)列極限、函數(shù)極限、連續(xù)性、一致連續(xù)性等極限相關(guān)概念中，都有“任給ε>0，存在N(δ，M)”等的敘述，我們知道這些存在的N，δ，M都依賴于ε，但一般教材的定義中較少用讓學(xué)生能一眼看出的記號來體現(xiàn)這種依賴關(guān)系，盡管在定義之后會有這種依賴性的說明.學(xué)生形式地記住定義之后，做相應(yīng)作業(yè)時常因忽略這種依賴性，只從文字?jǐn)⑹霰砻娴乜?，從而?dǎo)致了各種錯誤.通過[1]中的一個錯誤結(jié)論、[2]中的一個錯誤證明及學(xué)生作業(yè)中的一個錯誤證明來演示此類錯誤.

在[1]中有如下關(guān)于在x0連續(xù)與在x0的鄰域內(nèi)連續(xù)的錯誤結(jié)論.

例1[1](錯誤結(jié)論)設(shè)f(x)在x0連續(xù)且f(x0)≠0，則必存在x0的某個鄰域，使f(x)在此鄰域內(nèi)連續(xù).

錯誤證明[1]因為f(x)在x0連續(xù)，即?ε>0，?δ>0，?x∈U(x0，δ)?|f(x)-f(x0)|<ε.今?x′∈U(x0，δ)，顯然有|f(x′)-f(x0)|<ε.

又因為f(x0)≠0，當(dāng)δ充分小時，由局部保號性知f(x′)f(x0)>0，從而f(x′)≠0.因而

|f(x)-f(x′)|≤|f(x)-f(x0)|+|f(x′)-f(x0)|<2ε.

所以f(x)在x′連續(xù)，由x′的任意性知f(x)在U(x0，δ)內(nèi)連續(xù).

容易舉出反例說明例1的結(jié)論不成立.如令f(x)=xD(x)+1，其中D(x)是Dirichlet函數(shù).易知f(x)在x0=0連續(xù)，f(0)=1，但f(x)在x0≠0間斷.而細(xì)究[1]所給的證明，作者認(rèn)為他找到了x0的δ鄰域U(x0，δ)，?x′∈U(x0，δ)，對?x∈U(x0，δ)有|f(x)-f(x′)|<2ε，則f(x)在x′連續(xù)，從而f(x)在U(x0，δ)連續(xù).但注意到上述的δ依賴于給定的ε，不妨記為δε.由給定的ε確定了δε之后，對U(x0，δε)中的x與x′成立的不等式|f(x)-f(x′)|<2ε中的ε，只能是確定δε的這個ε，不具任意性，故得不到f(x)在x′的連續(xù)性.該證明錯誤的根本原因在于忽略了函數(shù)在x0連續(xù)的定義中δ對ε的依賴性.

在[2]中有如下關(guān)于一致連續(xù)性的錯誤證明.

又f(x)在[a，+∞)上連續(xù)，從而可得f(x)在[a，M]上一致連續(xù). 對?x′，x″∈[M，+∞)，有

|f(x′)-A|<ε， |f(x″)-A|<ε.

從而有

|f(x′)-f(x″)|=|f(x′)-A+A-f(x″)|≤|f(x′)-A|+|f(x″)-A|<2ε.

所以f(x)在[M，+∞)上一致連續(xù). 則f(x)在[a，+∞)上一致連續(xù).

與例1類似，例2證明錯誤的原因在于忽略了函數(shù)極限定義中M對ε的依賴性.證明中存在的M依賴于ε，不妨記為Mε.由給定的ε確定了Mε之后，對[Mε，+∞)中的任意兩點x′，x″成立的不等式|f(x′)-f(x″)|<2ε中的ε只能是確定Mε的這個ε，不具任意性，故得不到f(x)在[M，+∞)的一致連續(xù)性.

這是一個十分典型的隱蔽性錯誤，不僅初學(xué)者難以辨別，解題經(jīng)驗豐富者也可能踩入此似是而非的陷阱，筆者也曾在某專注于數(shù)學(xué)考研的公眾號上看到例2的這種錯誤證明.

作為數(shù)學(xué)分析的經(jīng)典習(xí)題，例2的正確證明在較多的數(shù)學(xué)分析參考書中也可見.為了便于讀者比較正確證明與錯誤證明的不同之處，加深對此類錯誤的理解，也列出例2的正確證明.下文幾個證明錯誤但結(jié)論正確的例子也同樣處理.

|f(x′)-f(x″)|≤|f(x′)-A|+|f(x″)-A|<ε.

又由f(x)在[a，+∞)上連續(xù)知f(x)在[a，Xε+1]上連續(xù).由Cantor定理可知f(x)在[a，Xε+1]上一致連續(xù).從而對上述ε>0，?δ1>0，對?x′，x″∈[a，Xε+1]，|x′-x″|<δ1有

|f(x′)-f(x″)|<ε.

取δ=min{δ1，1}>0，對?x′，x″∈[a，+∞)，x′Xε時有x″>x′>Xε，當(dāng)x′≤Xε時有x′，x″∈[a，Xε+1].由前面證明知總有|f(x′)-f(x″)|<ε成立.

由定義知f(x)在[a，+∞)一致連續(xù).

無獨有偶，在利用有限覆蓋定理證明Cantor定理的作業(yè)中，也有部分學(xué)生出現(xiàn)此類錯誤.

例3利用有限覆蓋定理證明Cantor定理.

錯誤證明?ε>0，由f(x)在[a，b]連續(xù)知?x0∈[a，b]，?δ0>0，當(dāng)x∈U(x0，δ0)時，有

故對?x′，x″∈U(x0，δ0)有

|f(x′)-f(x″)|≤|f(x′)-f(x0)|+|f(x0)-f(x″)|<ε.

從而f(x)在U(x0，δ0)上一致連續(xù).

覆蓋了 [a，b].

則

由定義知f(x)在[a，b]上一致連續(xù).

對策：對于此類錯誤，建議將極限、連續(xù)定義中存在的N，δ，M等分別記為Nε，δε，Mε等，以直觀地體現(xiàn)這種依賴性.[3]中也對極限定義的教學(xué)做了一些有益的探討，有助于避免此類錯誤.

2.2 忽略介值與中值定理中介值點與中值點對其它因素的依賴導(dǎo)致的錯誤

各種介值、中值定理中存在的介值點與中值點通常既依賴于所討論函數(shù)，也依賴于所討論的區(qū)間端點.在解相關(guān)題目時，學(xué)生常忽略介值點、中值點對其它因素的依賴，由此導(dǎo)致了一些錯誤與困惑.分別以導(dǎo)數(shù)極限定理與洛必達(dá)法則逆命題不成立的困惑、一道積分極限題的錯解為例來演示此類錯誤.

利用Lagrange中值定理易證導(dǎo)數(shù)極限定理，一般講完該定理后會給出反例說明其逆命題不成立.但仍有學(xué)生在承認(rèn)反例存在的情況下，找不出自己給出的證明的錯誤之處，并對這種矛盾現(xiàn)象感到困惑.

下面列出學(xué)生的錯誤結(jié)論及錯誤證明并分析其錯誤的原因.

(*)

令

則

看看他的證明：

這種困惑也不是學(xué)生獨有，[4]也存在類似的錯誤證明及由此得到的錯誤結(jié)論.

兩邊同時取x→∞時的極限，由于此時ξ→∞及

因此

這個證明的錯誤之處與導(dǎo)數(shù)極限定理及洛必達(dá)法則之逆命題的錯誤證明一模一樣.事實上，也容易舉出反例說明該命題的必要性不成立.如令

積分中值定理的應(yīng)用中也常存在類似的錯誤.

對策：對此類與介值、中值點有關(guān)的問題，若涉及到多個函數(shù)或區(qū)間端點在變動，在應(yīng)用介值定理或中值定理時，存在的介值點或中值點不妨記為ξf或ξx，其中f，x分別為所涉及的函數(shù)與端點.

2.3 二元函數(shù)中的存在性問題與一致性

在研究二元函數(shù)時，常固定一個變量，把二元函數(shù)視為關(guān)于另一個變量的一元函數(shù)，利用這些一元函數(shù)的性質(zhì)研究二元函數(shù)的對應(yīng)性質(zhì)，如考慮二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)、二元函數(shù)對某個分量的連續(xù)性等，這是處理二元函數(shù)的常見思路.但要注意到二元函數(shù)把一個變量固定之后得到的一元函數(shù)，一般與所固定的那個變量的值有關(guān)，所固定變量的不同取值對應(yīng)不同的一元函數(shù).忽略這種相關(guān)性容易導(dǎo)致一些本質(zhì)性錯誤.討論此類一元函數(shù)的極限或連續(xù)性時，在ε-δ(N，M)定義中對任意ε>0存在的δ(N，M)，不僅依賴于ε，還依賴于所固定的變量.學(xué)生常忽略δ(N，M)對所固定變量的依賴性，較膚淺表面地應(yīng)用ε-δ(N，M)定義證明得到一些錯誤結(jié)論.

下面以函數(shù)列極限函數(shù)的連續(xù)性、二元函數(shù)對x及對y的連續(xù)性與二元函數(shù)連續(xù)性的關(guān)系為例來演示此類錯誤.

在討論函數(shù)列極限函數(shù)的連續(xù)性時，一般會給出反例說明函數(shù)列點點收斂不足以保證極限函數(shù)的連續(xù)性，但仍有同學(xué)在承認(rèn)反例存在的情況下，對“點點收斂的連續(xù)函數(shù)列，其極限函數(shù)也連續(xù)”這個錯誤結(jié)論給出如下自認(rèn)為沒問題的證明.

例7(錯誤結(jié)論)設(shè){fn(x)}在I上點點收斂到f(x)，若fn(x)在I上連續(xù)，則f(x)在I上也連續(xù).

錯誤證明?x0∈I，?ε>0，{fn(x)}在I點點收斂到f(x)，故對?x∈I，?N∈，對?n>N有特別地有又由fN+1(x)在x0連續(xù)可知?δ>0，對?x∈I且|x-x0|<δ，有因此

由定義知f(x)在x0連續(xù).由x0的任意性知f(x)在I上連續(xù).

令fn(x)=xn，x∈[0，1]，易知fn(x)在[0，1]上連續(xù)，且fn(x)在[0，1]上點點收斂到

而f(x)在x=1不連續(xù).這個反例說明了例7的結(jié)論是錯誤的.

這個證明錯誤的原因在于忽略了函數(shù)列點點收斂的極限定義中，存在的正整數(shù)N不僅依賴于ε，還依賴于x，不妨記為Nx.由此在插項時對不同的x所插的項fNx+1(x)未必相同，從而不能由某個固定的fN+1(x)在x0的連續(xù)性得到所要找的δ.為了找到這樣的δ，期望能找到一個公共的N對I中所有的x都適用，這便是{fn(x)}在I上的一致收斂性.

N依賴于ε，x，這還是比較粗淺的理解，這個問題更根本的原因在于當(dāng){fn(x)}在I上點點收斂時，對于無窮多個x∈I，對應(yīng)的可能有無窮多個Nx，對這無窮多個正整數(shù)取上確界可能會取到+∞.因此不一定能找到那個想要的、適合拿來插項的N.若這無窮多個Nx存在有限的上確界，那便是{fn(x)}在I上一致收斂.深入理解這個證明的錯誤之處，有助于理解函數(shù)列極限函數(shù)連續(xù)性定理的條件中為何要有一致收斂性.

[5]中課后習(xí)題利用對x與對y的連續(xù)性給出了二元函數(shù)連續(xù)的一個充分條件，學(xué)生在證明時也常犯與例7一樣的錯誤.

例8[5]設(shè)f(x，y)定義在閉矩形域S=[a，b]×[c，d]上.若f對y在[c，d]上處處連續(xù)，對x在[a，b]上(且關(guān)于y)為一致連續(xù)，則f在S上處處連續(xù).

錯誤證明?(x0，y0)∈[a，b]×[c，d]，?ε>0，f(x，y)對y在[c，d]連續(xù)，則f(x0，y)在y0連續(xù)，則?δ1>0，?y∈[c，d]且|y-y0|<δ1有

f(x，y)對x在[a，b]連續(xù)，則f(x，y)在x0連續(xù)，則?δ2>0，?x∈[a，b]且|x-x0|<δ2有

令δ=min{δ1，δ2}，對?(x，y)∈S，|x-x0|<δ且|y-y0|<δ有

由定義知f(x，y)作為二元函數(shù)在(x0，y0)連續(xù).由(x0，y0)的任意性知f(x，y)在S連續(xù).

學(xué)生的這種證法只用到了對x與對y的連續(xù)性，并沒有用到“對x的連續(xù)性關(guān)于y一致”這個條件.而只有對x與對y的連續(xù)性不足以得到f在S上的連續(xù)性.這也容易找到反例.如令

細(xì)究其證明可以發(fā)現(xiàn)，f(x，y)作為x的一元函數(shù)與y有關(guān)，不同的y對應(yīng)不同的一元函數(shù)f(x，y)，從而存在的δ2不僅依賴于ε，也依賴于y，不妨記為δy.由此取的δ=min{δ1，δy}與y有關(guān)，這不是二元函數(shù)連續(xù)定義中合適的δ，證明到此過不去.

[6]中也對這個結(jié)論的此類錯誤證明進(jìn)行分析.但作者認(rèn)為“一致連續(xù)”有兩層含義，除了如我們上面所分析的一樣，“一致連續(xù)”的意思指的是存在的δ與y無關(guān)之外，還有另一層含義是指對每個固定的y，把f(x，y)當(dāng)成x的一元函數(shù)是一致連續(xù)的.這種理解是錯誤的，從我們的分析很容易看出題中條件“一致連續(xù)”并無[6]所認(rèn)為的這層意思.

正確證明?(x0，y0)∈[a，b]×[c，d]，?ε>0，f(x，y)在(x0，y0)對y連續(xù)，也即f(x0，y)在y0連續(xù)，故?δ1>0，對?y∈[c，d]，當(dāng)|y-y0|<δ1時有|f(x0，y)-f(x0，y0)|<ε.

f(x，y)對x在[a，b]上關(guān)于y為一致連續(xù)，則對上述?ε>0，?δ2>0，對?y∈[c，d]，?x∈[a，b]，當(dāng)|x-x0|<δ2時，有|f(x，y)-f(x0，y)|<ε.

令δ=min{δ1，δ2}>0，對?(x，y)∈[a，b]×[c，d]，|x-x0|<δ且|y-y0|<δ有

|f(x，y)-f(x0，y0)|≤|f(x，y)-f(x0，y)|+|f(x0，y)-f(x0，y0)|<ε+ε=2ε.

由定義知f(x，y)在(x0，y0)連續(xù).由(x0，y0)的任意性知f(x，y)在[a，b]×[c，d]連續(xù).

對策：對于此類錯誤，建議在教學(xué)中強調(diào)f(x，y)視為關(guān)于變量x(y)的一元函數(shù)時，與另一變量y(x)的關(guān)系，并把在ε-δ定義中存在的δ記為δy(δx)以體現(xiàn)依賴性.

3 進(jìn)一步的教學(xué)嘗試

為解決學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中反饋出來的錯誤與困惑之處，在教學(xué)實踐中還做過如下嘗試：在每一章設(shè)計相關(guān)的判斷題，讓學(xué)生對正確的結(jié)論給出證明，錯誤的結(jié)論給出反例，以此鍛煉學(xué)生的思辨能力；對較隱蔽的錯誤解法分類整理，在對應(yīng)章節(jié)布置找茬題；把一些難度適中的錯誤命題做成開放性的討論題，鼓勵學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)證明過不去的地方，思考如何補充條件來改進(jìn).這些嘗試也為培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣起了一定作用.

4 結(jié) 論

“存在性”在數(shù)學(xué)分析中幾乎無處不在，而學(xué)生在解決與存在性有關(guān)的問題時也時常犯各種錯誤，且這些錯誤的隱蔽性通常比較強.本文深入剖析了這些錯誤的原因，并按錯誤原因進(jìn)行分類，同時給出了一些教學(xué)上的對策與建議以期減少學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的此類錯誤.從近年來本校學(xué)生的作業(yè)反饋中可以發(fā)現(xiàn)，本文的錯誤原因分析及各種教學(xué)嘗試對解決此類隱蔽性錯誤是非常有效的.

致謝本文的一些想法曾在2020年8月復(fù)旦大學(xué)主辦、大連理工大學(xué)與揚州大學(xué)協(xié)辦的數(shù)學(xué)分析教學(xué)研討會上做過交流，作者感謝樓紅衛(wèi)教授的邀請，感謝與會專家提出的寶貴意見.作者也感謝相關(guān)文獻(xiàn)對本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.