范 靜

（上海第二工業(yè)大學文理學部 上海 201209）

引言

線性代數(shù)是代數(shù)學的一個分支，它的研究對象是行列式、矩陣、向量、向量空間、線性變換和線性方程組。它是“矩陣論”“泛函分析”的基礎。線性代數(shù)是描述和研究量子系統(tǒng)、經(jīng)濟金融系統(tǒng)等的強有力工具。其理論已經(jīng)應用于許多學科分支，如運籌學、博弈論、金融數(shù)學等，而且在工程技術、生物技術、計算機、多媒體網(wǎng)絡等領域中都有著極其廣泛的應用。[1]線性代數(shù)課程的基本概念、理論和方法具有較高的抽象性、較強的邏輯性，對于培養(yǎng)學生的邏輯推理和抽象思維能力、空間直觀和想象能力具有重要的作用。因而，線性代數(shù)這門公共基礎課程是每個理工科學生必修的課程。[2]

在傳統(tǒng)的線下線性代數(shù)教授過程中，授課教師即便用盡渾身解數(shù)，在上課之初就提出主要內容、重點和難點，介紹授課方式，并在理論學習后提出知識點的應用及與專業(yè)課的聯(lián)系，但仍有不少學生只抓期末考試，考罷即拋之腦后，只留下對行列式、矩陣等概念的一些模糊印象。隨著時代發(fā)展，線性代數(shù)的教學在不斷地進行改革，教學一線的老師們一直在關注如何提高學生的積極性，如何提升學習效果等。

梁靜[3]提出將學科思維導圖引入教學中，以提高學生的邏輯思維能力；楊優(yōu)美等[4]等提出研究式課堂教學方式，通過問題引導激發(fā)學生的學習興趣和求知欲；張軍等[5]提出將數(shù)學建模思想融入線性代數(shù)的教學中，提高學生運用知識解決實際問題的能力。雖然教師和學生面對面進行教學活動，教師主觀上想運用各種改革方式調動學生的能動性，發(fā)揮他們的主動作用，但是很多客觀條件限制了實施效果，如大班教學人數(shù)多、課程的學時數(shù)有限、考核方式不注重過程、考核內容比教學內容范圍小等。在信息技術的深入影響下，傳統(tǒng)的教學模式不斷暴露出不同程度的問題，各種新興教學技術的出現(xiàn)，使得線性代數(shù)的教學改革有了新的方向。[6]

1 線上線下混合式教學的開展基礎

疫情期間，線性代數(shù)線上授課完全取代了線下講課，授課教師為線上教學設計了完整的教學方案，重構了教學內容，完善了教學資源，增加了預習模塊、互動答疑、回放鞏固、及時檢測等過程。但純粹的在線教學也存在很多問題?？陀^方面，如學生的網(wǎng)絡不穩(wěn)定、終端硬件損壞等不能保障課程順利開展，主觀方面，如學生學習走神、不參與互動等使得在線教學效果較線下教學大打折扣。在高校線下教學活動恢復正常的后疫情時期，所有的線上教學資源不應曇花一現(xiàn)，教師們辛勤工作的結果應加以更好的利用，也值得具有更持久的生命。這為開展新的教學模式奠定了初步的資源基礎。

2020 年7 月15 日，國家發(fā)展改革委、中央網(wǎng)信辦、教育部等部門聯(lián)合發(fā)布《關于支持新業(yè)態(tài)新模式健康發(fā)展激活消費市場帶動擴大就業(yè)的意見》。[7]《意見》要求，要把支持線上線下融合的新業(yè)態(tài)新模式作為經(jīng)濟轉型和促進改革創(chuàng)新的重要突破口，并由教育部牽頭負責大力發(fā)展融合化在線教育，構建線上線下教育常態(tài)化融合發(fā)展機制，形成良性互動格局。這里的線上是指利用互聯(lián)網(wǎng)的視頻課等，學生在自主選擇的時間進行自學；線下是指在固定時間內，在面對面的課堂中，教師針對重點、難點內容進行詳細講解，通過師生互動解決不同學生的問題。線上線下混合就是要將線上自學與線下翻轉進行有機、有效的結合。這為后疫情時期線上與線下混合的教學模式奠定了政策基礎。

目前，全國各大高校圍繞建設“金課”開展了線上線下混合式教學改革。周小燕等[8]對高等農林院校線性代數(shù)課程的教學目標、教學實踐以及過程性考評活動進行設計，建立以學生“學”為中心的線上線下混合式“金課”；周勇強等[9]將線上線下教學深度融合，把抽象理論與數(shù)學文化、中國傳統(tǒng)文化、實際工程背景等有機結合；鄭文斌等[10]對應用效果進行分析，結果顯示：無論是學生的主觀滿意度，還是客觀考核成績，線上線下混合式教學模式在線性代數(shù)課程中的應用效果更佳；吳延紅等[11]構建了一種“線上+線下”的混合式教學模式，以提高學生課堂教學的參與率和學習積極性。這些研究成果為線性代數(shù)課程進行線上與線下混合的教學模式奠定了理論基礎。

2 線上線下混合式教學的實施

2.1 線上授課

為了實施線性代數(shù)課程線上線下混合式教學，我們需要從以下四個方面入手，才能使教學目標正確、方式恰當。

2.1.1 重構教學內容，育人于無形

將教學內容進行適當?shù)臄U充，并根據(jù)難易程度分為線上內容與線下內容。將初步的、基礎的、易激發(fā)學習興趣的知識，通過錄制10 分鐘左右的視頻課，并結合擴充內容，放在學習網(wǎng)站上，供學生進行課前預習、課后鞏固。期間，如果可以將課程思政內容很好地融入的話，還能在無形中實現(xiàn)“三全育人”。

例如，矩陣的概念是比較簡單的教學內容，就可以作為線上內容，通過短視頻課進行學習。在視頻中，除了講解矩陣是數(shù)表這個本質外，還可以舉閱兵式中的隊列為例，讓學生通過各兵種的隊列圖片了解不同行列數(shù)的矩陣，還可以領略中國人民解放軍嚴格的紀律和過硬的軍風，增強學生的民族自豪感、培養(yǎng)學生的愛國情操。

2.1.2 擴充教學案例，育人于應用

線下教學往往受限于有限的教學時間，教學案例的選擇有限，無法進行詳細的、分類別的講解。因此，線性代數(shù)的多數(shù)應用案例就可以在線上通過視頻課、練習題進行學習，這既能增加課程的趣味性，又能啟發(fā)學生解決實際問題的思維。

例如，直觀的閱兵隊列可以用矩陣來表示，而且實際生活中的航班路線也可以用矩陣來表示。如果從城市A到城市B、城市C 有航班，城市B、城市C 到城市A 也有航班，但城市B 與城市C 之間沒有航班。這三個城市間的航班表就可以表示為一個三階方陣，第1-3 行表示從城市A、城市B、城市C 出發(fā)的航班，第1-3 列表示到達城市A、城市B、城市C 的航班。若用數(shù)字1 表示有航班，用數(shù)字0 表示沒有航班，因此，此方陣中第1 行的第2、3 列元素及第1列的第2、3 行元素為數(shù)字1，其余元素均為0。

2.1.3 增加軟件操作，育人于實際

在線性代數(shù)的學習過程中，有限維的向量、矩陣、線性方程組等的維數(shù)都很小，但在實際領域內，維數(shù)一般大大超出了手動計算的范圍。同時，計算機科學的發(fā)展，為學習線性代數(shù)提供了一個科學的現(xiàn)代化環(huán)境。把MATLAB軟件引入到線性代數(shù)的學習中，借助命令、程序進行運算，通過視頻課演示與鞏固練習，可以提高學習效率，增強學生解決實際問題的能力。

例如，利用MATLAB 軟件創(chuàng)建矩陣時，不僅要講直接輸入數(shù)字創(chuàng)建矩陣，還要講利用查找、賦值等方法產生新的矩陣；不僅要講矩陣的分塊，還要講矩陣的拼接；不僅要講數(shù)字矩陣的運算，還要講符號矩陣的運算；不僅要講矩陣與行列式、向量的理論運算聯(lián)系，還要講它們各自在軟件中的獨特運算。

2.1.4 設計個性方案，育人于精準

線上的教學完全以學生為主體，在無人監(jiān)督的情況下，應盡量增加師生、人機互動，設計個性化的考核方案，以保證線上學習的有效性。

例如，教師在線上發(fā)布征詢矩陣的實際生活應用案例或專業(yè)領域的應用案例，由學生通過查找資料列舉更多的案例，并進行打分及評論。再例如，在矩陣學習初期，很多學生會與行列式的寫法混淆，可以設計層級的多選題，在第一個多選題中選出正確的矩陣，如果正確，則結束；否則再彈出一個類似的多選題，直至選擇正確才結束。

2.2 線下授課方式的調整

在線下的課堂教學中，在師生面對面的交流中，教師作為主導，應從線上內容的反饋入手，講評線上學習的問題，進行總結后，導入到翻轉思考、引導學習的階段。因此，我們需要在線下從以下兩方面進行調整，才能做到及時鞏固、效果良好。

調整教學方法，轉變教學思路。在新模式教學中，教師需要綜合運用小組合作、以問題為導向的學習方法，進行啟發(fā)式、探究式、研討式的講授，通過生講生評，生講師評，及時對學生的課堂表現(xiàn)進行反饋。

設計教學內容，把控教學節(jié)奏。在新模式教學中，對教師的要求有增無減，不僅要按照教學進度安排教學內容，還要設計不同的分組討論主題，使不同程度的學生既可以在討論中有收獲，還能突破一定的難度。

2.3 師資培訓及教學評價要緊跟新模式的步伐

對于線上線下混合式教學的開展，還需要以下兩方面工作的配合調整，才能從全方位形成老師與學生間的新教學生態(tài)。

加強教師培訓，增加交流學習。授課教師除了要具備熟練的課程講授能力之外，還需要對線上平臺足夠熟悉，可以熟練進行任務發(fā)放、答疑評論等。另外，教師還需要學習先進的教學方法，提高自身的素質。因此，教師需要進行各方面的培訓和學習，以及本校及校間交流和切磋。

改變教學評價，權衡線上線下。改變以往平時成績過低的評價方式，制定全新的評價方式，以綜合考慮學生線上表現(xiàn)和線下表現(xiàn)，結合課前、課中和課后的學習過程和學習效果，通過學生平時的學習成績，設置合理的權值，使得最終評定的成績與學生真實的學習狀況保持一致。

3 結束語

目前，很多高校針對線性代數(shù)課程進行了線上線下混合式教學探索和實踐。本文著重從開展線上線下混合式教學的基礎出發(fā)，探討了構建新教學模式所需的調整和改變，包括線上的教學內容、教學案例、軟件操作及個性化方案；線下的教學方法和教學內容；并配以教師培訓與改變教學評價。通過線上與線下全方位的配合，多樣性的結合，在達到學習線性代數(shù)理論知識、實際案例、軟件應用等學習目標的同時，能夠充分尊重學生學習的個性化，有利于學生建立學習的自信，主導自我的發(fā)展，從而改善學習現(xiàn)狀，提升教學成效。