陳小燕 秦勇 梁素梅

（云南機(jī)電職業(yè)技術(shù)學(xué)院）

復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)是導(dǎo)數(shù)與微分章節(jié)的重難點(diǎn)內(nèi)容，是導(dǎo)數(shù)計(jì)算中的“橋梁”，上接一般函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計(jì)算，下連“隱函數(shù)、冪指函數(shù)、參數(shù)方程確定的函數(shù)”三大函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計(jì)算。若復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)計(jì)算未掌握，便在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中形成了阻礙，其難度打擊了不少學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的積極性，故而復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)也是高等數(shù)學(xué)授課教師多年來積極探討的內(nèi)容之一。筆者于2021年11月19日在知網(wǎng)上以“復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)”為主題進(jìn)行搜索，搜索到586條記錄，其數(shù)量接近“高等數(shù)學(xué)課程思政”的兩倍，本文是在高等數(shù)學(xué)課程思政實(shí)施的背景下，對(duì)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的一種新的教學(xué)嘗試。

一、高等數(shù)學(xué)課程思政介紹

“課程思政”于2014年在上海被提出，是指將思想政治教育貫穿于教育、教學(xué)全過程，將思想政治教育融合于通識(shí)課、專業(yè)課教學(xué)中，與思想政治理論課同向同行，實(shí)現(xiàn)全員、全程、全方位育人，從而達(dá)到立德樹人目的。

云南機(jī)電職業(yè)技術(shù)學(xué)院于2019年開始課程思政建設(shè)，分三批立項(xiàng)，迄今共建25門課程思政，既有公共基礎(chǔ)課、也有專業(yè)課，高等數(shù)學(xué)課程思政項(xiàng)目于2020年立項(xiàng)，迄今實(shí)施課程思政教學(xué)1.5個(gè)教學(xué)周期。在我院的高等數(shù)學(xué)課程思政教學(xué)中，項(xiàng)目組組建了融合式教學(xué)團(tuán)隊(duì)，將思政教師納入團(tuán)隊(duì)，負(fù)責(zé)團(tuán)隊(duì)的思想政治理論培訓(xùn)和案例的思想意識(shí)把關(guān)，團(tuán)隊(duì)制定了課程思政的授課計(jì)劃和教案，明確了“教什么”“怎么教”，充分挖掘了高等數(shù)學(xué)課程中的思想政治元素，在教學(xué)設(shè)計(jì)中做到了“兩結(jié)合一貫穿”，即將數(shù)學(xué)知識(shí)的傳授和價(jià)值引領(lǐng)相結(jié)合，將培育和踐行社會(huì)主義核心價(jià)值觀與培養(yǎng)具有工匠精神的技能人才相結(jié)合，將中華民族優(yōu)秀傳統(tǒng)文化、數(shù)學(xué)文化貫穿始終截至目前，團(tuán)隊(duì)研討開發(fā)課程思政案例十余例，錄制課程思政授課視頻數(shù)段，充分利用網(wǎng)絡(luò)資源，采用線上線下混合式教學(xué)，經(jīng)問卷星調(diào)查，學(xué)生對(duì)引入的思政元素滿意度、對(duì)教師的教學(xué)滿意度達(dá)到88.5%，提高了高等數(shù)學(xué)課程的教學(xué)質(zhì)量。

二、課程思政背景下復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)教學(xué)設(shè)計(jì)

復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)是導(dǎo)數(shù)計(jì)算中的重難點(diǎn)內(nèi)容，是學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的一大阻礙，此重難點(diǎn)內(nèi)容打擊了部分同學(xué)的學(xué)習(xí)積極性。故而，筆者在本章節(jié)的教學(xué)設(shè)計(jì)中引入了堅(jiān)持不懈、攻堅(jiān)克難的科學(xué)家故事，引導(dǎo)同學(xué)們鍥而不舍、迎難而上，培養(yǎng)同學(xué)們勇于嘗試和探索的科學(xué)研究精神；筆者在本章節(jié)的教學(xué)實(shí)施中分析了復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式的邏輯性和對(duì)稱性，引導(dǎo)同學(xué)們發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)中的美，一定程度上疏導(dǎo)了同學(xué)們的焦慮心情，培養(yǎng)同學(xué)們自主學(xué)習(xí)的能力和分析問題、解決問題的能力。在本章節(jié)的教學(xué)中，筆者采用雙螺旋式教學(xué)，數(shù)學(xué)知識(shí)的傳授和對(duì)綜合素質(zhì)能力的培養(yǎng)雙線并行。在教學(xué)設(shè)計(jì)中，根據(jù)學(xué)生情況制定教學(xué)目標(biāo)，確定“教什么”“怎么教”，在教學(xué)過程中使用“引、思、論、探、測(cè)、評(píng)”6個(gè)環(huán)節(jié)，具體設(shè)計(jì)流程如圖1。

圖1 教學(xué)設(shè)計(jì)流程

圖2 教學(xué)方法分析

（一）摸清學(xué)生情況，教學(xué)設(shè)計(jì)有理有據(jù)

在我院，《高等數(shù)學(xué)》課程僅針對(duì)大一學(xué)生開設(shè)，大一學(xué)生對(duì)本課程的學(xué)習(xí)具有一定的積極性，00后的大學(xué)生喜歡使用手機(jī)進(jìn)行學(xué)習(xí)，已習(xí)慣登錄智慧職教平臺(tái)進(jìn)行學(xué)習(xí)，為混合式教學(xué)提供了條件；復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)位于導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則之后，在此之前，學(xué)生已掌握一般函數(shù)求導(dǎo)的方法，已具備對(duì)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的基礎(chǔ)。但我院學(xué)生文理方向均有，學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)參差不齊，對(duì)于數(shù)學(xué)概念、定理的理解能力不一樣，多數(shù)同學(xué)在學(xué)習(xí)上有畏難情緒，部分同學(xué)缺乏自主學(xué)習(xí)的積極性和獨(dú)立思考的能力。

（二）分析教學(xué)目標(biāo)，明確本章節(jié)教學(xué)重難點(diǎn)，確定“教什么”

根據(jù)教材內(nèi)容和學(xué)生情況，在復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)章節(jié)的教學(xué)中，知識(shí)目標(biāo)方面要使學(xué)生理解鏈?zhǔn)椒▌t；技能目標(biāo)方面要提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念、定理的理解能力，掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法；素質(zhì)目標(biāo)方面要培養(yǎng)學(xué)生不畏艱難、勇于嘗試和探索的科學(xué)研究精神，進(jìn)而提高學(xué)生的綜合素質(zhì)。其教學(xué)重點(diǎn)為鏈?zhǔn)椒▌t的使用，其難點(diǎn)內(nèi)容為復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)。

（三）設(shè)計(jì)教學(xué)方法，明確“如何教”

經(jīng)日常教學(xué)觀察和數(shù)據(jù)收集發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在進(jìn)入復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)時(shí)，有前后內(nèi)容銜接不順利、畏難情緒過重、對(duì)數(shù)學(xué)定理理解不到位、課時(shí)緊張等問題，故筆者在此章節(jié)采用了問題驅(qū)動(dòng)法、線上線下混合式教學(xué)、類比教學(xué)法等教學(xué)方法。

（四）緊抓“引、思、論、探、測(cè)、評(píng)”六環(huán)節(jié)實(shí)施教學(xué)（見表1）

表1 課程思政背景下復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的教學(xué)實(shí)施

1.引：教師從課后作業(yè)和平臺(tái)課前測(cè)驗(yàn)的情況，總結(jié)導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算掌握的情況；利用的導(dǎo)數(shù)，對(duì)比與得出本章節(jié)的授課內(nèi)容；要求學(xué)生聚精會(huì)神聽課，跟隨授課教師的步伐，總結(jié)前次課內(nèi)容，分析個(gè)人的不足之處。 在對(duì)作業(yè)和測(cè)驗(yàn)的分析中，展示優(yōu)秀樣本，并強(qiáng)調(diào)要逐步形成好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。

3.論：教師請(qǐng)2-3人回答問題，點(diǎn)評(píng)，然后與學(xué)生一起討論上述問題，概括結(jié)論，引出復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則；學(xué)生回答問題，在老師引導(dǎo)下討論上述問題。

4.探：教師講述曹聰稱象的故事，啟發(fā)學(xué)生得出曹聰稱象的方法，并將此方法遷移到復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)中，以此得到復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t，引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)其四個(gè)步驟并講解例題。學(xué)生根據(jù)老師的講述主動(dòng)進(jìn)行知識(shí)遷移，理解復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t，掌握其求解步驟，記錄筆記；通過對(duì)曹聰象故事和鏈?zhǔn)椒▌t的講解，將中國(guó)古人的智慧和數(shù)學(xué)的邏輯美、對(duì)稱美進(jìn)行展示，增強(qiáng)大家的民族自豪感，激發(fā)大家的學(xué)習(xí)積極性。

5.測(cè)：教師給出課堂練習(xí)題，觀察學(xué)生練習(xí)情況，給予適當(dāng)提示和糾正；學(xué)生完成課堂練習(xí)，進(jìn)行匯報(bào)；通過課堂練習(xí)，讓學(xué)生體驗(yàn)團(tuán)隊(duì)合作提高團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力。

6.評(píng)：教師通過對(duì)練習(xí)情況的觀察和練習(xí)結(jié)果的考察，利用科學(xué)家的故事疏導(dǎo)同學(xué)們的畏難情緒，評(píng)價(jià)各個(gè)小組團(tuán)隊(duì)合作的情況和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)鏈?zhǔn)椒▌t的掌握情況，布置課后作業(yè)，簡(jiǎn)要提出下次課的學(xué)習(xí)任務(wù)；學(xué)生聽取老師評(píng)價(jià)，做筆記，針對(duì)自身情況進(jìn)行總結(jié)；通過科學(xué)家故事的講解，引導(dǎo)大家克服畏難情緒，嚴(yán)格按照四個(gè)步驟，逐步掌握復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)方法。

（五）做好教學(xué)反思，總結(jié)經(jīng)驗(yàn)再出發(fā)

本章節(jié)是導(dǎo)數(shù)計(jì)算中的重難點(diǎn)內(nèi)容，故設(shè)計(jì)用4學(xué)時(shí)來完成教學(xué)，另在線上平臺(tái)還上傳了課前預(yù)習(xí)視頻、課后復(fù)習(xí)視頻和課后測(cè)驗(yàn)。經(jīng)個(gè)別交流、平臺(tái)互動(dòng)和個(gè)人反思可見，在本章節(jié)的教學(xué)中還存在課堂教學(xué)中講解過長(zhǎng)、留給同學(xué)思考的時(shí)間不足、未充分利用平臺(tái)數(shù)據(jù)、與實(shí)際生活關(guān)聯(lián)性不高等問題，在后期的教學(xué)實(shí)施中，將在上述方面進(jìn)行改進(jìn)。

三、課程思政案例

在以往教學(xué)過程和個(gè)別交流中發(fā)現(xiàn)，在復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)章節(jié)中，個(gè)別同學(xué)畏難情緒重，其難度也打擊了部分同學(xué)的學(xué)習(xí)積極性，使其在思想上形成了一定壓力，進(jìn)而抗拒學(xué)習(xí)。所以，在本章節(jié)的課程思政建設(shè)中引入了科學(xué)家不畏艱難、百折不撓的故事，幫助同學(xué)們重拾信心再出發(fā)；還引入了曹聰稱象的故事，幫助學(xué)生理解復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)方法。

（一）有100次跌倒就有101次的爬起的愛迪生

托馬斯·阿爾瓦·愛迪生，世界著名的發(fā)明家、物理學(xué)家、企業(yè)家，被譽(yù)為“世界發(fā)明大王”，擁有重要的發(fā)明超過2000項(xiàng)，他發(fā)明的留聲機(jī)、電影攝影機(jī)和電燈對(duì)世界有極大影響。其實(shí)，愛迪生發(fā)明創(chuàng)造的過程并不是一帆風(fēng)順的，而是屢敗屢試、總結(jié)經(jīng)驗(yàn)再試驗(yàn)的過程。他在研制電燈的過程中經(jīng)歷了上萬次的失敗。1878年9月，愛迪生決定向電力照明這個(gè)堡壘發(fā)起進(jìn)攻，他決心制造出價(jià)格便宜、經(jīng)久耐用，而且安全方便，普通百姓也能用的電燈。他先后用炭絲、白金、鋇、鈦、錮等接近1600種材料進(jìn)行了上萬次的試驗(yàn)，但都未達(dá)到理想狀態(tài)，但愛迪生并未灰心，而是不斷總結(jié)經(jīng)驗(yàn)、不斷試驗(yàn)，終于在1879年10月21日，找到了可以連續(xù)發(fā)熱發(fā)光45個(gè)小時(shí)的材料，這是人類第一盞有廣泛實(shí)用價(jià)值的電燈，燈絲用碳化棉絲制成。但愛迪生并不滿足于此，而是為延長(zhǎng)燈泡壽命而繼續(xù)研究。最后，愛迪生找到了竹這種植物，把炭化后的竹絲裝進(jìn)玻璃泡，通上電后，這種竹絲燈泡竟連續(xù)不斷地亮了1200個(gè)小時(shí)。到了1906年，愛迪生又改用鎢絲來做，使燈泡的質(zhì)量又得到提高，被一直沿用到今天。

所以，在學(xué)習(xí)和工作中，困難不可怕、失敗也不可怕，失敗乃成功之母，我們要像愛迪生一樣，學(xué)會(huì)思考、善于總結(jié)，有100次跌倒，就有101次爬起，總結(jié)經(jīng)驗(yàn)再出發(fā)，成功就在不遠(yuǎn)處。在復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的過程中也一樣，我們要不怕困難，勇于挑戰(zhàn)，重視積累，一步一個(gè)腳印，逐步解決復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)中的重難點(diǎn)問題，最終掌握復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)這個(gè)知識(shí)點(diǎn)。

（二）“化整為零”的稱象思想

曹沖生五六歲，智意所及，有若成人之智。時(shí)孫權(quán)曾致巨象，太祖欲知其斤重，訪之群下，咸莫能出其理。沖曰：“置象大船之上，而刻其水痕所至，稱物以載之，則?？芍?。”太祖悅，即施行焉。曹聰稱象的方法，就是典型的化整為零思想和類比轉(zhuǎn)化思想。古時(shí)候，沒有能稱象的工具，曹聰就用類比轉(zhuǎn)化思想，先記錄象站在船上水平面達(dá)到的高度，然后在船中放入石頭。當(dāng)水平面上升到相同的高度時(shí)，船內(nèi)石頭的重量和象的重量就是一樣的；然后，又用化整為零的思想，一部分一部分地稱石頭的重量，最后，將所有重量加起來，就是象的重量。實(shí)際上，復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)也是如此，整個(gè)復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)很難求解，那么，我們便化整為零，將復(fù)合函數(shù)分割成幾部分，然后一部分一部分求導(dǎo)，最后再合起來。

在本章節(jié)引入曹沖稱象的故事，一是向大家介紹中國(guó)古人的智慧，增強(qiáng)大家的民族自豪感，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性；二是以實(shí)際例子說明數(shù)學(xué)來源于實(shí)際生活，服務(wù)于實(shí)際生活，建立“數(shù)學(xué)有用論”，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)主觀能動(dòng)性；三是用類比轉(zhuǎn)化法得出復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的方法“化整為零”—鏈?zhǔn)椒▌t，并以鏈?zhǔn)椒▌t體現(xiàn)數(shù)學(xué)蘊(yùn)藏的對(duì)稱美、邏輯美，幫助大家克服畏難情緒，舒緩緊張心情。

四、教學(xué)成效

通過課堂教學(xué)的觀察、課堂練習(xí)、課后作業(yè)、測(cè)驗(yàn)和個(gè)別交流的反饋，在復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)環(huán)節(jié)引入思政元素，達(dá)到了以下教學(xué)效果：

一是有效激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，降低畏難情緒，提升學(xué)習(xí)主觀能動(dòng)性，樹立自信心。授課教師在課堂上講解愛迪生發(fā)明之路的故事后，讓同學(xué)們明白了“世上無難事，只要肯攀登”，失敗是成功的墊腳石，失敗也是一種寶貴的經(jīng)歷，同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)上的畏難情緒明顯降低。授課教師在課堂講解曹聰稱象的故事，讓同學(xué)們體會(huì)到了數(shù)學(xué)思維的重要性，激發(fā)了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，學(xué)習(xí)的主觀能動(dòng)性得以提升。

二是有效拉近師生距離，高等數(shù)學(xué)不再“高冷”。授課教師在課堂上進(jìn)行思想政治教育后，同學(xué)們體會(huì)到了老師的人文關(guān)心和關(guān)懷，拉近了師生之間的距離；通過對(duì)曹沖稱象故事的分析，讓同學(xué)們體會(huì)到高等數(shù)學(xué)思想與實(shí)際生活的聯(lián)系，使高等數(shù)學(xué)不再“高冷”。

三是有效提高教學(xué)質(zhì)量。通過課堂練習(xí)、課后作業(yè)和測(cè)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，引入了思政元素的復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)后，同學(xué)們更易理解和掌握復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)方法，高等數(shù)學(xué)其它知識(shí)點(diǎn)亦是如此。據(jù)統(tǒng)計(jì)，2018—2019學(xué)年上學(xué)期本教學(xué)團(tuán)隊(duì)授課班級(jí)的及格率為84.14%，分?jǐn)?shù)在90及以上的達(dá)5.08%；2019—2020學(xué)年上學(xué)期本教學(xué)團(tuán)隊(duì)授課班級(jí)的及格率為87.67%，分?jǐn)?shù)在90及以上的達(dá)6.27%；2020—2021學(xué)年上學(xué)期本教學(xué)團(tuán)隊(duì)授課班級(jí)的及格率為89.84%，分?jǐn)?shù)在90及以上的達(dá)9.6%，可見同一時(shí)期的及格率穩(wěn)步上升，教學(xué)質(zhì)量明顯提升。

經(jīng)廣大學(xué)者研究和本教學(xué)團(tuán)隊(duì)的教學(xué)實(shí)踐證明，在高等數(shù)學(xué)課程中融入思政元素是一種行之有效的方法，在復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)環(huán)節(jié)引入思政元素，可以有效激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、有效對(duì)抗畏難情緒、有效拉近師生距離、有效樹立學(xué)生信心、有效提高教學(xué)質(zhì)量，達(dá)到高等數(shù)學(xué)的育人功效。