陳姍姍

摘? 要：圖形表征具有直觀性的特點(diǎn)，在平面向量的學(xué)習(xí)中運(yùn)用較多，在解題過程中對已知條件、待求問題和解題過程進(jìn)行表征，能夠簡化運(yùn)算思路、強(qiáng)化運(yùn)算法則、優(yōu)化運(yùn)算程序.

關(guān)鍵詞：圖形表征;數(shù)學(xué)解題;平面向量

表征是認(rèn)知心理學(xué)中的一個(gè)重要概念，是指知識(shí)在學(xué)生頭腦中的呈現(xiàn)和表達(dá)方式. 因此，對問題的表征，既取決于問題本身，又取決于學(xué)生對問題的理解. 常見的多元表征有語言表征、符號(hào)表征、圖形表征、情境表征和操作表征. 而圖形表征是一種可視化的表征形式，它可以使抽象的問題形象化、復(fù)雜的問題簡單化，既有利于教師多角度傳授知識(shí)，也有利于學(xué)生多方位理解和接受知識(shí). 在簡化運(yùn)算思路、強(qiáng)化運(yùn)算法則和優(yōu)化運(yùn)算程序上，其優(yōu)勢更加突出.

平面向量是連接代數(shù)與幾何的橋梁，是代數(shù)問題幾何化和幾何問題代數(shù)化的有效載體. 相較于幾何問題，學(xué)生更容易理解代數(shù)問題. 但是向量問題的解決僅僅依賴代數(shù)方法往往會(huì)導(dǎo)致事倍功半或者半途而廢. 因此，巧妙借助圖形表征會(huì)產(chǎn)生意想不到的效果.

一、圖形表征已知條件，簡化運(yùn)算思路

數(shù)學(xué)題目已知條件的抽象性是學(xué)生讀不懂題目的主要原因，把抽象問題具體化是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的常見思路. 向量具有方向性，向量運(yùn)算不只是數(shù)字計(jì)算，學(xué)生對向量的運(yùn)算規(guī)律不熟悉，容易對理解題意造成影響. 因此，僅從代數(shù)角度思考無法讓學(xué)生深刻理解向量運(yùn)算的意義. 根據(jù)圖形表征直觀性的特點(diǎn)，如果能把題目中的條件圖形化，就可以使抽象的問題直觀化，促進(jìn)學(xué)生對題目的理解，從而設(shè)計(jì)運(yùn)算路徑，簡化運(yùn)算思路.

題目1? 已知[P]為[△ABC]所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足[AP=15AC+25AB，] 則[△ABP]的面積與[△APC]的面積之比為? ? ? ? .

對于剛接觸平面向量的學(xué)生來說，這道題目有一定的難度. 因?yàn)閷W(xué)生無法準(zhǔn)確地理解已知條件[AP=][15AC+25AB，] 從而無法確定點(diǎn)[P]的位置. 而求解這道題目的關(guān)鍵恰恰就是確定點(diǎn)[P]的位置，從而構(gòu)造[△ABP]與[△APC.] 此題解法較多，但是無論哪種解法，都必須理解[AP=15AC+25AB]的意義. 要么對式子進(jìn)行變形，要么用圖形對式子進(jìn)行表征. 經(jīng)過教師引導(dǎo)及學(xué)生討論，總結(jié)常見解題方法如下.

方法1：特殊化，構(gòu)造一個(gè)腰長為5的等腰直角三角形，得到[△ABP]與[△APC]的面積之比為1∶2.

方法2：利用向量加法的平行四邊形法則，根據(jù)[AP=15AC+25AB]作出平行四邊形，如圖1所示. 可得[S△APE=25S△APB，S△APF=15S△APC.] 而[S△APE=S△APF，] 故[S△APBS△APC=12.]

方法3：如圖2，在[AC]上取一個(gè)三等分點(diǎn)[D，] 則[AC=3AD.] 這樣可以得到[P，B，D]三點(diǎn)共線. 可得[S△APD=13S△APC=23S△APB，] 故[S△APBS△APC=12.]

方法4：由題意，得[5AP=AC+2AB.]則[2AP-][2AB+2AP=AC-AP，] 即[-2PA+PB=PC.] 如圖3，以[PA，PB]為鄰邊作[?PAEB，] 則[C，P，E]三點(diǎn)共線. 連接[PE]交[AB]于點(diǎn)[O，] 則[PC=2EP=4OP.] 所以[S△APBS△APC=][2S△APOS△APC=2OPPC=12.]

方法1是對已知條件進(jìn)行特殊化的圖形表征，作為填空題，這樣做可以有效節(jié)省時(shí)間，簡化運(yùn)算. 方法2和方法1類似，用向量加法的平行四邊形法則把已知條件[AP=15AC+25AB]圖形化. 也就是說，只要學(xué)生能夠把[AP=15AC+25AB]用圖形表征出來，接下來的面積問題就迎刃而解了，能夠有效簡化運(yùn)算思路. 解決向量問題，尤其是向量的線性運(yùn)算問題，圖形表征是常見思路，但是受思維定勢的影響，學(xué)生往往想不到對題目中的已知條件進(jìn)行圖形表征. 方法3則是從三點(diǎn)共線的角度對條件[AP=15AC+25AB]進(jìn)行表征，當(dāng)系數(shù)之和等于1時(shí)三點(diǎn)就共線，于是就想到把[15AC]轉(zhuǎn)化成[35AD，] 從而得到[AP=35AD+25AB.] 因此易知[P，B，D]三點(diǎn)共線，這樣就確定了點(diǎn)[P]的位置，能夠想到這種方法的學(xué)生對三點(diǎn)共線的理解是比較透徹的. 方法4則是先對已知條件進(jìn)行變形，然后再對變形后的式子[-2PA+PB=PC]用圖形進(jìn)行表征，從而確定點(diǎn)[P]的位置.

表征的過程就是信息加工處理的過程，學(xué)生如果能在多元表征中靈活轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)對象，足以說明其對數(shù)學(xué)對象的理解深度. 題目1的四種解題方法均是先對已知條件進(jìn)行圖形表征，只是表征的視角不同，但是其目的都是以形解數(shù)，即利用圖形的直觀性簡化數(shù)的運(yùn)算，從而得到面積的比值.

二、圖形表征待求問題，強(qiáng)化運(yùn)算法則

數(shù)學(xué)問題難以解決的原因之一是學(xué)生無法把已知條件和待求問題有邏輯地聯(lián)系起來，從而導(dǎo)致思維短路，尤其是向量問題中涉及線性運(yùn)算法則的題目. 向量的線性運(yùn)算法則與學(xué)生熟知的實(shí)數(shù)運(yùn)算法則是不同的，學(xué)生對向量的線性運(yùn)算法則的認(rèn)識(shí)過程是循序漸進(jìn)的，需要在多種情境中通過不同的表征形式進(jìn)行剖析、理解和內(nèi)化. 向量的模是學(xué)生理解的難點(diǎn)，尤其是經(jīng)過線性運(yùn)算后的向量的模，學(xué)生更不容易理解. 事實(shí)上，求解這類問題的關(guān)鍵是對運(yùn)算法則的理解，只要能夠?qū)ο蛄康哪＿M(jìn)行圖形表征，通過圖形強(qiáng)化向量的運(yùn)算法則，就能夠加深學(xué)生對概念的理解. 因此，在教學(xué)中，教師應(yīng)該緊扣向量具有幾何特征這一關(guān)鍵點(diǎn)，對其進(jìn)行圖形表征，以便學(xué)生直觀理解向量的線性運(yùn)算法則.

題目2? 已知[a=b=2，a · b=-2，] 若[c-a-b=1，] 則[c]的取值范圍為（? ? ）.

（A）[12， 32] （B）[12， 52]

（C）[2，3] （D）[1，3]

部分學(xué)生在求解這道題時(shí)，首先想到利用向量的絕對值三角不等式從代數(shù)的角度進(jìn)行解答，也就是由[c-a-b=c-a+b≥c-a+b，] 得[a+b-1≤c≤][1+a+b.] 接著求出[a+b]的值為2代入即可.

另外一種方法是圖形法，即用圖形表征待求問題中的[c.] 首先，把[c-a-b=1]變形為[c-a+b=1;] 其次，根據(jù)[c-a+b]的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，利用向量的減法法則可知其幾何意義是[c]與[a+b]的差的模，根據(jù)平行四邊形法則作出[a+b;] 再次，根據(jù)向量減法的三角形法則作出[c-a+b;] 最后，根據(jù)圖4所示的圖形即可求解.

從這兩種方法來看，第二種方法的思維難度較大，但是從學(xué)習(xí)向量的意義來說第二種方法更好. 從代數(shù)法到幾何法，學(xué)生得到的不僅是這道題的答案，更是思維品質(zhì)的發(fā)展，并且由圖形可以更加直觀地反映出向量減法的本質(zhì)，可以說把向量減法的幾何特征發(fā)揮得淋漓盡致. 數(shù)學(xué)教學(xué)要在學(xué)生思維的關(guān)鍵點(diǎn)進(jìn)行啟發(fā)和引導(dǎo)，以形解數(shù)不僅直觀，而且避免了煩瑣的計(jì)算. 因此，在向量教學(xué)中，要著重強(qiáng)調(diào)形對數(shù)的直觀闡釋，從形的角度強(qiáng)化運(yùn)算法則，多角度提高學(xué)生的運(yùn)算能力.

題目3 （多選題）已知[e1，e2]是兩個(gè)單位向量，當(dāng)[λ∈R]時(shí)，[e1+λe2]的最小值為[32，] 則下列結(jié)論正確的是（? ? ）.

（A）[e1，e2]的夾角是[π3]

（B）[e1，e2]的夾角是[π3]或[2π3]

（C）[e1+e2=1]或[3]

（D）[e1+e2=1]或[32]

作為一道多選題，題目3要解決的問題包括向量的夾角及和向量的模. 如何用圖形進(jìn)行表征呢？經(jīng)過題目1的訓(xùn)練，學(xué)生已經(jīng)具備了對已知條件進(jìn)行圖形表征的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，再加上題目2做鋪墊，學(xué)生基本能夠想到對[e1+λe2]進(jìn)行圖形表征，即用向量加法法則及向量的數(shù)乘構(gòu)造出[e1+λe2，] 如圖5所示.

很明顯，當(dāng)[e1+λe2]與[λe2]垂直時(shí)，[e1+λe2]取最小值，最小值為[32.] 再根據(jù)[e1=1，] 易知[e1，e2]的夾角是[π3]或[2π3.] 繼而可求得[e1+e2=1]或[3.] 利用圖形，沒有過多的運(yùn)算就解答了此題. 圖形表征的準(zhǔn)確、簡明、直接，不僅有助于簡化計(jì)算，而且有助于學(xué)生理解. 除了對解題思路的理解，還有對運(yùn)算法則的理解. 當(dāng)然，從數(shù)的角度也能夠求解題目3，即對[e1+λe2]平方后變形，然后用求函數(shù)最值的思想進(jìn)行解答. 但是這種解法無法顯示向量既有數(shù)的特征又有形的特征的特殊性，也不利于后續(xù)其他內(nèi)容的學(xué)習(xí).

題目2和題目3顯然都是對向量線性運(yùn)算法則的理解，在圖形表征的方式中強(qiáng)化向量的加法法則和減法法則. 其中既有向量的加法、減法，也有向量的數(shù)乘，通過這樣的圖形表征，學(xué)生進(jìn)一步理解了向量的線性運(yùn)算的意義. 向量的線性運(yùn)算是向量學(xué)習(xí)的起點(diǎn)，也是關(guān)鍵點(diǎn)，僅從數(shù)的角度學(xué)生很難理解，借助圖形表征，學(xué)生可以非常清晰地理解，同時(shí)進(jìn)一步強(qiáng)化對運(yùn)算法則的理解.

三、圖形表征解題過程，優(yōu)化運(yùn)算程序

受解題經(jīng)驗(yàn)和思維定勢的影響，學(xué)生在解題過程中不善于根據(jù)解題過程及時(shí)調(diào)整思路、優(yōu)化運(yùn)算程序. 事實(shí)上，如果能夠在解題過程中對部分運(yùn)算結(jié)果進(jìn)行分析，則會(huì)產(chǎn)生“峰回路轉(zhuǎn)、柳暗花明”的效果. 向量的運(yùn)算就有這樣的特點(diǎn)，對數(shù)進(jìn)行圖形分析往往會(huì)發(fā)現(xiàn)數(shù)的特殊性，從而優(yōu)化運(yùn)算程序.

題目4? 已知[a=1， b=3，] 且[a-b=2，] 則[a+b]的值為? ? ? ? .

此題不難，對[a-b=2]進(jìn)行變形化簡，得到[a · b=3.] 然后將其代入[a+b=a+b2=a2+2a · b+b2，] 即可得到[a+b=4.] 然而，有的學(xué)生從不同視角發(fā)現(xiàn)了亮點(diǎn)：由[a · b=3，] 得到向量[a，b]的夾角是[0°，] 從而迅速作圖;由已知條件再結(jié)合向量的絕對值三角不等式，可以知道向量[a，b]是同向的. 本是從數(shù)的角度解答此題，但由于在解答的過程中發(fā)現(xiàn)了圖形的美妙，從而對題目條件和待求問題進(jìn)行了重新分析，優(yōu)化了運(yùn)算程序，既提高了解題的正確率，也提升了學(xué)生的運(yùn)算能力.

部分學(xué)生在解題過程中往往會(huì)被一種解法牽制，不能夠及時(shí)變通，從而導(dǎo)致要么算不下去，要么花了大量不必要的時(shí)間和精力. 解題的過程不是單純的計(jì)算過程，而是要一邊運(yùn)算一邊結(jié)合已知條件和待求問題進(jìn)行思考，并針對得到的部分結(jié)果調(diào)整解題思路，進(jìn)而優(yōu)化運(yùn)算程序. 尤其對于一些入口較窄的題目，只有在運(yùn)算過程中不斷分析，才能更好地構(gòu)建運(yùn)算路徑.

數(shù)學(xué)運(yùn)算不是一氣呵成的，而是需要不斷分析條件、嘗試解答、再分析、再優(yōu)化的過程，這中間彎路和錯(cuò)誤難以避免，只有不斷試錯(cuò)，運(yùn)算能力才能得到逐步提高.

多元表征有利于加深學(xué)生對數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，有利于學(xué)生構(gòu)建良好的知識(shí)結(jié)構(gòu)，有利于增強(qiáng)學(xué)生全面審視問題的能力，并且有利于幫助學(xué)生形成最優(yōu)的解題策略.

圖形表征具有直觀、簡潔的特點(diǎn)，有利于從形的角度簡化運(yùn)算，在解決向量問題中優(yōu)勢十分明顯. 數(shù)學(xué)解題是需要策略的，只花時(shí)間和精力進(jìn)行計(jì)算是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，要在運(yùn)算思路、運(yùn)算法則和運(yùn)算程序上多下功夫.

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