陳安 農(nóng)麗娟 謝海

摘? 要：分?jǐn)?shù)階微積分是當(dāng)前計(jì)算數(shù)學(xué)的研究熱點(diǎn)之一，如何將這一科學(xué)研究融合到數(shù)值分析課程教學(xué)中，這個(gè)問題值得深入思考。文章首先介紹科教融合的背景，然后探討數(shù)值分析課程教學(xué)中融入分?jǐn)?shù)階微積分科學(xué)研究問題的意義，最后通過具體的例子探討其對(duì)人才培養(yǎng)的可行性。

關(guān)鍵詞：分?jǐn)?shù)階微積分;數(shù)值分析;科教融合;人才培養(yǎng)

中圖分類號(hào)：G640 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A? ? ? ? ? 文章編號(hào)：2096-000X（2022）04-0096-04

Abstract： Fractional calculus is one of the current research hotspots in computational mathematics. How to integrate this scientific research into the teaching of numerical analysis courses is worthy of in-depth consideration. In this paper， we firstly introduce the background of the integration of science and education， and then discuss the significance of integrating the scientific research of fractional calculus into the teaching of numerical analysis courses， and finally explore its feasibility for talent training through specific examples.

Keywords： fractional calculus; numerical analysis; integration of science and education; talent training

分?jǐn)?shù)階微積分近些年來受到了科學(xué)與工程領(lǐng)域的極大關(guān)注，是計(jì)算數(shù)學(xué)的研究熱點(diǎn)之一。這是因?yàn)樗軌蚝芎玫乜坍嬜匀唤绲姆蔷植楷F(xiàn)象，比如分形材料中的熱擴(kuò)散、細(xì)胞膜中的蛋白質(zhì)傳輸以及材料的粘彈性等。由于分?jǐn)?shù)階模型的解常常不易得到，因此涌現(xiàn)了非常豐富的數(shù)值求解方法以及相應(yīng)的數(shù)值理論研究。

數(shù)值分析課程在高等學(xué)校教學(xué)中扮演著非常重要的角色，是信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)的專業(yè)核心課程。傳統(tǒng)的教學(xué)方法一般僅關(guān)注形式的推導(dǎo)，且教學(xué)內(nèi)容與現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的發(fā)展現(xiàn)狀來看已略顯不足。因此有必要結(jié)合分?jǐn)?shù)階微積分這一前沿科學(xué)研究來對(duì)數(shù)值分析的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行拓展。

最近，《教育部關(guān)于加強(qiáng)新時(shí)代教育科學(xué)研究工作的意見》文件中指出：增強(qiáng)科研成果轉(zhuǎn)化意識(shí)，引導(dǎo)鼓勵(lì)開展政策咨詢類、輿論引導(dǎo)類、實(shí)踐應(yīng)用類研究，推動(dòng)教育科研成果轉(zhuǎn)化為教案、決策、制度和輿論[1]。因此，這為我們科教融合提供了很好的政策指導(dǎo)。此外，盡管目前高校的教育改革發(fā)展有了顯著的進(jìn)步，但是仍存在著一些不同的問題。在傳統(tǒng)觀念中，人們普遍認(rèn)為教學(xué)是人才培養(yǎng)的主體，使得科學(xué)研究的育人職能、教學(xué)的學(xué)術(shù)性被嚴(yán)重削弱，從而從本質(zhì)上背離了現(xiàn)代大學(xué)的育人理念[2]。如何在具體課程中融入科學(xué)研究值得我們深入思考。

本文討論的分?jǐn)?shù)階微積分是當(dāng)前的科學(xué)研究熱點(diǎn)，一些學(xué)者已嘗試將其應(yīng)用到高等數(shù)學(xué)的教學(xué)當(dāng)中[3]。因此在本文中，我們繼續(xù)結(jié)合數(shù)值分析這門具體課程，以分?jǐn)?shù)階微積分的科學(xué)研究為例，探討兩者融合的意義，并以實(shí)例來說明融合的可行性。

一、數(shù)值分析課程中科教融合的意義

下面我們分兩點(diǎn)探討數(shù)值分析課程中融入科學(xué)研究，尤其是分?jǐn)?shù)階微積分科學(xué)研究的意義。

（一）豐富學(xué)生的專業(yè)知識(shí)體系，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力

人才培養(yǎng)是高校永恒的主題，教學(xué)、科研、服務(wù)、文化都是人才培養(yǎng)的重要方式和途徑[2]。而科學(xué)研究本身就具有育人性，這樣使得在人才培養(yǎng)模式的途徑上更為豐富。數(shù)值分析是信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)的一門專業(yè)核心課程，它扮演的角色非常重要，因此不能用傳統(tǒng)的教學(xué)模式進(jìn)行教學(xué)，而應(yīng)迎合時(shí)代發(fā)展的潮流，順勢(shì)結(jié)合科學(xué)研究，這樣才能豐富學(xué)生的專業(yè)知識(shí)體系，促進(jìn)學(xué)生對(duì)科學(xué)問題興趣的增加。

分?jǐn)?shù)階微積分是一個(gè)很好的科學(xué)研究材料。由于它是整數(shù)階微積分的推廣，因此學(xué)生更容易接受。另一方面也正由于是傳統(tǒng)微積分的推廣，使得它散發(fā)著科學(xué)研究的氣息，從而學(xué)生可以在一些簡(jiǎn)單問題上大有作為，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。比如在常微分方程數(shù)值解法的教學(xué)中，可以適當(dāng)穿插分?jǐn)?shù)階常微分方程的數(shù)值解法。從中我們可以看到后者與前者有相對(duì)應(yīng)的求解方法，比如預(yù)估校正法等。這樣一來，可使學(xué)生的興趣得以激發(fā)，并加強(qiáng)了自身學(xué)習(xí)能力的信心。再進(jìn)一步，可稍微修改下方程參數(shù)，讓學(xué)生自由探索，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。

（二）提高教師的專業(yè)素質(zhì)水平，促進(jìn)課程思政的有機(jī)結(jié)合

適應(yīng)教育改革發(fā)展和學(xué)科建設(shè)需要，堅(jiān)持吸收借鑒和創(chuàng)新相結(jié)合，綜合運(yùn)用各種研究方法，創(chuàng)新教育科研范式，不斷提升教育科研質(zhì)量[1]?？梢钥吹?，要使得在教學(xué)過程中融入科學(xué)研究，首先得保證教師的專業(yè)素質(zhì)水平，這樣才能促進(jìn)學(xué)科的良性發(fā)展。這是因?yàn)橹挥袑?duì)科學(xué)問題有深層次的認(rèn)識(shí)，才能夠自然地將科學(xué)問題融入到教學(xué)當(dāng)中，從而使得科研成果的轉(zhuǎn)化具有普遍性。這不僅提高了教學(xué)效果，也使得教師在交流分享過程中提升對(duì)問題的認(rèn)識(shí)，進(jìn)而對(duì)學(xué)科的良性發(fā)展起到很好的促進(jìn)作用。

分?jǐn)?shù)階微積分這一領(lǐng)域正在蓬勃發(fā)展中，教授數(shù)值分析課程的主講老師一般也是計(jì)算數(shù)學(xué)專業(yè)出身，因此可以通過與同行交流或自學(xué)方式提高自身的專業(yè)水平。此外，我們也可以從數(shù)值分析與分?jǐn)?shù)階微積分的發(fā)展歷史，深挖專業(yè)知識(shí)中所蘊(yùn)含的思想價(jià)值，從而增加課程的知識(shí)性與人文性，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生探索未知和追求真理的使命感，這也恰恰是課程的思政元素之一[4]。以數(shù)值分析中數(shù)值積分為例。我們可根據(jù)推導(dǎo)的積分公式講解分?jǐn)?shù)階積分的逼近公式，并通過介紹我國(guó)在對(duì)分?jǐn)?shù)階積分?jǐn)?shù)值計(jì)算研究的發(fā)展歷程，讓學(xué)生感受到科學(xué)研究的嚴(yán)謹(jǐn)性。

二、數(shù)值分析課程中科教融合的實(shí)踐

在這一部分我們以3個(gè)具體例子說明分?jǐn)?shù)階微積分在教學(xué)實(shí)踐中的可行性。

（一）復(fù)合求積公式

在講解完復(fù)合求積公式的時(shí)候，以Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的逼近公式推導(dǎo)為例，通過對(duì)Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的離散進(jìn)行知識(shí)擴(kuò)展，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神。為了討論方便，先介紹Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義。

定義：函數(shù)f（t）的α 階 Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義為：

可以看出， Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)在分?jǐn)?shù)階α 趨于整數(shù) n 時(shí)，它將重現(xiàn)傳統(tǒng)的n階整數(shù)階導(dǎo)數(shù)。從Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義出發(fā)，可介紹與一般積分做類比，強(qiáng)調(diào)分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)只不過是比積函數(shù)多了一個(gè)用于刻畫物質(zhì)物理特性的核函數(shù)tn-α-1而已。另一方面，也可以在一定程度上將該Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義看成核函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)f（n）（t）的區(qū)間[a，t]的卷積（這里，我們已將定義中的系數(shù)放在核函數(shù)中），從而為下一步拓展做好鋪墊。

為討論方便，現(xiàn)只考慮n=1的情形，其他情形可類似推導(dǎo)?，F(xiàn)要求函數(shù)f（x）的Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)在t=T>0處的近似值，因此可以利用復(fù)合求積公式的離散思想。首先將區(qū)間進(jìn)行等距劃分，然后在每個(gè)小區(qū)間進(jìn)行考慮。不同于數(shù)值分析課本中的介紹，這里需要學(xué)生有創(chuàng)新意識(shí)。如果只針對(duì)被積函數(shù)中的f（t）進(jìn)行線性插值，則可將所求的逼近公式用離散結(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值加權(quán)求和后得到，這種方式很自然地得到了Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的逼近公式。此時(shí)，這里的逼近公式，也稱為L(zhǎng)1逼近公式，它在分?jǐn)?shù)階數(shù)值領(lǐng)域研究得較為透徹，已有一系列的成果[5]。在這一點(diǎn)上，可適當(dāng)介紹我國(guó)學(xué)者對(duì)它的研究歷史，從而激發(fā)學(xué)生的鉆研精神。

下面給出具體的推導(dǎo)過程，以說明Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的逼近公式蘊(yùn)含著最基本的復(fù)合求積和插值近似的思想。為此，取正整數(shù)N， 令步長(zhǎng)為 τ=（T-a）/N， 則節(jié)點(diǎn)tk=a+τk，k=0，1，…，N。在每個(gè)小區(qū)間[tk，tk+1]中對(duì)函數(shù)f（t）利用小區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)的函數(shù)值信息做線性插值：f（t）=f（tk）+f（tk+1），于是CDf（t） 在tn處的近似值可由下面推導(dǎo)得到。

其中權(quán)系數(shù)

wm=（m1-α-（m-1）1-α），m=1，2，…

從中我們可以看到，在得到Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的推導(dǎo)過程中運(yùn)用到了函數(shù)插值內(nèi)容，因此這相當(dāng)于將不同的知識(shí)點(diǎn)融合在一個(gè)科學(xué)研究問題的求解中。這不僅使得學(xué)生能知曉數(shù)值積分的應(yīng)用場(chǎng)景，也能夠?qū)σ郧八鶎W(xué)的內(nèi)容融會(huì)貫通。此外，我們這時(shí)也應(yīng)該強(qiáng)調(diào)，所得到的逼近公式為當(dāng)前分?jǐn)?shù)階微積分領(lǐng)域使用最多的公式，常常應(yīng)用在時(shí)間分?jǐn)?shù)階反常擴(kuò)散模型的數(shù)值離散中，從而提高學(xué)生的研究興趣。

更進(jìn)一步地，我們可以布置開放性的作業(yè)或課題，例如我們布置這樣的開放性作業(yè)：“假設(shè)用更高階的插值公式代替上面的線性插值，結(jié)果又會(huì)是怎樣？請(qǐng)同學(xué)們推導(dǎo)相應(yīng)的逼近公式，并編程驗(yàn)證結(jié)果?！睆亩沟眠x擇的科研問題與教學(xué)內(nèi)容更為切合，激發(fā)學(xué)生的求知欲，達(dá)到育人目的。

（二）歐拉法

在介紹常微分方程初值問題的數(shù)值解法時(shí)，可適當(dāng)添加分?jǐn)?shù)階常微分方程的數(shù)值離散。以下面的分?jǐn)?shù)階常微分方程初始值問題為例：

其中0<α<1， 初始值為：u（0）=v。它等價(jià)于下面的Volterrra積分方程[5]：

當(dāng)然，這個(gè)等價(jià)關(guān)系的推導(dǎo)需要利用到分?jǐn)?shù)階微積分的一些基本恒等式，在課堂上直接引入等價(jià)的Volterra積分方程即可，從而避免過多的細(xì)節(jié)對(duì)教學(xué)目的造成影響。這樣便將問題轉(zhuǎn)化為對(duì)Volterra積分方程的求解。

回憶常微分方程中可將其轉(zhuǎn)化為積分方程求解，如對(duì)方程：u′（t）=f（t，u（t））左右兩端同時(shí)在小區(qū)間[tk，tk+1]積分，整理后可得到：u（tk+1）=u（tk）+f（t，u（t））dt，從而歐拉法可看成是對(duì)積分方程的右端積分項(xiàng)應(yīng)用左矩形公式而得到。在這一角度下，我們可借助歐拉法的思想，將Volterra方程右端的積分項(xiàng)先等距剖分，然后在每個(gè)小區(qū)間[tk，tk+1]中，利用小區(qū)間左端點(diǎn)的函數(shù)值信息f（tk，u（tk））近似f（t，u（t）），從而可得到Volterra積分方程的離散格式。我們這里給出具體的推導(dǎo)過程。首先在節(jié)點(diǎn)t=tn處考慮Volterra 積分方程：

其中系數(shù)

記u（t）在節(jié)點(diǎn)t=tn處的近似值為un，那么我們可得到用于近似求解Volterra積分方程的數(shù)值公式：

通過將整數(shù)階常微分方程中的歐拉法與分?jǐn)?shù)階常微分方程做比較，讓學(xué)生更加深刻理解數(shù)值離散的本質(zhì)思想，從而擴(kuò)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。類似第一個(gè)例子，也可以讓學(xué)生在這個(gè)基礎(chǔ)上布置些開放性問題，如：“如果在小區(qū)間[tk，tk+1]中應(yīng)用右端點(diǎn)的函數(shù)值信息f（tk+1，u（tk+1））近似f（t，u（t）），那么得到的數(shù)值格式是什么？再進(jìn)一步，如果利用小區(qū)間左右兩個(gè)端點(diǎn)的函數(shù)值信息來近似，得到的數(shù)值格式又是什么？如果得到的格式是隱格式，那可否利用預(yù)估校正的思想設(shè)計(jì)對(duì)應(yīng)的有效格式？”這些問題都是基于最基本的常微分方程和數(shù)值積分的離散方法，這樣既豐富學(xué)生的專業(yè)知識(shí)，又培養(yǎng)學(xué)生的鉆研精神。

（三）數(shù)值演示相關(guān)

在充分挖掘分?jǐn)?shù)階微積分在數(shù)值分析中的教學(xué)材料時(shí)，除了強(qiáng)調(diào)在離散格式的可類比性推導(dǎo)外，還可適當(dāng)添加具體的實(shí)例在課堂上演示。比如，為了讓學(xué)生更直觀地觀察到Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)近似解與傳統(tǒng)整數(shù)階的聯(lián)系，這里舉兩個(gè)簡(jiǎn)單的例子。

首先令f（t）=sin（t），則可以利用上面推導(dǎo)得到的L1逼近格式計(jì)算相應(yīng)的Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)近似值。得到的圖像如圖1所示。

為方便讀者實(shí)現(xiàn)，這里我們提供如下的Matlab代碼：

T= 2*pi; %求解區(qū)間（0，T]

f = @（t）sin（t）; %將要計(jì)算Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)

Df = @（t）cos（t）;%函數(shù)f 的一階導(dǎo)數(shù)

alpha = [0.01， 0.5， 0.8， .99]; %計(jì)算的分?jǐn)?shù)階

line_stype = {'s'， 'o'， '+'， 'x'}; %設(shè)置線段類型

Nt = 100; tau = T/Nt; %剖分節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)以及時(shí)間步長(zhǎng)

tn = （1∶Nt）*tau; %剖分的節(jié)點(diǎn)

for k=1∶length（alpha）%計(jì)算不同alpha下的近似解

legend_str{k} = strcat（'＼alpha = '，num2str（alpha（k）））;

numeru = zeros（Nt， 1）; %記錄每個(gè)節(jié)點(diǎn)上的Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)近似值

for j=1∶length（tn）%遍歷每個(gè)節(jié)點(diǎn)

%計(jì)算權(quán)系數(shù)

weight = （（j∶-1∶1）.^（1-alpha（k）） ...

- （（j-1）∶-1∶0）.^（1-alpha（k））） / gamma（2-alpha（k））;

diff = f（tau*（1∶j）） - f（tau*（0∶（j-1）））;

numeru（j） = sum（weight.*diff） / tau^alpha（k）;

end

plot（tau*（1∶Nt）， numeru， line_stype{k}）;

hold on;

end

plot（tau*（1∶Nt）， Df（tau*（1∶Nt）））; %繪制一階導(dǎo)數(shù)的圖像

legend_str{length（alpha）+1} = '＼alpha=1';

legend（legend_str）; xlim（[0，2*pi]）; %添加描述性標(biāo)簽

xlabel（'t'）; ylabel（'_CD_{0，t}^＼alpha f（t）的近似值'）;

接著令f（t）=exp（-t）， 同樣地，應(yīng)用L1逼近格式計(jì)算相應(yīng)的Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)近似值的圖像如圖2所示。

此外，我們還可以繪制其他基本函數(shù)的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)圖像。從得到的圖1-2看出，當(dāng)分?jǐn)?shù)階趨于1時(shí)，分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)重現(xiàn)傳統(tǒng)導(dǎo)數(shù)，而相應(yīng)的L1逼近格式退化為求解一階導(dǎo)數(shù)的向后歐拉差分。因此，通過直觀的圖像演示，讓學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)階微積分有更為深刻的印象，從而培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)值分析課程的興趣，進(jìn)一步提高課程學(xué)習(xí)的興趣。

三、結(jié)論

本文以分?jǐn)?shù)階微積分為例，探討了在數(shù)值分析課程中融入科學(xué)研究的意義，并利用3個(gè)例子說明了科教融合是可行的。在課程教學(xué)中融入科學(xué)研究已成為高等教育改革發(fā)展的必然趨勢(shì)，在接下來的教學(xué)與科研工作中我們將不斷探索，使得分?jǐn)?shù)階微積分在數(shù)值分析教學(xué)中的典型例子更為豐富，理論體系結(jié)構(gòu)更為完善。

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