朱姍姍

摘 要：數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是學(xué)生經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)后，應(yīng)獲得的綜合性能力。數(shù)學(xué)教學(xué)不再是僅僅滿(mǎn)足于學(xué)生單純的知識(shí)增長(zhǎng)，而是要提高學(xué)生的綜合性能力。為提高學(xué)生思考的主動(dòng)性和課堂的互動(dòng)性，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，教師要更新教學(xué)理念，創(chuàng)新教學(xué)方法。文章以“商不變的規(guī)律”教學(xué)為例，研究核心素養(yǎng)中“數(shù)學(xué)建?！薄斑壿嬐评怼焙汀皵?shù)學(xué)抽象”在教學(xué)環(huán)節(jié)中的設(shè)計(jì)問(wèn)題，以滲透“模型思想”，培養(yǎng)學(xué)生推理能力，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維，提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)建模;核心素養(yǎng);推理能力;數(shù)學(xué)思維

中圖分類(lèi)號(hào)：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1008-3561（2022）09-0136-03

“數(shù)學(xué)建?！薄斑壿嬐评怼焙汀皵?shù)學(xué)抽象”是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要內(nèi)容，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)教學(xué)的主要目標(biāo)。新課標(biāo)指出，教師要引導(dǎo)學(xué)生在現(xiàn)實(shí)情境中體驗(yàn)和理解數(shù)學(xué)知識(shí)，用啟發(fā)式教學(xué)方式落實(shí)學(xué)生的主體地位。在教學(xué)中，教師應(yīng)提出精準(zhǔn)高效的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生積極主動(dòng)地尋找解決問(wèn)題的方法，在真問(wèn)題、真思考、真探究中培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。本文以蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級(jí)上冊(cè)“商不變的規(guī)律”為例，對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)中怎樣體現(xiàn)學(xué)生的主體地位并發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)進(jìn)行探究。

一、創(chuàng)設(shè)情境，滲透數(shù)學(xué)模型思想

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出，模型思想是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。建立和求解模型的過(guò)程包括：從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義。

例如，在教學(xué)中，教師可播放動(dòng)畫(huà)片《西游記之大圣歸來(lái)》的片段，引入大圣給八戒分桃的故事。大圣深知八戒貪吃，就給八戒規(guī)定25個(gè)桃子，平均分5天吃完。八戒掐指一算，每天才能吃5個(gè)，連忙說(shuō)：“啊，不行不行，每天吃得太少了?！贝笫ビ终f(shuō)：“那好吧，我給你50個(gè)桃子，平均分10天吃完。怎么樣？”八戒撓撓頭，試探著說(shuō)：“大圣，再多給點(diǎn)行不行？”大圣說(shuō)：“好吧，那就給你100個(gè)桃子，平均分20天吃完，這回總可以了吧？”八戒覺(jué)得占了大便宜，開(kāi)心地笑了，大圣也笑了。

設(shè)計(jì)八戒吃桃情境，可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，吸引學(xué)生的注意力，引導(dǎo)學(xué)生帶著問(wèn)題進(jìn)行學(xué)習(xí)與思考。學(xué)生根據(jù)已有知識(shí)能想到三次分桃屬于平均分問(wèn)題，應(yīng)該用除法計(jì)算，25÷5=5（個(gè)），50÷10=5（個(gè)），100÷20=5（個(gè)）。不管桃子的總個(gè)數(shù)和吃的天數(shù)如何變化，平均每天吃的個(gè)數(shù)都是5個(gè)。三道算式的商都不變，學(xué)生對(duì)此存在很大的困惑。總桃子數(shù)量和總天數(shù)的變化是否有什么規(guī)律，才能保證每天吃桃的個(gè)數(shù)不變呢？在此除法模型中，被除數(shù)和除數(shù)發(fā)生什么變化，商不變？是學(xué)生接下來(lái)要探討的問(wèn)題。

二、自主探究，培養(yǎng)邏輯推理能力

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出，推理能力的發(fā)展應(yīng)貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中。推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常運(yùn)用的思維方式。推理一般包括合情推理和演繹推理。在小學(xué)階段，學(xué)生學(xué)習(xí)較多的是合情推理，從已知判斷推斷出未知結(jié)論，再進(jìn)行去粗取精，去偽存真。教師作為引導(dǎo)者必須給學(xué)生提供探討交流的空間，讓學(xué)生通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、類(lèi)比等一系列數(shù)學(xué)活動(dòng)獲得數(shù)學(xué)猜想，發(fā)展完善邏輯推理能力。

例如，圍繞“被除數(shù)和除數(shù)發(fā)生什么變化，商不變”這個(gè)問(wèn)題，教師可引導(dǎo)學(xué)生觀察上面三道算式，初步得出以下猜想。生1：同增同減，商不變。（猜想1）師：具體說(shuō)說(shuō)你是如何猜想的？生1：比較算式①和②，被除數(shù)由25變成50，增加25，除數(shù)由5變成10，增加了5，商不變。反過(guò)來(lái)被除數(shù)由50變成25，減少25，除數(shù)由10變成5，減少5，商還是5，沒(méi)有變化。之所以出現(xiàn)猜想1，是因?yàn)閷W(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中出現(xiàn)了知識(shí)的負(fù)遷移，將以往的被減數(shù)和減數(shù)同時(shí)增加或減少一個(gè)相同的數(shù)，差不變（即同增同減，差不變）與除法算式中的規(guī)律相混淆。學(xué)生提出該錯(cuò)誤猜想時(shí)，隨即就有其他學(xué)生提出不同的意見(jiàn)。一類(lèi)學(xué)生從結(jié)論入手證明：比較算式①和②，發(fā)現(xiàn)商都是5，但是被除數(shù)增加25，除數(shù)只增加了5，被除數(shù)和除數(shù)沒(méi)有增加相同的數(shù)量，即沒(méi)有同增;還有一類(lèi)學(xué)生從條件入手舉例證明：以算式①為例，如果被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)增加5，得到算式30÷10=3，發(fā)現(xiàn)商發(fā)生了變化。因此，猜想1是錯(cuò)誤的。在提出猜想并證明的環(huán)節(jié)中，不管是提出錯(cuò)誤猜想的學(xué)生，還是證明該猜想錯(cuò)誤的學(xué)生，都能用精準(zhǔn)的語(yǔ)言表達(dá)自己的思維過(guò)程。在這樣的辨析過(guò)程中，學(xué)生的推理能力逐步得到發(fā)展與提高。

經(jīng)過(guò)猜想、驗(yàn)證環(huán)節(jié)后，有學(xué)生在原有猜想上提出新的猜想，并結(jié)合三道算式驗(yàn)證。出現(xiàn)了以下情景。生2：被除數(shù)和除數(shù)每次增加和自己一樣大的數(shù)，商不變，或被除數(shù)和除數(shù)每次減少和自己一樣大的數(shù)，商不變。（猜想2）師：這樣的猜想初步驗(yàn)證是正確的，是否還有其他猜想呢？生3：被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘一個(gè)相同的數(shù)，商不變;被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)除以一個(gè)相同的數(shù)，商不變。（同樣結(jié)合三道算式闡釋猜想正確）（猜想3）師：也就是說(shuō)被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘或除以一個(gè)相同的數(shù)，商不變。同學(xué)們，仔細(xì)想想新得到的這些猜想是否有聯(lián)系？能否將他們轉(zhuǎn)變成一條猜想？同桌交流后，匯報(bào)成果。生4：其實(shí)被除數(shù)和除數(shù)每次增加和自己一樣大的數(shù)，商不變。就是將被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘2，商不變。同理，被除數(shù)和除數(shù)每次減少和自己一樣大的數(shù)，商不變，就是將被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)除以2，商不變。這也就是說(shuō)猜想2是猜想3的一部分，可以合并起來(lái)概括為猜想3。師：有道理，但是現(xiàn)在只通過(guò)①②③這一組算式就能證明猜想3是正確的嗎？這樣的猜想是否也適用于其他的除法算式呢？生5：我們可以舉例驗(yàn)證。隨后，學(xué)生通過(guò)大量的例子證明猜想3的正確性，得到結(jié)論3。師：同時(shí)乘或除以的這個(gè)數(shù)是任意一個(gè)數(shù)嗎？生6：不能是0，因?yàn)槿绻怀龜?shù)和除數(shù)同時(shí)乘0，會(huì)出現(xiàn)0÷0的算式，在除法算式中，除數(shù)不能為0。師：那之前的結(jié)論應(yīng)該如何準(zhǔn)確表達(dá)？生：被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘或除以一個(gè)相同的數(shù)（0除外）商不變。師：這個(gè)發(fā)現(xiàn)在數(shù)學(xué)上被稱(chēng)為商不變的規(guī)律。

在探索規(guī)律的過(guò)程中，教師提供充分的探索交流空間，使學(xué)生主動(dòng)參與，樂(lè)于探究合作，勤于動(dòng)腦，動(dòng)口，經(jīng)歷提出猜想、舉例驗(yàn)證、獲得結(jié)論的探索過(guò)程，體驗(yàn)和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，發(fā)展數(shù)學(xué)推理能力。

三、練習(xí)鞏固，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象意識(shí)

學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中能理解數(shù)學(xué)符號(hào)并應(yīng)用符號(hào)進(jìn)行數(shù)學(xué)表達(dá)，意味著學(xué)生的數(shù)學(xué)思維由具體形象思維過(guò)渡到抽象代數(shù)思維，這在學(xué)生思維發(fā)展進(jìn)程中屬于質(zhì)的飛躍。數(shù)學(xué)符號(hào)是數(shù)學(xué)語(yǔ)言的表達(dá)形式，也是數(shù)學(xué)計(jì)算、推理、交流的工具，用符號(hào)表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律具有簡(jiǎn)潔性和嚴(yán)密性。因此，培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)意識(shí)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中顯得尤為重要，教師應(yīng)重視培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)用符號(hào)語(yǔ)言精簡(jiǎn)表達(dá)數(shù)量關(guān)系及變化規(guī)律的能力。例如，在“商不變的規(guī)律”練習(xí)環(huán)節(jié)，為培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)意識(shí)，筆者設(shè)計(jì)這樣的習(xí)題：根據(jù)商不變的規(guī)律寫(xiě)出三道與4÷1=4商相等的算式。學(xué)習(xí)并掌握商不變的規(guī)律后，學(xué)生能夠明白和4÷1=4商相等的算式不止三道，還有更多。因此，會(huì)出現(xiàn)多種答案。為培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)意識(shí)，教師應(yīng)相繼提問(wèn)：這樣的式子寫(xiě)得完嗎？你能用一道式子表示嗎？在實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生出現(xiàn)了以下答案。答案一，8÷2=4，36÷9=4， 28÷7= 4（4×一個(gè)數(shù)）+（1×同一個(gè)數(shù)）。答案二，

其中像“答案一”這樣用文字表述的學(xué)生較多，但是在出現(xiàn)了“答案二”的這些答案后，通過(guò)對(duì)比，學(xué)生感受到用符號(hào)表示數(shù)的優(yōu)勢(shì)，最終都會(huì)選擇用符號(hào)表示。針對(duì)“答案二”的三種情況，筆者選擇一個(gè)追問(wèn)： （4×a）÷（1×a）=4，后面的字母a可以換成字母b嗎？在這些式子里，出現(xiàn)了字母、圖形等符號(hào)，學(xué)生能夠做到有意識(shí)地、自發(fā)地用這些符號(hào)表示數(shù)，并且能夠意識(shí)到同樣的字母表示相同的數(shù)，不同的字母表示的數(shù)不一樣。

四、提升訓(xùn)練，增強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用意識(shí)

要在課堂上真正做到以學(xué)生為主體，發(fā)展他們的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，課程內(nèi)容必須精心設(shè)計(jì)，層次分明，每一環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)意圖要明確以確保在實(shí)際在教學(xué)中取得理想效果。在練習(xí)環(huán)節(jié)，教師可增加提升練習(xí)，以培養(yǎng)學(xué)生活學(xué)活用知識(shí)、舉一反三的能力。提升練習(xí)題的選擇可以是針對(duì)課堂知識(shí)點(diǎn)的拓展，以增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，讓學(xué)生將所學(xué)知識(shí)應(yīng)用于生活，解決現(xiàn)實(shí)生活中的數(shù)學(xué)問(wèn)題。因此，在“商不變的規(guī)律”拓展練習(xí)中，教師可設(shè)計(jì)如下練習(xí)題。

（1）下面是三家商店一天賣(mài)出大米的總錢(qián)數(shù)和一天賣(mài)出大米的總袋數(shù)情況統(tǒng)計(jì)，這三家商店賣(mài)出的每袋大米的價(jià)格相同嗎？試著用商不變的規(guī)律解釋。

（2）觀察300÷25的計(jì)算過(guò)程，說(shuō)說(shuō)這樣計(jì)算的理由并用相同的方法計(jì)算下面各題。

對(duì)于習(xí)題1，剛開(kāi)始的設(shè)計(jì)沒(méi)有提醒學(xué)生用商不變的規(guī)律說(shuō)明原因，發(fā)現(xiàn)有部分學(xué)生將每家商店的每袋大米的實(shí)際價(jià)格算出來(lái)進(jìn)行解釋。究其原因，學(xué)生以往的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)很少與現(xiàn)實(shí)生活相聯(lián)系，課堂上沒(méi)有經(jīng)常性地訓(xùn)練用數(shù)學(xué)的概念、規(guī)律或方法解決生活中的數(shù)學(xué)問(wèn)題。具體計(jì)算出每袋大米實(shí)際價(jià)格的學(xué)生，能夠?qū)⑸顚?shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題加以解決，說(shuō)明他們具有一定的應(yīng)用意識(shí)。為增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，練習(xí)的設(shè)計(jì)應(yīng)明確具體要求，指出思考方向，提示學(xué)生“用商不變的規(guī)律”解釋。

在學(xué)生能夠獨(dú)立應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題前，教師可以通過(guò)特例進(jìn)行引入，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷由特殊到一般的數(shù)學(xué)簡(jiǎn)便計(jì)算，切實(shí)感受商不變的規(guī)律的獨(dú)特價(jià)值，并能在以后的學(xué)習(xí)中自覺(jué)應(yīng)用。如根據(jù)除數(shù)是25的特點(diǎn)，將25轉(zhuǎn)化成100進(jìn)行計(jì)算，再運(yùn)用商不變的規(guī)律，被除數(shù)300也乘4，于是300÷25的計(jì)算即可轉(zhuǎn)化成1 200÷100的口算。在接下來(lái)的兩道式子中，學(xué)生已經(jīng)學(xué)會(huì)舉一反三，快速口算出兩道題的得數(shù)。學(xué)生通過(guò)多方面、多層次、多角度習(xí)題的練習(xí)與比較，豐富對(duì)規(guī)律的認(rèn)識(shí)，能自覺(jué)將規(guī)律的理解與應(yīng)用內(nèi)化于心。

綜上所述，在日常教學(xué)中要想有效培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，教師需要做到以下幾個(gè)方面。首先要?jiǎng)?chuàng)設(shè)一定的教學(xué)情境，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)發(fā)現(xiàn)并探究問(wèn)題，進(jìn)而構(gòu)建數(shù)學(xué)模型思想。其次，在課堂探究環(huán)節(jié)，要引導(dǎo)學(xué)生自主推理，鼓勵(lì)其勇于表達(dá)自己的想法，同時(shí)尊重學(xué)生的解題方法，保證課堂的開(kāi)放性。再次，要特別注重?cái)?shù)學(xué)從具體到抽象的轉(zhuǎn)化，將抽象思維內(nèi)化于心，提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)。最后，通過(guò)進(jìn)階的訓(xùn)練，將數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)外化于形，增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，真正實(shí)現(xiàn)“授人以漁 ”。

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Research on the Penetration of Mathematics Core Competence in Mathematics Teaching

——Taking the Teaching "Law of Quotient Ivvariability" as an Example

Zhu Shanshan

（Xianlinhu Campus of Nanjing Jinling Primary School， Nanjing 210000， China）

Abstract： Mathematics core competence is the comprehensive ability that students should obtain after mathematics learning activities. Mathematics teaching is no longer only satisfied with students' simple knowledge growth， but to improve students' comprehensive ability. In order to improve students' thinking initiative and classroom interaction， and cultivate students' mathematical core competence， teachers should update teaching ideas and innovate teaching methods. Taking the teaching of "the law of quotient invariability" as an example， this paper studies the design problems of "mathematical modeling" "logical reasoning" and "mathematical abstraction" in the teaching link of core competence， so as to infiltrate "model thought"， cultivate students' reasoning ability， develop students' mathematical thinking and improve students' mathematical core competence.

Key words： primary school mathematics; mathematical modeling; core competence; reasoning ability; mathematical thinking